2020江苏高考数学名校地市好题必刷全真模拟卷
Ⅰ卷
一. 填空题：本大题共14小题，每小题5分共计70分
1.已知集合A＝{x|x≥3}∪{x|x＜－1}，则∁RA＝____________．
【答案】[－1，3)
【解析】 解析：∁RA＝[－1，3)．
2. 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为__________．
【答案】
【解析】设社团编号分别为1，2，…，8，从而基本事件总数为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)；(2，1)，(2，2)，…，(2，8)；…；(8，1)，(8，2)，…，(8，8)共64个，从而两个同学参加同一社团的概率为＝.
3. 复数z＝(其中i为虚数单位)的模为__________．
【答案】
【解析】等式两边取模得|z|＝＝.
4. 从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为__________．
【答案】76
【解析】由样本容量是5知80件产品每16件一组，即0～15，16～31，32～47，48～63，64～79，从而最大编号a5＝a2＋16×3＝28＋48＝76.
5. 执行右边的伪代码，输出的结果是____________．
S←1
I←3
While S≤200S←S×I
I←I＋2
End While
Print I
(第5题)
【答案】11
【解析】I＝3时满足S≤200得到S＝3，I＝5；I＝5时满足S≤200得到S＝15，I＝7；I＝7时满足S≤200得到S＝15×7＝105，I＝9；I＝9时满足S≤200得到S＝105×9＝945，I＝11；I＝11时不满足S≤200，退出循环输出I＝11.
6. 若loga＜1，则a的取值范围是__________．
【答案】a＞4
【解析】loga＜logaa，当a＞1时，＜a，即a2－a－12＞0，∴ a＞4；当0＜a＜1时，＞a，即a2－a－12＞0无解．综上a＞4.
7. 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y＝3x－4，则b的值为________．
【答案】－3
【解析】由f(x)为奇函数知a＝0，设切点(x0，x＋bx0)，k＝f′(x0)＝3x＋b，从而切线方程为y＝(3x＋b)(x－x0)＋x＋bx0＝(3x＋b)x－2x，从而有解得x0＝，b＝3－6＝－3.
8. 设l、m表示直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的__________________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．
【答案】充要
【解析】线与面垂直就是指线与面的任意一条线垂直．
9. 在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程为________．
【答案】y＝－(x－1)＋1
【解析】由题意知直线HB的方程为y＝x－1，
代入圆的方程，得x2＋(x－1)2＝2，解得x＝，
从而得B点坐标为(，)，
从而kAB＝＝－，
从而直线AB的方程为y＝－(x－1)＋1.
10. 在△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则·的值为____________．
【答案】－36
【解析】由题设知
将向量等式两边平方，得
从而有4·＝4×82－202＝(16＋20)(16－20)＝－36×4，∴ ·＝－36.
11. 设x、y、z是实数，若9x、12y、15z成等比数列，且、、成等差数列，则＋的值为______________．
【答案】
【解析】由题知
解得xz＝y2＝y2，x＋z＝y，
从而＋＝＝
＝－2＝－2＝.
12. 若是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个零点，则函数f(x)在区间(0，2π)内所有极值点之和为________________．
【答案】π
【解析】由题知2×＋φ＝kπ，从而φ＝－＋kπ，k∈Z，从而f(x)＝±sin(2x－)，函数在(0，2π)上所有极值点之和就是图象在(0，2π)上的所有最高点与最低点的横坐标之和．
令2x－＝＋kπ，从而2x＝π＋kπ，
即x＝π＋k，k∈Z，又x∈(0，2π)，故k＝0，1，2，3，从而所有极值点之和为π×4＋＋π＋π＝π＋3π＝π
13. 若不等式(mx－1)[3m2－(x＋1)m－1]≥0对任意m∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的值为______________．
【答案】1
【解析】令3m2－(x＋1)m－1＝0，
∵ Δ＝(x＋1)2＋12＞0，
故此方程关于变量m有两个不相等的实根m1、m2，且m1m2＝－＜0，故不妨设m1＜0＜m2，
从而3m2－(x＋1)m－1＝3(m－m1)(m－m2)．
故原不等式可转化成对于任意m∈(0，＋∞)，
3(mx－1)(m－m1)(m－m2)≥0恒成立．
又m＞0，－m1＞0，从而m－m1＞0，
故原不等式可转化为(mx－1)(m－m2)≥0对于任意m∈(0，＋∞)恒成立，
由题设知二次函数f(m)＝(mx－1)(m－m2)的图象开口一定向上(x＞0)，且与x轴相切即方程(mx－1)(m－m2)＝0有两个相等实根．
即＝m2为3m2－(x＋1)m－1＝0实根，
即有3－(x＋1)－1＝0(x＞0)，解得x＝1.
14. 设实数a、b、c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为____________．
【答案】－
【解析】由题知a＋b＋c≥a＋b＋a2＋b2，
∵ ≥，
∴ a2＋b2≥，
从而a＋b＋c≥＋(a＋b)＝(a＋b＋1)2－≥－，“＝”当且仅当c＝a2＋b2，a＝b，a＋b＝－1即a＝b＝－，c＝时成立．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，已知·＝9，·＝－16.求：
(1) AB的值；
(2) 的值．
【解析】(1) (方法1)因为·＝9，·＝－16，(4分)
所以·－·＝9＋16＝25，即(＋)＝25，
亦即2＝25，故AB＝5.(7分)
(方法2)设A、B、C的对边依次为a、b、c，
则由条件得bccosA＝9，accosB＝16.(3分)
两式相加得c(bcosA＋acosB)＝9＋16＝25，即c2＝25，故AB＝c＝5.(7分)
(方法3)设A、B、C的对边依次为a、b、c，
则由条件得bccosA＝9，accosB＝16.(3分)
由余弦定理得(b2＋c2－a2)＝9，(c2＋a2－b2)＝16，
两式相加得c2＝25，故AB＝c＝5.(7分)
(2) ＝，(10分)
由正弦定理得
＝＝＝＝.(14分)
16. (本小题满分14分)
在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD，PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中点．求证：
(1) CE∥平面PAD；
(2) 平面PBC⊥平面PAB.
【解析】证明：(1) (方法1)取PA的中点F，连结EF、DF.(2分)
因为E是PB的中点，
所以EF∥AB，且EF＝AB.
因为AB∥CD，AB＝2DC，所以EF∥CD，
EF＝CD，于是四边形DCEF是平行四边形，(4分)
从而CE∥DF，而CE平面PAD，DF平面PAD，
故CE∥平面PAD.(7分)
(方法2)取AB的中点M，连结EM、CM.(2分)
因为E是PB的中点，所以EM∥PA.
因为AB∥CD，AB＝2DC，所以CM∥AD.(4分)
因为EM平面PAD，PA平面PAD，
所以EM∥平面PAD.
同理，CM∥平面PAD.
因为EM∩CM＝M，EM、CM平面CEM，
所以平面CEM∥平面PAD.
而CE平面PAD，故CE∥平面PAD.(7分)
(2) (接(1)中方法1)因为PD＝AD，且F是PA的中点，
所以DF⊥PA.
因为AB⊥平面PAD，DF平面PAD，所以DF⊥AB.(10分)
因为CE∥DF，所以CE⊥PA，CE⊥AB.
因为PA、AB平面PAB，PA∩AB＝A，
所以CE⊥平面PAB.
因为CE平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAB.(14分)
17. (本小题满分14分)
为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(mg/m3)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为
y＝
若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验可知，当空气中净化剂的浓度不低于4(mg/m3)时，它才能起到净化空气的作用．
(1) 若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化空气的时间可达几天？
(2) 若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化空气，试求a的最小值．(精确到0.1，参考数据：取1.4)
【解析】(1) 因为一次喷洒4个单位的净化剂，
所以浓度f(x)＝4y＝
则当0≤x≤4时，由－4≥4，
解得x≥0，所以此时0≤x≤4.(3分)
当4＜x≤10时，由20－2x≥4解得x≤8，所以此时4＜x≤8.
综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．(7分)
(2) 设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，
浓度g(x)＝2＋a[－1]＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4.(10分)
因为14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，
所以4∈[4，8]，故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.
令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6.(14分)
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：＋＝1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4.曲线C1上的点到原点O的最短距离为，以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.
(1) 求椭圆C2的标准方程；
(2) 设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上的点(与O不重合)．
① 若MO＝2OA，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
② 若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB面积的最小值．
【解析】(1) 由题意得
又a＞b＞0，解得a2＝8，b2＝1.
因此所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(4分)
(2) ① 设M(x，y)，A(m，n)，则由题设知：
||＝2||，·＝0.
即解得(8分)
因为点A(m，n)在椭圆C2上，
所以＋n2＝1，
即＋＝1，亦即＋＝1.
所以点M的轨迹方程为＋＝1.(10分)
② (方法1)设M(x，y)，则A(λy，－λx)(λ∈R，λ≠0)，
因为点A在椭圆C2上，
所以λ2(y2＋8x2)＝8，即y2＋8x2＝.①
又x2＋8y2＝8，②
①＋②，得x2＋y2＝，(13分)
所以S△AMB＝OM·OA＝|λ|(x2＋y2)
＝≥.
当且仅当λ＝±1(即kAB＝±1)时，(S△AMB)min＝.(16分)
(方法2)假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)，
解方程组得x＝，y＝，
所以OA2＝x＋y＝＋＝，AB2＝4OA2＝.
又
解得x＝，y＝，
所以OM2＝.(12分)
(解法1)由于S＝AB2·OM2
＝××
＝
≥
＝＝，
当且仅当1＋8k2＝k2＋8时等号成立，即k＝±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝.(15分)
当k＝0时，S△AMB＝×4×1＝2＞；
当k不存在时，S△AMB＝×2×2＝2＞.
综上所述，△AMB面积的最小值为.(16分)
(解法2)因为＋＝＋＝＝，
又＋≥，
于是OA·OM≥，当且仅当1＋8k2＝k2＋8时等号成立，即k＝±1时等号成立．(后同方法1)
19. (本小题满分16分)
设数列{an}的首项不为零，前n项和为Sn，且对任意的r、t∈N*，都有＝.
(1) 求数列{an}的通项公式(用a1表示)；
(2) 设a1＝1，b1＝3，bn＝Sbn－1(n≥2，n∈N*)，求证：数列{log3bn}为等比数列；
(3) 在(2)的条件下，求Tn＝.
【解析】(1) 解：因为a1＝S1≠0，令t＝1，r＝n，则由＝，得＝n2，即Sn＝a1n2.(2分)
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a1(2n－1)，且当n＝1时，此式也成立．
故数列{an}的通项公式为an＝a1(2n－1)．(5分)
(2) 证明：当a1＝1时，由(1)知an＝a1(2n－1)＝2n－1，Sn＝n2.
依题意，n≥2时，bn＝Sbn－1＝b，(7分)
于是log3bn＝log3b＝2log3bn－1(n≥2，n∈N*)，且log3b1＝1，
故数列{log3bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(10分)
(3) 解：由(2)得log3bn＝1×2n－1＝2n－1，
所以bn＝32n－1(n∈N*)．(12分)
于是＝
＝
＝－.(15分)
所以Tn＝＝＝－.(16分)
20. (本小题满分16分)
设函数f(x)＝ex－ax＋a(a∈R)，其图象与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＜x2.
(1) 求a的取值范围；
(2) 证明：f′()＜0(f′(x)为函数f(x)的导函数)；
(3) 设点C在函数y＝f(x)的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记＝t，求(a－1)(t－1)的值.
【解析】(1) 解：f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，则函数f(x)是单调增函数，这与题设矛盾．(2分)
所以a＞0，令f′(x)＝0，则x＝lna.
当x＜lna时，f′(x)＜0，f(x)是单调减函数；当x＞lna时，f′(x)＞0，f(x)是单调增函数；
于是当x＝lna时，f(x)取得极小值．(4分)
因为函数f(x)＝ex－ax＋a(a∈R)的图象与x轴交于两点A(x1，0)、B(x2，0)(x1＜x2)，
所以f(lna)＝a(2－lna)＜0，即a＞e2.
此时，存在1＜lna，f(1)＝e＞0；
存在3lna＞lna，f(3lna)＝a3－3alna＋a＞a3－3a2＋a＞0，
又由f(x)在(－∞，lna)及(lna，＋∞)上的单调性及曲线在R上不间断，可知a＞e2为所求取值范围．(6分)
(2) 证明：因为
两式相减，得a＝.
记＝s(s＞0)，则
f′＝e－
＝[2s－(es－e－s)]，(8分)
设g(s)＝2s－(es－e－s)，则g′(s)＝2－(es＋e－s)＜0，
所以g(s)是单调减函数，
则有g(s)＜g(0)＝0，而＞0，
所以f′＜0.
又f′(x)＝ex－a是单调增函数，且＞，
所以f′()＜0.(11分)
(3) 解：依题意有exi－axi＋a＝0，则
a(xi－1)＝exi＞0xi＞1(i＝1，2)．
于是e＝a，
在等腰三角形ABC中，显然C＝90°，(13分)
所以x0＝∈(x1，x2)，
即y0＝f(x0)＜0.
由直角三角形斜边的中线性质，可知＝－y0，
所以y0＋＝0，
即e－(x1＋x2)＋a＋＝0，
所以a－(x1＋x2)＋a＋＝0，
则a－[(x1－1)＋(x2－1)]＋＝0.
因为x1－1≠0，则
a－＋＝0，
又＝t，
所以at－(1＋t2)＋(t2－1)＝0，(15分)
即a＝1＋，所以(a－1)(t－1)＝2.(16分)
数学Ⅱ附加题
21.选做题，本题包括A,B,C三小题，请选其中两小题作答。若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
A. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝.
(1) 求矩阵A；
(2) 若A＝，求x、y的值．
【解析】(1) 由题意，得＝2，
即解得a＝2，b＝4.
所以A＝.(5分)
(2) (解法1)A＝，即＝，
所以解得(10分)
(解法2)因为A＝，
所以A－1＝.(7分)
因为A＝，
所以＝A－1＝＝.
所以(10分)
B．[选修4-4;坐标系与参数方程]（本小题10分）
在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程．
【解析】(解法1)以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，
则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心C为(1，0)．(4分)
直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，
因为圆心C(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，
所以圆C关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.(8分)
所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(10分)
(解法2)设曲线ρ＝2cosθ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝对称点为(ρ，θ)，
则(6分)
将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2cos，即ρ＝2sinθ.
所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(10分)
C．[选修4-5;不等式选讲]（本小题10分）
已知x、y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.
【解析】因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.(5分)
由绝对值不等式性质，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.
即|x＋5y|≤1.(10分)
22.（本小题满分10分）
某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
(1) 求恰有2人申请A大学的概率；
(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．
【解析】(1) 记“恰有2人申请A大学”为事件A，
P(A)＝＝＝.
答：恰有2人申请A大学的概率为.(4分)
(2) X的所有可能值为1，2，3.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
X的概率分布列为
X
1
2
3
P
所以X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.(10分)
23. （本小题10分）
设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：① 任意n∈N*，有f(n)∈Z；② 任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．
(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；
(2) 求f(n)的表达式．
【解析】(1) 因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5f(1)＝10，则f(1)＝2.(1分)
因为f(n)是单调增函数，
所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5.
因为f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝4.(3分)
(2) 由(1)可猜想f(n)＝n＋1.
因为f(n)单调递增，所以f(n＋1)＞f(n)．
又f(n)∈Z，所以f(n＋1)≥f(n)＋1.
首先证明：f(n)≥n＋1.
因为f(1)＝2，所以n＝1时，命题成立．
假设n＝k(k≥1)时命题成立，
即f(k)≥k＋1.
则f(k＋1)≥f(k)＋1≥k＋2，
即n＝k＋1时，命题也成立．
综上，f(n)≥n＋1.(5分)
由已知可得f(2)f(n)＝f(2n)＋f(n＋1)，而f(2)＝3，f(2n)≥2n＋1，所以3f(n)≥f(n＋1)＋2n＋1，
即f(n＋1)≤3f(n)－2n－1.
下面证明：f(n)＝n＋1.
因为f(1)＝2，所以n＝1时，命题成立．
假设n＝k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k＋1，
则f(k＋1)≤3f(k)－2k－1＝3(k＋1)－2k－1＝k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立．所以f(n)＝n＋1.(10分)
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