2019年高三最新信息卷理数（四）Word版含解析.docx

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 绝密 ★ 启用前 ‎2019年高考高三最新信息卷 理 科 数 学（四）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2019·金山中学]已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．[2019·湘钢一中]已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎3．[2019·玉溪一中]若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．[2019·凯里一中]已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．[2019·宁乡一中]函数的部分图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎6．[2019·天津一中]设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2019·天一大联考]已知的图象如图所示，则函数的对称中心可以为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．[2019·首师附中]秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入，的值分别为4，2，则输出的值为（ ）‎ A．5 B．12 C．25 D．50‎ ‎9．[2019·济宁一模]已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2019·牡丹江一中]牡丹江一中2019年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表有（ ）种．‎ A．444 B．1776 C．1440 D．1560‎ ‎11．[2019·蚌埠质检]已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．[2019·湘钢一中]已知，，若对，，使得成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2019·天一大联考]不等式组，表示的平面区域的面积为________．‎ ‎14．[2019·东北三校]的展开式中的系数是__________．‎ ‎15．[2019·宁乡一中]中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则_________．‎ ‎16．[2019·河南联考]如图，是等腰直角三角形，斜边，为直角边上一点（不含端点），将沿直线折叠至的位置，使得在平面外，若在平面上的射影恰好在线段上，则的取值范围是______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）[2019·顺义统考]已知是等差数列，是等比数列，且，，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18．（12分）[2019·山东实验中学]为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：‎ ‎（1）根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；‎ ‎（2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，给予适当的奖励．若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为，试求随机变量的分布列和数学期望．‎ 参考数据：‎ 参考公式：，其中．‎ ‎19．（12分）[2019·西城一模]如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值； ‎ ‎（3）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．‎ ‎20．（12分）[2019·凉州二诊]椭圆长轴右端点为，上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线交椭圆于、两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，试判断的零点个数．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎[2019·安庆二模]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位．圆的方程为，被圆截得的弦长为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，且，求的值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎[2019·成都实验中学]已知函数，．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在满足，求的取值范围．‎ 绝密 ★ 启用前 ‎2019年高考高三最新信息卷 理科数学答案（四）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴，∴．故选C．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】∵，∴，，即，故选D．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】设向量与的夹角为，∵，的夹角为，且，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，故选B．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】由题得．故选D．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】∵，∴舍去B，‎ ‎∵，∴舍去D，‎ ‎∵时，，∴，故选A．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】依题意，‎ 可知三角形是一个等腰三角形，在直线的投影是其中点，‎ 由勾股定理知，可知，‎ 根据双曲定义可知，整理得，‎ 代入整理得，求得，‎ ‎∴双曲线渐进线方程为，即．故选C．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】由图可知，，，∴，‎ 由，，得，故．‎ 令，得，则时，．故选D．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】模拟程序的运行，可得：，，，，‎ 满足进行循环的条件，，，‎ 满足进行循环的条件，，，‎ 满足进行循环的条件，，，‎ 不满足进行循环的条件，退出循环，输出的值为．故选C．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，‎ 则该长方体的体对角线为，‎ 设长方体的外接球的半径为，则，，‎ ‎∴该长方体的外接球的体积，‎ ‎∴该三棱柱的外接球的体积，故选C．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】首先理、化、生、史、地、政六选三，且物、化必选，‎ ‎∴只需在生、史、地、政四选一有种；‎ 然后对语文、外语排课进行分类，第1类：语文外语有一科在下午第一节，‎ 则另一科可以安排在上午四节课任意一节，剩下的四科可全排列，共种；‎ 第2类：语文外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语数外三科的另三科中选择，‎ 语文和外语可都安排在上午，可以是上午第一、三，上午一、四、上午二、四节3种，‎ 也可一科在上午任一节一科在下午第二节，其他三科可以全排列，‎ 共；∴总共有种．故选B．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】不妨为第一象限中的点，设（）．‎ 由抛物线的方程得，则，故，∴，‎ 关于准线的对称点为，‎ 故，‎ 当且仅当，，三点共线时等号成立，故选D．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】∵，，‎ ‎∴，(3舍去)‎ 从而，；，；即时，取最小值，‎ 因此，使得成立，的最小值，‎ ‎∵在上单调递减，∴的最小值为，‎ 因此，故选A．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】3‎ ‎【解析】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，‎ 平面区域为，其中，，，∴．故答案为3．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ 又展开式的通项为，‎ 求的展开式中的系数，只需令或，‎ 故所求系数为．故答案为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∵，∴．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】∵在等腰中，斜边，为直角边上的一点，‎ ‎∴，，‎ 将沿直折叠至的位置，使得点在平面外，‎ 且点在平面上的射影在线段上，设，‎ ‎∴，，，平面，‎ ‎∴，当时，与重合，，‎ 当时，，‎ ‎∵为直角边上的一点，∴，‎ ‎∴的取值范围是．故答案为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设的公比为．‎ ‎∵，，∴，∴，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知，∴，，设等差数列的公差为，‎ ‎∵，，∴，，∴，∴，‎ 因此，‎ 从而数列的前项和 ‎．‎ ‎18．【答案】（1）2×2列联表见解析，无的把握；（2）期望为，分布列见解析．‎ ‎【解析】（1）列联表如下图所示：‎ ‎，‎ 故没有把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异．‎ ‎（2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4，‎ 且观众支持“新农村建设”的概率为，且，‎ ‎∴，，，，，‎ ‎∴的分布列为 ‎∴的数学期望为．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）由底面为平行四边形，知，‎ 又∵平面，平面，∴平面．同理平面，‎ 又∵，∴平面平面．‎ 又∵平面，∴平面．‎ ‎（2）连接，∵平面平面，平面平面，，‎ ‎∴平面．则，‎ 又∵，，，∴平面，则，‎ 故，，两两垂直，∴以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ ‎∴，，为平面的一个法向量．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，，得，令，得，‎ ‎ ∴．‎ 如图可得二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．‎ ‎（3）结论：线段上存在点，使得平面平面，‎ 证明如下：设，，∴． ‎ 设平面的法向量为，‎ 又∵，∴，，即，‎ 令，得．‎ 若平面平面，则，即，解得．‎ ‎∴线段上存在点，使得平面平面，且此时．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）存在直线：满足要求．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的方程为，半焦距为．‎ 则、、、、，‎ 由，即，‎ 又，解得，∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）∵为的垂心，∴，‎ 又，，∴，，‎ 设直线：，，，‎ 将直线方程代入，得 ‎，，‎ ‎，且，‎ 又，，，‎ ‎∴，即，‎ 由韦达定理得，解得或（舍去）。‎ ‎∴存在直线：使为的垂心．‎ ‎21．【答案】（1）当时，在上是增函数，‎ 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；‎ ‎（2）1．‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为，，令，则，，‎ ‎（i）若，则恒成立，∴在上是增函数，‎ ‎（ii）若，则，‎ 当时，，是增函数，‎ 当时，，是减函数，‎ 当时，，是增函数，‎ ‎（iii）若，则，‎ 当时，，是增函数，‎ 当时，，是减函数，‎ 当时，，是增函数，‎ 综上所述：当时，在上是增函数，‎ 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．‎ ‎（2）当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎∴的极小值为，‎ 的极大值为，‎ 设，其中，，‎ ‎∴在上是增函数，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴有且仅有1个，使．‎ ‎∴当时，有且仅有1个零点．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．【答案】（1）或；（2）．‎ ‎【解析】（1）由得，即．‎ 直线的普通方程为，被圆截得的弦长为，‎ ‎∴圆心到的距离为，即，解得或．‎ ‎（2）法1：当时，将的参数方程代入圆的直角坐标方程得，‎ ‎，即，‎ 由于，故可设，是上述方程的两实根，∴，‎ 又直线过点，故由上式及的几何意义得，．‎ 法2：当时，点，易知点在直线上． ‎ 又，∴点在圆外，联立消去得．‎ 不妨设、，∴．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 由得，‎ 当时，不等式等价于，解得，∴；‎ 当时，不等式等价于，即，∴此时不等式无解；‎ 当时，不等式等价于，解得，∴．‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎（2）．‎ ‎∵原命题等价于，‎ ‎∴，∴为所求实数的取值范围．‎