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山东省青岛市胶州市实验中学 2019-2020 学年第二学期高一数学期中
模拟检测(三)
（时间：120 分钟 满分 150 分）
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1．设 是纯虚数， 是虚数单位，若 是实数，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B． C． D．
3．在 中，已知向量 与 满足 且 ，则 是( )
A．三边均不相同的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示，为了了解该地区中小学生的近视形成
原因，用分层抽样的方法抽取 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
5．现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛,共有 2 道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道
z i 2
1
z
i
+
− z =
2i− 1
2 i− 1
2 i 2i
ABC AD BC E AD EB =
3 1
4 4AB AC− 1 3
4 4AB AC− 3 1
4 4
+AB AC 1 3
4 4
+AB AC
ABC∆ AB AC ( )AB AC BC
AB AC
+ ⊥
1• 2
AB AC
AB AC
=
ABC∆
2%
100 20 200 20 100 10 200 102
题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )
A． B． C． D．
6．已知 所在平面内的一点 满足 ，则 （）
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
7．已知外接圆半径为 6 的 的三边为 ， 面积为 ,且 ,
则面积 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．在 中， ， ， ，则 在 方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题 5 分，共 20 分）
9．已知复数 (a, ,i 为虚数单位),且 ,下列命题正确的是( )
A．z 不可能为纯虚数 B．若 z 的共轭复数为 ,且 ,则 z 是实数
C．若 ,则 z 是实数 D． 可以等于
10．（多选题）关于平面向量 ，下列命题中错误的是（）
A．若 ，则存在 使得 . B．若 为非零向量且 ，则 的夹角为直角.
C．若 ，则 D．
11．点 O 在 所在的平面内,则以下说法正确的有( )
1
3
2
3
1
2
3
4
ABC P 2 0PA PB PC+ + = : :PAB PAC PBCS S S =△ △ △
ABC∆ , , ,a b c 4sin sin 3B C+ = ABC∆ S 2 2 2S b c a= + −
S
8 17
17
16 17
17
128 17
17
64 17
17
ABC∆ 1AB = 2AC = AB AC BC+ = AC BC
4 5
5
− 5
5
− 5
5
4 5
5
iz a b= + b∈R 1a b+ =
z z z=
| |z z= | |z 1
2
, ,a b c
/ / , 0a b a ≠ Rλ ∈ ， b aλ= ,a b 0a b⋅ = ,a b
a b a c⋅ = ⋅ b c= ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
ABC∆3
A．若 ,则点 O 为 的重心
B．若 ,则点 O 为 的垂心
C．若 ,则点 O 为 的外心
D．若 ,则点 O 为 的内心
12．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学
根据表中数据分析得出的结论正确的是（）
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150 个为优秀）
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
三、填空题（每小题 5 分，共 20 小题）
13．已知复数 z 的模为 1，则 的最大值是________，最小值是________.
14．若向量 ，已知 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是
______.
15．某医院急救中心随机抽取 20 位病人等待急诊的时间记录如下表：
0OA OB OC+ + = ABC∆
0AC AB BC BAOA OB
AC AB BC BA
⋅ − = ⋅ − =
ABC∆
( ) ( ) 0OA OB AB OB OC BC + ⋅ = + ⋅ = ABC∆
OA OB OB OC OC OA⋅ = ⋅ = ⋅ ABC∆
2| |z i+
( ) ( ) ( ),3 , 1,4 , 2,1a k b c= = = 2 3a b− c k4
等待时间/分
频数
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 ______，病人等待时间方差的估计值 ______.
16．如图，在 中， ，D 为 边上的点，E 为 上的点，且 ， ，
，则 _______；若 ，则 ______.
四、解答题（17 题 10 分，其它题目每题 12 分，共 70 分）
17．已知复数 ， ，其中 为实数， 为虚数单位.
（1）若复数 在复平面内对应的点在第三象限，求 的取值范围；
（2）若 是实数（ 是 的共扼复数），求 的值.
[ )0,5 [ )5,10 [ )10,15 [ )15,20 [ ]20,25
4 8 5 2 1
x = 2s =
ABC∆
3B
π∠ = BC AD 8AE = 4 10AC =
4CED
π∠ = CE = 5CD = cos DAB∠ =
( )1
2 2 51z a ia
= + −− ( )2
2
3 105z a ia
= + −+ a i
1z a
1 2z z+ 2z 2z 1z5
18．设 是两个不共线的向量，已知 .
（1）求证： ， ， 三点共线；
（2）若 ，且 ，求实数 的值.
19．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参
加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
[10,15) 10 0.25
1 2,e e
1 2 1 2 1 22 8 , 3 , 2AB e e CB e e CD e e= − = + = −
A B D
1 23BF e ke= − BF BD ∥ k6
[15,20) 24 n
[20,25) m p
[25,30] 2 0.05
合计 M 1
(1)求出表中 M，p 及图中 a 的值；
(2)若该校高三学生有 240 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．7
20．已知 分别为 内角 的对边， ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）已知点 在 边上， ， ，求 ．
, ,a b c ABC△ , ,A B C 2cos 2
c bC a
+=
A
D BC 2 2DC BD= = 3AC = AD8
21．中学生研学旅行是通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究性学习和旅行体验相结合的校外教育活动，
是学校教育和校外教育衔接的创新形式，是综合实践育人的有效途径.每年暑期都会有大量中学生参加研学
旅行活动.为了解某地区中学生暑期研学旅行支出情况，在该地区各个中学随机抽取了部分中学生进行问卷
调查，从中统计得到中学生暑期研学旅行支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.
（1）利用分层抽样在 ， ， 三组中抽取 5 人，应从这三组中各抽取几人？
（2）从（1）抽取的 5 人中随机选出 2 人，对其消费情况进行进一步分析，求这 2 人不在同一组的概率；
（3）假设同组中的每个数据都用该区间的左端点值代替，估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值.
22．在훥퐴퐵퐶中，角퐴、퐵、퐶的对边分别是푎，푏，푐满足
（1）求角퐵的值；
[40,45) [45,50) [50,55]
1coscossin3 2 =+ BBB9
（2）若푏 = √3且푏 ≤ 푎，求 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1．设 是纯虚数， 是虚数单位，若 是实数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，根据复数的除法将复数 表示为一般形式，由题意得出该复数的虚部为零，
可求出实数 的值，由此可得出复数 的值.
【详解】
为纯虚数， 设 （ 且 ），
则 ，
又 实数， ，即 ，因此， .
ca 2
1−
z i 2
1
z
i
+
− z =
2i− 1
2 i− 1
2 i 2i
( ), 0z bi b R b= ∈ ≠ 2
1
z
i
+
−
b z
z ∴ z bi= b∈R 0b≠
( )( )
( )( ) ( )2 12 2 2 1 21 1 1 1 2 2
bi iz bi b b ii i i i
+ ++ + − += = = + +− − − +
2
1 i
z +
− ( )1 2 02 b∴ + = 2b = − 2z i= −10
故选：A.
【点睛】
本题考查利用复数类型求复数，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.
2．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加
法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应
用相反向量，求得 ，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得
，
ABC AD BC E AD EB =
3 1
4 4AB AC− 1 3
4 4AB AC−
3 1
4 4
+AB AC 1 3
4 4
+AB AC
1 1
2 2BE BA BC= +
BC BA AC= + 3 1
4 4BE BA AC= +
3 1
4 4EB AB AC= −
( )1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC= + = + = + + 1 1 1 3 1
2 4 4 4 4BA BA AC BA AC = + + = +11
所以 ，故选 A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法
的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
3．在 中，已知向量 与 满足 且 ，则 是( )
A．三边均不相同的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
和 是两个单位向量，设 ＝ ，则 是 的平分线，由此可得 ，
从而确定三角形是等腰三角形，再由 ，求出 即可判断．
【详解】
设 ＝ ，∵ 和 是两个单位向量，∴ 是 的平分线，
由题意 ，∴ 是等腰三角形，
，即 ，∴ ，
∴ 是等边三角形，
故选：D．
3 1
4 4EB AB AC= −
ABC∆ AB AC ( )AB AC BC
AB AC
+ ⊥
1• 2
AB AC
AB AC
=
ABC∆
AB
AB
AC
AC
AB AC
AB AC
+
AD AD BAC∠ AD BC⊥
1• 2
AB AC
AB AC
=
BAC∠
AB AC
AB AC
+
AD AB
AB
AC
AC
AD BAC∠
AD BC⊥ ABC∆
•AB AC
AB AC
11 1 cos 2BAC× × ∠ = 1cos 2BAC∠ =
3BAC
π∠ =
ABC∆12
【点睛】
本题考查向量的数量积，考查向量加法的平行四边形法则．解题关键是由向量垢平行四边形法则得出设
＝ ，则 是 的平分线．
4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示，为了了解该地区中小学生的近视形成
原因，用分层抽样的方法抽取 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意知，样本容量为 ，其中高中生人数为
，
高中生的近视人数为 ，故选 B.
【考点定位】
本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.
5．现有2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛,共有 2 道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道
题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )
AB AC
AB AC
+
AD AD BAC∠
2%
100 20 200 20 100 10 200 10
( )3500 4500 2000 2% 200+ + × =
2000 2% 40× =
40 50% 20× =13
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
列举基本事件，利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】
记两道题分别为 A，B，
所有抽取务情况为 ， ， ， ， ， ， ， ，(其中第 1 个，第 2 个分
别表示两个女教师抽取的题目，第 3 个表示男教师抽取的题目)，共有 8 种，其中满足恰有一男一女抽到同
一道题目的情况为 ， ， ， ，共 4 种.
故所求事件的概率为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了古典型概率的计算，列举法是确定基本事件的常用方法，属于基础题.
6．已知 所在平面内的一点 满足 ，则 （ ）
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
【答案】B
【解析】
【分析】
延长 至 ，可得出点 是 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
1
3
2
3
1
2
3
4
AAA AAB ABA ABB BAA BAB BBA BBB
ABA ABB BAA BAB
1
2
ABC P 2 0PA PB PC+ + = : :PAB PAC PBCS S S =△ △ △
PB D P ADC14
【详解】
延长 至 ，使得 ，于是有 ，即点 是 的重心，依据重心的性质，
有 .由 是 的中点，得 .
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导
得出。
7．已知外接圆半径为 6 的 的三边为 ， 面积为 ,且 ,
则面积 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理可得 ，再根据面积公式和余弦定理可得 ，利用同角的三角函数的基本关
系式可得 ，最后利用基本不等式可得 的最大值，从而可得面积的最大值.
【详解】
因为外接圆的半径为 ，所以 可化为：
，即 ，
由余弦定理可得 ，因 ，故 ，
PB D 2PD PB= 0PA PD PC+ + = P ADC
PAD PAC PDCS S S= =△ △ △ B PD : : 1: 2:1PAB PAC PBCS S S =△ △ △
ABC∆ , , ,a b c 4sin sin 3B C+ = ABC∆ S 2 2 2S b c a= + −
S
8 17
17
16 17
17
128 17
17
64 17
17
16b c+ = tan 4A =
sin A bc
6R = 4sin sin 3B C+ =
2 sin 2 sin 16R B R C+ = 16b c+ =
2 2 2 12 cos sin2b c a bc A bc A+ − = = 0bc > 4cos sinA A=15
即 ，而 ，故 ，
由 可以得到 ，故 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，故选 C.
【点睛】
本题考查解三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式以及基本不等式，属于中档题.
8．在 中， ， ， ，则 在 方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将 转化为 ，将 两边平方，证得 ，在直角三角形 中，
求得 夹角的余弦值，以及 ，代入公式 求得题目所求 在 方向上的投影.
【详解】
，两边平方并化简得 ，即 ，故三角形 为直角
三角形，所以 ， .所以 在 方向上的投影
.故选 D.
tan 4A = ( )0,A π∈ 4 17sin 17A =
16b c+ = 16 2 bc≥ 64bc ≤ 8b c= =
max
1 4 17 128 17642 17 17S = × × =
ABC∆ 1AB = 2AC = AB AC BC+ = AC BC
4 5
5
− 5
5
− 5
5
4 5
5
BC AC AB− AB AC AB AC+ = − AB AC⊥ ABC
,AC BC BC AC BC
BC
⋅
AC BC
AB AC BC AB AC+ = = − 0AB AC⋅ = AB AC⊥ ABC
2 2 5BC AC AB= + = 2cos
5
C = AC BC
2 4 5cos 2 55
AC BC AC C
BC
⋅ = = ⋅ =
16
【点睛】
本小题主要考查平面向量的数量积，考查向量投影的计算，属于基础题.
二、多选题
9．已知复数 (a, ,i 为虚数单位),且 ,下列命题正确的是( )
A．z 不可能为纯虚数 B．若 z 的共轭复数为 ,且 ,则 z 是实数
C．若 ,则 z 是实数 D． 可以等于
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.
【详解】
当 时, ,此时 为纯虚数,A 错误;若 z 的共轭复数为 ,且 ,则 ,因此 ,B
正确;由 是实数,且 知,z 是实数,C 正确;由 得 ,又 ,因此
, ,无解,即 不可以等于 ,D 错误.
故选：BC
【点睛】
本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.
10．（多选题）关于平面向量 ，下列命题中错误的是（ ）
A．若 ，则存在 使得 . B．若 为非零向量且 ，则 的夹角为直角.
iz a b= + b∈R 1a b+ =
z z z=
| |z z= | |z 1
2
0a = 1b = z i= z z z= a bi a bi+ = − 0b =
| |z | |z z= 1| | 2z = 2 2 1
4a b+ = 1a b+ =
28 8 3 0a a− + = 64 4 8 3 32 0∆ = − × × = − < | |z 1
2
, ,a b c
/ / , 0a b a ≠ Rλ ∈ ， b aλ= ,a b 0a b⋅ = ,a b 17
C．若 ，则 D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用共线向量定理和向量数量积的定义与运算律逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
由共线向量定理可知选项 A 正确；
因为 为非零向量，故当 时，它们的夹角为 ，所以，选项 B 正确；
因为 ，所以 ，所以选项 C 错误；
对于非零向量 ，当 与 不共线，且 时， ，所以，选项 D 错误.
故选：CD.
【点睛】
本题考查对向量数量积的运算律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律和结合律，本题属于基
础题.
11．点 O 在 所在的平面内,则以下说法正确的有( )
A．若 ,则点 O 为 的重心
B．若 ,则点 O 为 的垂心
C．若 ,则点 O 为 的外心
D．若 ,则点 O 为 的内心
a b a c⋅ = ⋅ b c= ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
,a b 0a b⋅ =
2
π
a b a c⋅ = ⋅ cos cosb cθ α=
, ,a b c a c 0, 0a b b c⋅ ⋅≠ ≠ ( ) ( )a b c a b c≠⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ABC∆
0OA OB OC+ + = ABC∆
0AC AB BC BAOA OB
AC AB BC BA
⋅ − = ⋅ − =
ABC∆
( ) ( ) 0OA OB AB OB OC BC + ⋅ = + ⋅ = ABC∆
OA OB OB OC OC OA⋅ = ⋅ = ⋅ ABC∆18
【答案】AC
【解析】
【分析】
逐项进行分析即可.
【详解】
解：选项 A，设 D 为 的中点，由于 ，所以 为 边上中线的三等分点(靠
近点 D)，所以 O 为 的重心；
选项 B，向量 分别表示在边 和 上的单位向量，设为 和 ，则它们的差是向量
，则当 ，即 时，点 O 在 的平分线上，同理由
，知点 O 在 的平分线上，故 O 为 的内心；
选项 C， 是以 为邻边的平行四边形的一条对角线，而 是该平行四边形的另一条对角
线， 表示这个平行四边形是菱形，即 ，同理有 ，于是 O 为
的外心；
选项 D，由 得 ，
∴ ，即 ，
∴ ．同理可证 ，
∴ ， ， ，即点 O 是 的垂心；
故选：AC．
【点睛】
BC ( ) 2OA OB OC OD= − + = − O BC
ABC∆
,
| | | |
AC AB
AC AB
AC AB AC′ AB′
B C′ ′ 0
| | | |
AC ABOA
AC AB
⋅ − =
OA B C′ ′⊥ BAC∠
0
| | | |
BC BAOB
BC BA
⋅ − =
ABC∠ ABC∆
OA OB+ ,OA OB AB｜ ｜
( ) 0AB OA OB⋅ + = | | | |OA OB= | | | |OB OC=
ABC∆
OA OB OB OC⋅ = ⋅ 0OA OB OB OC⋅ − ⋅ =
( ) 0OB OA OC⋅ − = 0OB CA⋅ =
OB CA⊥ ,OA CB OC AB⊥ ⊥
OB CA⊥ OA CB⊥ OC AB⊥ ABC∆19
本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题．
12．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学
根据表中数据分析得出的结论正确的是（ ）
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150 个为优秀）
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据图表直接计算平均数、方差和众数与甲、乙两班学生每分钟输入汉字数≥150 个的人数分析即可.
【详解】
甲、乙两班学生成绩的平均数都是 35，故两班成绩的平均数相同，A 正确； ，甲班成
绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B 正确.
甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为 149，乙班的中位数为 151，从而易知乙班不少于 150 个的人数
要多于甲班，C 正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D 错误.
2 2191 110s s= > =甲 乙20
故选：ABC
【点睛】
本题主要考查了根据平均数、方差和众数分析实际意义的问题,属于基础题型.
第 II 卷（非选择题)
三、填空题
13．已知复数 z 的模为 1，则 的最大值是________，最小值是________.
【答案】4 0
【解析】
【分析】
首先设 ，结合 z 的模为 1，即可求得 的轨迹，结合图像即可求解.
【详解】
设 ，则 ，则 ，故 所对应的点在以(0,1)为圆心，1 为半径的圆上，故 到原
点的最大距离为 2，最小距离为 0，所以 的最大值是 4，最小值是 0.
故答案为：4,0
【点睛】
本题考查复数的几何意义，恰当转化是关键，属于中档题.
14．若向量 ，已知 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是
______.
2| |z i+
z iϖ = + ϖ
z iϖ = + z iϖ= − 1iϖ − = ϖ ϖ
2| |z i+
( ) ( ) ( ),3 , 1,4 , 2,1a k b c= = = 2 3a b− c k21
【答案】
【解析】
【分析】
向量的夹角为钝角，转化为数量积为负，从而求得参数范围，再排除共线的可能即可.
【详解】
因为 与 的夹角为钝角，故
即 ，解得
又当 与 共线时，有 ，解得 .
此时 与 的夹角为 ，不是钝角，故舍去；
综上所述： .
故答案为： .
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，涉及共线的坐标运算，以及数量积的坐标运算，属综合基础题.
15．某医院急救中心随机抽取 20 位病人等待急诊的时间记录如下表：
等待时间/分
9 9, ,32 2
−∞ − ∪ −
( )2 3 2 3, 6a b k− = − −
2 3a b− c ( )2 3 0a b c− ⋅ ∠ = CDE∠
( )cos cosDAB CDE B∠ = ∠ − ∠
3
4 4AEC
π ππ∠ = − =
AEC∆ 2 2 2 2 cosAC AE CE AE CE AEC= + − ⋅ ⋅ ∠
2160 64 8 2CE CE= + + 2 8 2 96 0CE CE+ − =
4 2CE =
5CD = CDE∆
sin sin
CE CD
CDE CED
=∠ ∠
4 2 5
sin sin 4
CDE π=∠ 4sin 5CDE∠ =
D BC 3CDE B
π∠ > ∠ = 4 3
5 2
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