江苏睢宁县古邳中学2019-2020高一数学下学期期中试卷（Word版带答案）

数学 一、选择题（每小题 5 分，合计 50 分） 1．若直线过点( ,－3)和点( ,－4),则该直线的方程为（ ） A．y＝ x－4 B. y＝ x＋4 C . y＝ x－6 D. y＝ x＋2 2. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 3．如果 A(3, 1)、B(－2, k)、C(8, 11)在同一直线上，那么 k 的值是（ ） A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 4．下列四个命题中错误的是(　 　) A．若直线 ，b 互相平行，则直线 ，b 确定一个平面 B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面 5. 在△ABC 中， ＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A．无解 B．一解 C． 二解 D．不能确定 6．设 m，n 是不同的直线，α、β、γ 是不同的平面，有以下四个命题： ①Error!⇒β∥γ；②Error!⇒m⊥β；③Error!⇒α⊥β；④Error!⇒m∥α.其中正确的命题 是(　 　) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 7. 在△ABC 中，若 ，则△ABC 的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 AD 的中点，则异面直线 C1E 与 BC 所成的角的 余弦值是(　　) A. 1 3 B. 10 10 C. 10 5 D. 2 2 3 9．已知 b> >0 且 ＋b=1，则有 （ ） 2 01 x x − −< xxx 或 { }12 >+> 2 1222 aabbab >>>+> 22 122 ababba 22 122 >>>>+ a a a 1 1 1ABC A B C− BCAB ⊥ 21 === AABCAB π48 π32 π12 π8 )1,2( −P x y ba, ba 3= l 3 2 0mx y m− + + = ( )m R∈ l ABC∆ sin 2cos cosC A B= 2 2sin sinA B+ 111 CBAABC −（2）求二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值． 20．(4 分+8 分)直线 过点 且斜率为 ＞ ，将直线 绕 点按逆时针方向旋转 45 °得直线 ，若直线 和 分别与 轴交于 ， 两点．（1）用 表示直线 的斜率；（2） 当 为何值时， 的面积最小？并求出面积最小时直线 的方程． 21．(4 分+8 分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC 和以 BC 为直径的半圆弧 BC⌒ 组成，其中 AC 为 2 百米，AC⊥BC，∠A 为 π 3 ．若在半圆弧 BC⌒ ，线段 AC，线段 AB 上各建一个 观赏亭 D，E，F，再修两条栈道 DE，DF，使 DE∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ（ π 3 ≤θ＜ π 2 ）． （1）试用 θ 表示 BD 的长； （2）试确定点 E 的位置，使两条栈道长度之和最大. l )1,2(−P kk( )1 l P m l m y Q R k m k PQR∆ l22. (6 分+6 分)已知函数 , （1）若存在 ，使得不等式 有解，求实数 的 取值范围； （2）若函数 满足 ，若对任意 且 ，不等式 恒成立，求实数 m 的最大值． 高一数学期中试卷答案 2019.4 一选择题: k ( )g x [ ]( ) ( ) 2 2 2x xf x g x −⋅ + = − x∈R 0x ≠ (2 ) ( ) 10g x m g x⋅ −≥ 2 1( ) 2 1 x xf x −= + 0, 2 πθ  ∈   2 2(sin sin ) (2sin )f f kθ θ θ− < −A C D C B C D A B C 二、填空题: 11. 12. 13. 或 ； 14. 9 15. 16. 三、解答题: 17. (1)证明:由直三棱柱 ,得 ………………………………2 分 ………………………5 分 (2)因为三棱柱 为直三棱柱,所以 ,又 , 而 , ,且 , 所以 ……………8 分 又 ,所以平面 ⊥平面 …………………………………10 分 18. 解：（1）因为锐角△ABC 中， ，所以 又 A＋B＋C＝ ， 所以 . ……….4 分 （2） ， ，即 ， ……….6 分 将 ， ， 代入余弦定理： 得： ， ……….11 分 即 . ………..12 分 19. 解析：（1）连接 OC，由 AD= BD 知，点 D 为 AO 的中点， 又∵AB 为圆的直径，∴AC⊥BC， ∵ AC=BC，∴∠CAB=60°， ∴△ACO 为等边三角形，∴CD⊥AO． ……….2 分 ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D， ∴PD⊥平面 ABC，又 CD⊂平面 ABC， ∴PD⊥CD，PD∩AO=D， ∴CD⊥平面 PAB，PA⊂平面 PAB， ∴PA⊥CD． ……….6 分 （2）过点 D 作 DE⊥PB，垂足为 E，连接 CE， 由（1）知 CD⊥平面 PAB，又 PB⊂平面 PAB， 111 CBAABC − 1 1 / /A B AB 111 CBAABC − 1AB BB⊥ AB BC⊥ 1BB ⊂ 面 1 1BCC B BC ⊂ 面 1 1BCC B 1BB BC B= AB ⊥ 面 1 1BCC B AB ABD⊂ 面 ABD 1 1BCC B 1cos( ) cos 3B C A+ = − = − 1 1 2 2sin2 2 3ABCS bc A bc∆ = = × 1 2 2 22 3bc∴ × = 3c b = 2a = 1cos 3A = 3c b = 2 2 2a b c 2bccosA＝ ＋ － 4 26 9 0b b− + = b = 3 { }2 4x x< < π12 013 =++ yx 02 =+ yx ( 2,3)− 3 2 2 − 1 1 ABD,AB ABD,A B ⊄ ⊂而 面 面 1 1 // ABD,A B所以 平面 2 2sin 3A = 1cos 3A = π∴CD⊥PB，又 DE∩CD=D， ∴PB⊥平面 CDE，又 CE⊂平面 CDE， ∴CE⊥PB， ∴∠DEC 为二面角 C﹣PB﹣A 的平面角．……….9 分 设 AB=4,则由（1）可知 CD= ，PD=BD=3， ∴PB=3 ，则 DE= = ， ∴在 Rt△CDE 中，tan∠DEC= = ， ∴cos∠DEC= ，即二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值为 ．……….12 分 20. 解：(1)设直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为 ， ………4 分 (2)直线 的方程为 ，直线 的方程为 令 ，得 ，∴ ……….6 分 ∵ ，∴ ≥ ………9 分 由 得 舍去 ，∴当 时， 的面积最小， 最小值为 ，此时直线 的方程是 ．………12 分 21. 解：（1）连结 DC．在△ABC 中，AC 为 2 百米，AC⊥BC，∠A 为 π 3 ， 所以∠CBA＝ π 6 ，AB＝4，BC＝2 3．因为 BC 为直径，所以∠BDC＝ π 2 ， 所以 BD＝BCcosθ＝2 3cosθ． ……….4 分 15 5 15 5 l α m °+ 45α k kkm − +=− +=+°= 1 1 tan1 tan1)45tan( α αα l )2(1 +=− xky m )2(1 11 +− +=− xk ky 0=x k kyky RQ − +=+= 1 3,12 ||||2 1 PRQPQR xyyS ⋅−=∆ |1 )1(2| 2 − += k k 1>k 1 12|1 )1(2| 22 − +⋅=− +=∆ k k k kS PQR ]21 2)1[(2 +−+−= kk )12(4 + 1 21 −=− kk 21(12 −=+= kk ) 12 +=k PQR∆ )12(4 + l 0322)12( =++−+ yx（2）在△BDF 中，∠DBF＝θ＋ π 6 ，∠BFD＝ π 3 ，BD＝2 3cosθ， 所以 DF sin(θ＋)＝ BF sin(－θ)＝ BD sin∠BFD， 所以 DF＝4cosθsin( π 6 ＋θ)，且 BF＝4cos 2 θ，所以 DE＝AF=4－4cos 2 θ， ……….6 分 所以 DE＋DF＝4－4cos 2 θ＋4cosθsin( π 6 ＋θ)= 3sin2θ－cos2θ＋3 ＝2 sin(2θ－ π 6 )＋3． ………8 分 因为 π 3 ≤θ＜ π 2 ，所以 π 2 ≤2θ－ π 6 ＜ 5π 6 ， 所以当 2θ－ π 6 ＝ π 2 ，即θ＝ π 3 时，DE＋DF 有最大值 5，此时 E 与 C 重合．………11 分 答：当 E 与 C 重合时，两条栈道长度之和最大……….12 分 22. 解：（1） ． 对任意 ， 有： ． 因为 ，所以 ，所以 ， 因此 在 R 上递增．………………………………………2 分 令 ,则 且 ，所以 ， 即 在 时有解． 当 时， ，所以 ．…………………………6 分 (2)因为 ，所以 ( )， ………7 分 所以 ． 不等式 恒成立， 即 ， ， ………………10 分 因为 ，由基本不等式可得： ，当且仅当 时，等号成立． 所以 ，则实数 m 的最大值为 ．…………………………12 分 ( ) 2 1 212 1 2 1 x x xf x −= = −+ + 1 2,x x ∈ R 1 2x x< 1 2 2 1 2 11 2 2 2 2(2 2 )( ) ( ) 2 1 2 1 (2 1)(2 1) x x x x x xf x f x −− = − =+ + + + 1 2x x< 1 22 2 0x x− < ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x 2 2( ) (2 )f t t f t k− < − 2 22t t t k− < − 2k t t< + [ ]( ) ( ) 2 2 2x xf x g x −⋅ + = − ( ) 2 2x xg x −= + 0x ≠ ( ) 2 2 22 2 2 (2 2 ) 2x x x xg x − −= + = + − (2 ) ( ) 10g x m g x⋅ −≥ 2(2 2 ) 2 2 2 ) 10(x x x xm− −+ − + −⋅≥ 4 2m≤ 4 2 sint θ= [ ]0,1t ∈ [ ]0,1t ∈ [ ]0,1t ∈ 2 max( ) 2t t+ = 2k < 82 2 , 2, 2 .x xr r rr −= + > ≤ >令 则m r + 在 时恒成立 2r > 8+ 4 2r r ≥ 2 2r =