2019年广东省中考数学模拟试卷（四）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. −7的绝对值是( )
A. −7 B. 7 C. −17 D. 17
2. 在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案.下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1500000km，数1500000用科学记数法表示为( )
A. 15×105 B. 1.5×106 C. 0.15×107 D. 1.5×105
4. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2−2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为( )
A. 3 B. −3 C. 2 D. −1
5. 如图所示的几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
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D.
1. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50∘，则∠2=( )
A. 20∘ B. 30∘ C. 40∘ D. 50∘
2. 某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
3
3
6
2
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为( )
A. 24.5，24.5 B. 24.5，24 C. 24，24 D. 23.5，24
3. 在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )
A. (−2,1) B. (−8,4)
C. (−8,4)或(8,−4) D. (−2,1)或(2,−1)
4. 小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时间后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s(单位：m)与时间t(单位：min)之间函数关系的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点.给出以下结论：
①四边形AECF为平行四边形；
②∠PBA=∠APQ；
③△FPC
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为等腰三角形；
④△APB≌△EPC．
其中正确结论的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
1. 分解因式：2m2−2=______．
2. 把直线y=−x−1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为______．
3. 若m+1m=3，则m2+1m2=______．
4. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60∘，∠BCO=90∘，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为______cm2.(结果保留π)
5. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8)，则点E的坐标为________．
6. 如图抛物线y=x2+2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为______．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
7.
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计算：|3−2|+(2018−1)0+2sin45∘−2cos30∘+(12018)−1．
1. 先化简，再求值：(2a+1+a+2a2−1)÷aa−1，其中a=2−1．
四、解答题（本大题共7小题，共54.0分）
2. 尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)．
如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90∘，AB=a．
3. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45∘，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60∘，点A、B、C三点在同一水平线上．
(1)计算古树BH的高；
(2)计算教学楼CG的高.(参考数据：2≈14，3≈1.7)
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1. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______；
(2)将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是“______”；
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
2. 已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
(1)求证：AB=AF；
(2)若AG=AB，∠BCD=120∘，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
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1. 如图，A(4,3)是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB//x轴，截取AB=OA(B在A右侧)，连接OB，交反比例函数y=kx的图象于点P．
(1)求反比例函数y=kx的表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)求△OAP的面积．
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AO是△ABC的角平分线.以O为圆心，OC为半径作⊙O．
(1)求证：AB是⊙O的切线．
(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=12，求AEAC的值．
(3)在(2)的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=−32
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且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC.求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
【答案】
1. B 2. C 3. B 4. B 5. D 6. C 7. A
8. D 9. B 10. B
11. 2(m+1)(m−1)
12. y=−x
13. 7
14. 14π
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15. (10,3)
16. 322
17. 解：原式=3−2+1+2×22−2×32+2018=2019．
18. 解：原式=[2a+1+a+2(a+1)(a−1)]⋅a−1a=3a(a+1)(a−1)⋅a−1a=3a+1，
当a=2−1时，原式=32−1+1=322．
19. 解：如图所示，
△ABC为所求作
20. 解：(1)由题意：四边形ABED是矩形，可得DE=AB=7米，AD=BE=1.5米，
在Rt△DEH中，∵∠EDH=45∘，
∴HE=DE=7米．
∴BH=EH+BE=8.5米．
(2)作HJ⊥CG于G.则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x．
在Rt△EFG中，tan60∘=GFEF，
∴3=7+xx，
∴x=72(3+1)，
∴GF=3x≈16.45
∴CG=CF+FG=1.5+16.45≈18.0米．
21. 200 81∘ 微信
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22. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=AF．
(2)解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF//CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120∘，
∴∠FAG=60∘，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．
23. 解：(1)将点A(4,3)代入y=kx，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=12x；
(2)如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC=4、AC=3，
∴OA=42+32=5，
∵AB//x轴，且AB=OA=5，
∴点B的坐标为(9,3)；
(3)∵点B坐标为(9,3)，
∴OB所在直线解析式为y=13x，
由y=13xy=12x可得点P
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坐标为(6,2)，
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为(6,3)，
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=12×(2+6)×3−12×6×2−12×2×1=5．
24. (1)如图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切线；
(2)如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD=90∘，
∴∠ECO+∠OCD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACE+∠ECO=90∘，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴AEAC=CECD，
∵tan∠D=12，
∴CECD=12，
∴AEAC=12；
(3)由(2)可知：AEAC=12，
∴设AE=x，AC=2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴AEAC=ACAD，
∴AC2=AE⋅AD，
∴(2x)2=x(x+6)，
解得：x=2或x=0(不合题意，舍去)，
∴AE=2，AC=4，
由(1)可知：AC=AF=4，
∠OFB=∠ACB=90∘，
∵∠B=∠B，
∴△OFB∽△ACB，
∴BFBC=OFAC，
设BF=a，
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∴BC=4a3，
∴BO=BC−OC=4a3−3，
在Rt△BOF中，
BO2=OF2+BF2，
∴(4a3−3)2=32+a2，
∴解得：a=727或a=0(不合题意，舍去)，
∴AB=AF+BF=1007．
25. 解：(1)①y=12x+2当x=0时，y=2，当y=0时，x=−4，
∴C(0,2)，A(−4,0)，
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=−32对称，
∴点B的坐标为1，0)．
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A(−4,0)，B(1,0)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x−1)，
又∵抛物线过点C(0,2)，
∴2=−4a
∴a=−12
∴y=−12x2−32x+2．
(2)设P(m,−12m2−32m+2)．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q(m,12m+2)，
∴PQ=−12m2−32m+2−(12m+2)
=−12m2−2m，
∵S△PAC=12×PQ×4，
=2PQ=−m2−4m=−(m+2)2+4，
∴当m=−2时，△PAC
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的面积有最大值是4，
此时P(−2,3)．
(3)方法一：
在Rt△AOC中，tan∠CAO=12在Rt△BOC中，tan∠BCO=12，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90∘，
∴∠CAO+∠OBC=90∘，
∴∠ACB=90∘，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO，
如下图：
①当M点与C点重合，即M(0,2)时，△MAN∽△BAC；
②根据抛物线的对称性，当M(−3,2)时，△MAN∽△ABC；
③当点M在第四象限时，设M(n,−12n2−32n+2)，则N(n,0)
∴MN=12n2+32n−2，AN=n+4
当MNAN=12时，MN=12AN，即12n2+32n−2=12(n+4)
整理得：n2+2n−8=0
解得：n1=−4(舍)，n2=2
∴M(2,−3)；
当MNAN=21时，MN=2AN，即12n2+32n−2=2(n+4)，
整理得：n2−n−20=0
解得：n1=−4(舍)，n2=5，
∴M(5,−18)．
综上所述：存在M1(0,2)，M2(−3,2)，M3(2,−3)，M4(5,−18)，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
方法二：
∵A(−4,0)，B(1,0)，C(0,2)，
∴KAC×KBC=−1，
∴AC⊥BC，MN⊥x轴，
若以点A、
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M、N为顶点的三角形与△ABC相似，
则MNNA=ACBC，MNNA=BCAC，
设M(2t,−2t2−3t+2)，
∴N(2t,0)，
①|2t2+3t−22t+4|=525，
∴|2t−12|=12，
∴2t1=0，2t2=2，
②|2t2+3t−22t+4|=255，
∴|2t−12|=2，∴2t1=5，2t2=−3，
综上所述：存在M1(0,2)，M2(−3,2)，M3(2,−3)，M4(5,−18)，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
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