答案版-2020·长沙中考总复习九下数学试题试卷.docx

‎2020·长沙中考总复习数学 ‎2020·长沙中考总复习数学 九年级下册过关检测卷 ‎（满分：120分，时间：120分钟）‎ 一、选择题(本题共12个小题，每题3分，共36分)‎ ‎1. 如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（　　）‎ A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2‎ ‎【分析】反比例函数y＝图象在一、三象限，可得k＞0．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，‎ ‎∴a﹣2＞0，‎ ‎∴a＞2．‎ 故选：D．‎ ‎2. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】此题考查立体几何里三视图的左视图，三视图的左视图，应从左面看，故选B ‎3. 已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（　　）‎ A． B． ‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 C． D．‎ ‎【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a、b的符号确定一次函数图象所经过的象限．‎ ‎【解答】解：若反比例函数y＝经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限；‎ 若反比例函数y＝经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限．‎ 故选项A正确；‎ 故选：A．‎ ‎4. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】由平行线得出△ADE∽△ABC，得出对应边成比例＝，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴＝，‎ 即＝，‎ 解得：BC＝6，‎ 故选：B．‎ ‎5. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎，则S△DEG：S△CFG＝（　　）‎ A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9‎ ‎【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设DE＝x，‎ ‎∵DE：AD＝1：3，‎ ‎∴AD＝3x，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，‎ ‎∵点F是BC的中点，‎ ‎∴CF＝BC＝x，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△DEG∽△CFG，‎ ‎∴＝（）2＝（）2＝，‎ 故选：D．‎ ‎6. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据如下表．根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为(　　)‎ 近视眼镜的度数y(度)‎ ‎200‎ ‎250‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎1000‎ 镜片焦距x(米)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ A. y＝ 　 B. y＝　 C. y＝　 D. y＝ ‎【答案】A ‎【解析】由表格中数据可得xy＝100，故y关于x的函数表达式为y＝.故选A.‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎7. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝(k1＞0，x＞0)，y＝(k2＞0，x＞0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点．若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为(　　)‎ A. 8 B. －8 C. 4 D. －4‎ ‎【答案】A ‎【解析】如解图，设AB交y轴于点D，连接OB，OA，∵AB∥x轴，点C在x轴上，∴S△ABC＝S△ABO＝S△ADO－S△BDO＝k1－k2＝4，则k1－k2＝8.‎ ‎8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为(　　)‎ A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺 ‎【答案】B ‎【解析】设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，标杆的影长五寸＝0.5尺，∴＝，解得x＝45，即竹竿的长度为四丈五尺．‎ ‎9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝ ，则BC的长是（　　）‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎ ‎ A．10 B．8 C．4 D．2 ‎ ‎【分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2 x，由AC＝12即可求x，进而求出BC；‎ ‎【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝ ，‎ 设CD＝5x，BD＝7x，‎ ‎∴BC＝2 x，‎ ‎∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，‎ ‎∴AD＝BD＝7x，‎ ‎∴AC＝12x，‎ ‎∵AC＝12，‎ ‎∴x＝1，‎ ‎∴BC＝2 ；‎ 故选：D．‎ ‎10. 如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（    ） ‎ ‎ ‎ A. 2                                 B.                                          C.                                          D. ‎ ‎ 【答案】 D ‎ ‎【考点】圆锥的计算 ‎ ‎【解析】【解答】解：设BD=2r， ‎ ‎∵∠A=90°，‎ ‎∴AB=AD= r，∠ABD=45°，‎ ‎∵上面圆锥的侧面积S= ·2πr· r=1，‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎∴r2= ，‎ 又∵∠ABC=105°，‎ ‎∴∠CBD=60°，‎ 又∵CB=CD，‎ ‎∴△CBD是边长为2r的等边三角形，‎ ‎∴下面圆锥的侧面积S= ·2πr·2r=2πr2=2π× = .‎ 故答案为：D.‎ ‎11. 如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（　　）‎ A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8‎ ‎【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．‎ ‎【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：‎ ‎ 则△BDE≌△FDE，‎ ‎∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°‎ ‎ 易证△ADF∽△GFE ‎∴，‎ ‎∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），‎ ‎∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，‎ ‎∵D.E在反比例函数y＝的图象上，‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎∴E（，4）、D（﹣8，）‎ ‎∴OG＝EC＝，AD＝﹣，‎ ‎∴BD＝4+，BE＝8+‎ ‎∴，‎ ‎∴AF＝，‎ ‎ 在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2‎ ‎ 即：（﹣）2+22＝（4+）2‎ ‎ 解得：k＝﹣12‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1：2是解题的关键．‎ ‎12. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】点A，B落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：过点A.B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D.E，‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上，‎ ‎∴S△AOD＝1，S△BOE＝4，‎ ‎ 又∵∠AOB＝90°‎ ‎∴∠AOD＝∠OBE，‎ ‎∴△AOD∽△OBE，‎ ‎∴（）2＝，‎ ‎∴‎ ‎ 设OA＝m，则OB＝‎2m，AB＝，‎ ‎ 在RtAOB中，sin∠ABO＝‎ 故选：D．‎ ‎【点评】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．‎ 二、填空题（本大题共6各小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13. 反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝　 　．‎ ‎【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．‎ ‎【解答】解：∵点P的坐标为（2，n），则点Q的坐标为（3，n﹣1），‎ 依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），‎ 解得：n＝3，‎ ‎∴k＝2×3＝6，‎ 故答案为：6．‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎14. 一次函数y1＝﹣x+6与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是　 　．‎ 答案：2＜x＜4‎ 考点：一次函数与反比函数的图象，由图象解不等式。‎ 解析：由图可知，当2＜x＜4时，有y1＞y2‎ 在x＜2， x＞4时，都有y1＜y2时，‎ 所以，2＜x＜4.‎ ‎15. +|sin30°﹣π0|+＝　 　．‎ ‎【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝2﹣+1﹣﹣[来*源%:zzs#tep&.@com]‎ ‎＝1﹣．‎ 故答案为：1﹣‎ ‎16. 如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是　 　．‎ ‎【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．‎ ‎【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2‎ 在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°‎ ‎∴∠ABC1＝30°‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，‎ 在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°‎ ‎∴∠AC2B＝30°‎ ‎∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，‎ 当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．‎ 故答案为：＜BC＜2．‎ ‎17. 如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走　 　个小立方块．‎ ‎【分析】根据新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同解答即可．‎ ‎【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同，所以最多可以取走4个小立方块．‎ 故答案为：4[w*^ww.z&zst@e%p.com]‎ ‎18. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　 　．‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎【分析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，由△A′EP∽△D′PH，推出＝，推出＝，可得x＝2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABC是矩形，‎ ‎∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，‎ 由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，‎ ‎∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，‎ ‎∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，‎ ‎∵△A′EP∽△D′PH，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴x2＝4a2，‎ ‎∴x＝2a或﹣2a（舍弃），‎ ‎∴PA′＝PD′＝2a，‎ ‎∵•a•2a＝1，‎ ‎∴a＝1，‎ ‎∴x＝2，‎ ‎∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，‎ ‎∴AD＝4+2++1＝5+3，‎ ‎∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）．‎ 故答案为2（5+3）‎ 三、解答题（本题共8个小题，共66分）‎ ‎19. （6分）计算题：（1）tan45°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．‎ ‎（2）4sin60°+（﹣2019）0﹣（）﹣1+|﹣2|．[www.%@z&zste*#p.com]‎ ‎【】【解答】（1）解：原式＝1+1﹣2+（2﹣）＝．‎ ‎（2）【解答】解：原式＝4×+1﹣2+2＝4﹣1．‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎20. （8分）如图，已知A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的图象的两个交点．‎ ‎（1）求反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△AOB的面积．‎ ‎【分析】（1）根据A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点，可以求得m的值，进而求得n的值，即可解答本题；‎ ‎（2）根据函数图象和（1）中一次函数的解析式可以求得点C的坐标，从而根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC可以求得△AOB的面积．[来*@源:zzs^te%p.~com]‎ ‎【解答】解：（1）∵A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点，‎ ‎∴4＝，得m＝﹣4，‎ ‎∴y＝﹣，‎ ‎∴﹣2＝﹣，得n＝2，‎ ‎∴点A（2，﹣2），[中国教^#育出~&版网%]‎ ‎∴，解得，[来*@#&源:^中教网]‎ ‎∴一函数解析式为y＝﹣2x+2，‎ 即反比例函数解析式为y＝﹣，一函数解析式为y＝﹣2x+2；[来&源:z*zstep.c@~om%]‎ ‎（2）设直线与y轴的交点为C，当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，‎ ‎∴点C的坐标是（0，2），‎ ‎∵点A（2，﹣2），点B（﹣1，4），‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×1＝3．‎ ‎21. （8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．‎ ‎（1）求证：BD2＝AD•CD；‎ ‎（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．‎ ‎【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；‎ ‎（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD•CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求MN的长．‎ ‎【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，[www.~z*zs&tep.c#om^]‎ ‎∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，‎ ‎∴△ABD∽△BCD ‎∴[来~源:^zzstep.co#m%&]‎ ‎∴BD2＝AD•CD[来源@:中教&^*网%]‎ ‎（2）∵BM∥CD ‎∴∠MBD＝∠BDC ‎∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°‎ ‎∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA ‎∴BM＝MD＝AM＝4‎ ‎∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，‎ ‎∴BD2＝48，‎ ‎∴BC2＝BD2﹣CD2＝12[来源:*#中国教^育出版~&网]‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎∴MC2＝MB2+BC2＝28‎ ‎∴MC＝2[www.z&^zs#tep.c*o~m]‎ ‎∵BM∥CD ‎∴△MNB∽△CND ‎∴，且MC＝2[w*w&w.zzste^~p.c@om]‎ ‎∴MN＝‎ ‎22. （6分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．‎ ‎【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．[来源:zz%ste*p&.co@m~]‎ ‎【解答】[来源:中国#%&教育出*@版网]‎ 解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，‎ 连接GF并延长交OE于点H，‎ ‎∵GF∥AC，[来源^:中&~教#*网]‎ ‎∴△MAC∽△MFG，[来源:%中国@#教*育~出版网]‎ ‎∴，‎ 即：，‎ ‎∴，‎ ‎∴OE＝32，‎ 答：楼的高度OE为32米．‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎23. （6分）如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h（结果取整数，≈1.732）‎ ‎【解答】解：由题意得，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝10km，‎ 在Rt△APM和Rt△BPM中，tanA＝＝，tanB＝＝1，‎ ‎∴AM＝＝h，BM＝h，‎ ‎∵AM+BM＝AB＝10，‎ ‎∴h+h＝10，‎ 解得：h＝15﹣5≈6；‎ 答：h约为6km．‎ ‎24. （6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，请求出DE的长度。‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎【分析】由CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以CD＝BC＝6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，‎ ‎∴AC＝8，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE＝∠CDE，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠D＝∠ABE，‎ ‎∴∠D＝∠CBE，‎ ‎∴CD＝BC＝6，‎ ‎∴△AEB∽△CED，‎ ‎∴，‎ ‎∴CE＝AC＝×8＝3，‎ BE＝，‎ DE＝BE＝×＝，‎ 故答案为．‎ ‎25. （10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝的图象相切于点C．‎ ‎（1）切点C的坐标是　 　；‎ ‎（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m＞0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y＝的图象上时，求k的值．‎ ‎[来~@源*:&中教#网]‎ ‎【分析】（1）将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，求解即可；‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎（2）先求出点M坐标，再求出点C和点M平移后的对应点的坐标，列出方程可求m和k的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数y＝的图象相切于点C ‎∴﹣2x+8＝‎ ‎∴x＝2，‎ ‎∴点C坐标为（2，4）‎ 故答案为：（2，4）；‎ ‎（2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，[w@w*w.z&z^step.c~om]‎ ‎∴点B（4，0）‎ ‎∵点M为线段BC的中点，‎ ‎∴点M（3，2）‎ ‎∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为（2﹣m，4），（3﹣m，2）‎ ‎∴k＝4（2﹣m）＝2（3﹣m）[ww~w.zz@st^ep%.#com]‎ ‎∴m＝1‎ ‎∴k＝4‎ ‎26. （12分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．‎ ‎（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；‎ ‎（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．‎ ‎【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；‎ ‎（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形 ‎∴∠A＝∠B＝∠C＝60°‎ 由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上 ‎∴∠DFC＝∠C＝60°‎ ‎∴∠DFC＝∠A ‎∴DF∥AB；‎ ‎（2）存在，‎ 过点D作DM⊥AB交AB于点M，‎ ‎∵AB＝BC＝6，BD＝4，‎ ‎∴CD＝2‎ ‎∴DF＝2，‎ ‎∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，‎ ‎∴当点F在DM上时，S△ABF最小，‎ ‎∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°‎ ‎∴MD＝2‎ ‎∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6‎ ‎∴S最大值＝×2×3﹣（6﹣6）＝﹣3+6‎ ‎（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，‎ ‎2020·长沙中考总复习数学 ‎∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE ‎∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°‎ ‎∵GD⊥EF，∠EFD＝60°‎ ‎∴FG＝1，DG＝FG＝‎ ‎∵BD2＝BG2+DG2，‎ ‎∴16＝3+（BF+1）2，‎ ‎∴BF＝﹣1‎ ‎∴BG＝‎ ‎∵EH⊥BC，∠C＝60°‎ ‎∴CH＝，EH＝HC＝EC ‎∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°‎ ‎∴△BGD∽△BHE ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴EC＝﹣1‎ ‎∴AE＝AC﹣EC＝7﹣‎