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山东省青岛市胶州市实验中学 2019-2020 学年第二学期高一数
学期中模拟检测（二）
（时间：120 分钟 满分：150 分）
一、单选题
1．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
3． 为非零向量,且 ,则( )
A． ,且 与 方向相同 B． 是共线向量
C． D． 无论什么关系均可
4．如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是 ，是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图 中， ， ， 平分线交△ABC 的外接圆于点 ，
设 ， ，则向量 （ ）
1 2z i= + 5 5zz i
z
− + =
1 2i+ 2 i+ 1 2i− 2 i−
4cos 2 5
π α + = − ,2
πα π ∈ sin( 2 )π α− =
24
25
12
25
12
25
− 24
25
−
,a b a b a b+ = +
/ /a b a b ,a b
a b= − ,a b
1
2
1
16
3
16
1
4
13
16
Rt ABC∆
2ABC
π∠ = 2AC AB= BAC∠ D
AB a= AC b= AD =试卷第 2 页，总 22 页
A． B． C． D．
6．将函数 f(x)=sin 3x- cos 3x+1 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，给
出下列关于 g(x)的结论：
①它的图象关于直线 x= 对称； ②它的最小正周期为 ；
③它的图象关于点( ，1)对称； ④它在[ ]上单调递增.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
7．如图是 2019 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅
度的数据统计图，给出下列 4 个结论
①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；
②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；
③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；
④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海.
a b+ 1
2 a b+ 1
2a b+ 2
3a b+
3 6
π
5
9
π 2
3
π
11
18
π 5 19
3 9
π π，试卷第 3 页，总 22 页
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．甲在微信群中发了一个 6 元“拼手气”红包,被乙、丙、丁三人抢完,若三人均领到整数元,
且每人至少领到 1 元,乙获得“最佳手气”(乙领到的钱数最多)的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数 （其中 ，
， 的部分图象，则下列结论正确的是
（ ）．
A..函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调增
D．函数 与 的图象的所有交点的横坐标之和为
10．下列叙述中错误的是( )
A．若 ，则 B．若 ，则 与 的方向相同或相反
C．若 ， ，则 D．对任一向量 ， 是一个单位向量
11．在某次高中学科竞赛中，4000 名考生的参赛成绩统计如图所示，60 分以下视为不及格，
若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）
1
3
3
10
2
5
3
4
( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0A >
0>ω 0 πϕ< <
( )f x π
2x =
( )f x π ,012
−
( )f x π π,3 6
−
1y = ( ) π 23π
12 12y f x x = − ≤ ≤
8π
3
a b= 3 2a b> / /a b a b
/ /a b / /b c / / a c a a
a
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A．成绩在 分的考生人数最多 B．不及格的考生人数为 1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为 70.5 分 D．考生竞赛成绩的中位数为 75 分
12．如图，设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
，且 ．若点 是 外一点， ，
，下列说法中，正确的命题是（ ）
A． 的内角
B． 的内角
C．四边形 面积的最大值为
D．四边 面积无最大值
三、填空题
13．某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9．已知这组数据
的平均数为 10，方差为 2，则|x﹣y|的值为_____．
14．已知 ， ，则 与 的夹角为 .
15．将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上排成一行，2 本数学书相邻的概率为________.
16．△ 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
[ )70,80
ABC A B C a b c
( )3 cos cos 2 sina C c A b B+ =
3CAB
π∠ = D ABC 1DC =
3DA =
ABC 3B
π=
ABC 3C
π=
ABCD 5 3 32
+
ABCD
2a b= = ( ) ( )2 2a b a b+ ⋅ − = − a b
ABC A B C， ， a b c， ， sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ =试卷第 5 页，总 22 页
，则△ 的面积为________．
四、解答题
17．已知复数 w 满足 为虚数单位 ， ．
（1）求 z；
（2）若（1）中的 z 是关于 x 的方程 的一个根，求实数 p，q 及方程的另一
个根．
18．已知函数 ．
（ ）若 ，求 的值．
（ ）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足 ，
求 的取值范围．
2 2 2 8b c a+ − = ABC
( )4 3 2 (w w i i− = − ) 5 2z ww
= + −
2 0x px q− + =
2( ) 3sin cos cos4 4 4
x x xf x = +
1 ( ) 1f x = 2πcos 3 x −
2 ABC A B C a b c 1cos 2a C c b+ =
( )f B试卷第 6 页，总 22 页
19．已知 的面积为 ，且 且 .
(1)求角 的大小；
(2)设 为 的中点， ， 的平分线交 于 ，求线段 的长度.
20．某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方
图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，
ABC∆ 3
2 1AB AC⋅ = − AB AC>
A
M BC
2
3AM = BAC∠ BC N AN试卷第 7 页，总 22 页
[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中 a 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分；
(3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下
表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
21．如图所示,在 中,点 D 为 BC 边上一点,且 ,E 为 AC 的中点, ,ABC 1BD = 3
2AE =试卷第 8 页，总 22 页
, .
(1)求 AD 的长; (2)求 的面积.
22．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求
量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最
高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为
了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
2 7cos 7B = 2
3ADB
π∠ =
ADE试卷第 9 页，总 22 页
最高气
温
[10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进
货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率.试卷第 10 页，总 22 页
参考答案
1．B
【解析】
，则 ，因此， .
故选：B.
2．D
【解析】
因为 ，所以
又 ，即
则
故选：D
3．A
【解析】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则有,
当 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边有 .
1 2z i= + 21 2 5z z⋅ = + =
( )
( )( )
5 1 25 5 5 21 2 1 2 1 2
i izz i i iz i i i
−− + = = = ++ + −
4cos sin2 5
π α α + = − = −
4sin 5
α =
,2
πα π ∈
2
2 4 3cos 1 sin 1 5 5
α α = − − = − − = −
4 3 24sin( 2 ) sin 2 2sin cos 2 5 5 25
π α α α α − = = = × × − = −
,a b | | | | | |a b a b+ < + 试卷第 11 页，总 22 页
当 同向时有 .
故选：A
4．D
【解析】
由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的 2 个都开，上边的 2 个中有一个开，
这三种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，
所以灯泡不亮的概率为 ，
所以灯泡亮的概率为 ，故选 D．
5．C
【解析】
解：设圆的半径为 ，在 中， ， ，
所以 ， ， 平分线交 的外接圆于点 ，
所以 ，
则根据圆的性质 ，
,a b | | | | | |a b a b+ = +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 16
1 1 1
2 2 2
× + × × × + ×× × × =×
3 131 16 16
− =
r Rt ABC∆
2ABC
π∠ = 2AC AB=
3BAC
π∠ =
6ACB
π∠ = BAC∠ ABC∆ D
6ACB BAD CAD
π∠ = ∠ = ∠ =
BD CD AB= =试卷第 12 页，总 22 页
又因为在 中， ，
所以四边形 为菱形，所以 ．
故选 C．
6．B
【解析】
因为 f(x)=sin 3x- cos 3x+1=2sin(3x- )+1，由 图象的平移变换公式知，
函数 g(x)=2sin[3(x+ )- ]+1=2sin(3x+ )+1，其最小正周期为 ，故②正确；
令 3x+ =kπ+ ，得 x= + (k∈Z)，所以 x= 不是对称轴，故①错误；
令 3x+ =kπ，得 x= - (k∈Z)，取 k=2，得 x= ，故函数 g(x)的图象关于点( ，1)
对称，故③正确；
令 2kπ- ≤3x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，得 - ≤x≤ + ，取 k=2，得 ≤x≤ ，
取 k=3，得 ≤x≤ ，故④错误；
故选：B
7．C
【解析】
变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格
看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误.
故选 .
8．B
Rt ABC∆ 1
2AB AC r OD= = =
ABDO 1
2AD AB AO a b= + = +
3 3
π ( )siny A ωx φ= +
6
π
3
π
6
π 2
3T
π=
6
π
2
π
3
kπ
9
π 5
9
π
6
π
3
kπ
18
π 11
18
π 11
18
π
2
π
6
π
2
π 2
3
kπ 2
9
π 2
3
kπ
9
π 10
9
π 13
9
π
16
9
π 19
9
π
C试卷第 13 页，总 22 页
【解析】
设乙,丙,丁分别领到 x 元,y 元,z 元,记为 ,则基本事件有 , , ,
, , , , , , ,共 10 个,其中符合乙获得“最佳手
气”的有 3 个,故所求概率为 ,
故选：B.
9．BCD
【解析】
由函数 （其中 ， ， ）的图像可得：
， ，因此 ,
,
所以 ，过点 ，
因此 ，又 ，
所以 ，
，
当 时， ，故 错；
当 时， ，故 正确；
( , , )x y z (1,1,4) (1,4,1) (4,1,1)
(1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) (2,2,2)
3
10
( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0A > 0>ω 0 πϕ< <
2A = 2 5
4 3 12 4
T π π π= − = T π=
2 2
πω π∴ = =
( ) ( )2sin 2f x x ϕ= + 2 , 23
π −
4 3 2 ,3 2 k k Z
π πϕ π+ = + ∈ 0 πϕ< <
6
π=ϕ
( ) 2sin 2 6f x x
π ∴ = +
2x
π= 12f
π = − A
12x
π= − 012f
π − = B试卷第 14 页，总 22 页
当 ， ，所以 在 上单调
递增，故 正确；
当 时， ，所以 与函数 有 的交点的横坐标
为 ， ，故 正确.
故选： .
10．ABCD
【解析】
对于 A，向量不能比较大小，A 错误；
对于 B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故 B 错误；
对于 C，若 为零向量， 与 可能不是共线向量，故 C 错误；
对于 D，当 时， 无意义，故 D 错误.
故选：ABCD
11．ABC
【解析】
解：由频率分布直方图可得，成绩在 内的频率最高，因此考生人数最多，故 正确；
由频率分布直方图可得，成绩在 的频率为 0.25，因此，不及格的人数为
，故 正确；由频率分布直方图可得，平均分为
，故 正确；因为成绩
在 内的频率为 0.45， 的频率为 0.3，所以中位数为 ，
故 错误，
π π,3 6x ∈ −
π π2 ,2 26x
π + ∈ −
( ) 2sin 2 6f x x
π = +
π π,3 6x ∈ −
C
π 23π
12 12x− ≤ ≤ [ ]2 0,46x
π π+ ∈ 1y = ( )y f x= 4
1 2 3 4, , ,x x x x 1 2 3 4
7 82 26 6 3x x x x
π π π+ + + = × + × = D
BCD
b a c
0a = a
a
[ )70,80 A
[ )40,60
4000 0.25 1000× = B
45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 70.5× + × + × + × + × + × = C
[ )40,70 [ )70,80 0.0570 10 71.670.3
+ × ≈
D试卷第 15 页，总 22 页
故选： .
12．ABC
【解析】
,因此 A,B 正确；
四边形 面积等于
因此 C 正确，D 错误，
故选：ABC
13．4
【解析】
由题意可得： ，
设 ， ，则 ，解得 ，
∴
故答案为 4．
14．
ABC
2 2 33sin( ) 2sin 3sin 2sin sin 2A C B B B B∴ + = ∴ = ∴ =
2(0, )3 3 3 3CAB B B C A B
π π π ππ∠ = ∴ ∈ ∴ = ∴ = − − = ，
ABCD 23 1 sin4 2ABC ACDS S AC AD DC ADC+ = + ⋅ ⋅ ∠
2 23 1( 2 cos ) sin4 2AD DC AD DC ADC AD DC ADC= + − ⋅ ⋅ ∠ + ⋅ ⋅ ∠
3 1 5 3 5 3(9 1 6 cos ) 3sin 3sin( ) 34 2 2 3 2ADC ADC ADC
π= + − ⋅ ∠ + × ∠ = + ∠ − ≤ +
( ) ( )2 220, 10 10 8x y x y+ = − + − =
10x t= + 10y t= − 22 8t = 2t = ±
2 4x y t− = =
60°试卷第 16 页，总 22 页
【解析】
根据已知条件 ，去括号得：
，
15．
【解析】
2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学 1，数学
2，语文），（数学 1，语文，数学 2），（数学 2，数学 1，语文），（数学 2，语文，数
学 1），（语文，数学 1，数学 2），（语文，数学 2，数学 1）共 6 个，其中 2 本数学书相
邻的有（数学 1，数学 2，语文），（数学 2，数学 1，语文），（语文，数学 1，数学 2），
（语文，数学 2，数学 1）共 4 个，故 2 本数学书相邻的概率 ．
16． .
【解析】
因为 ，
结合正弦定理可得 ，
可得 ，因为 ，
结合余弦定理 ，可得 ，
所以 为锐角，且 ，从而求得 ，
所以 的面积为 ，故答案是 .
( 2 ) ( ) 2a b a b+ ⋅ − = −
22 2 4 2 2 cos 2 4 2a a b b θ+ ⋅ − = + × × − × = − 1cos , 602
θ θ °⇒ = =
2
3
4 2=6 3
2 3
3
sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ =
sin sin sin sin 4sin sin sinB C C B A B C+ =
1sin 2A = 2 2 2 8b c a+ − =
2 2 2 2a b c bccosA= + − 2 cos 8bc A =
A 3cos 2A = 8 3
3bc =
ABC∆ 1 1 8 3 1 2 3sin2 2 3 2 3S bc A= = ⋅ ⋅ = 2 3
3试卷第 17 页，总 22 页
17．（1） ．（2） ， ， ．
【解析】
， ，
．
是关于 x 的方程 的一个根，
， ，
，q 为实数， ，
解得 ， ．
解方程 ，得
实数 ， ，方程的另一个根为 ．
18．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）先进行三角恒等变形，使 化为 的形式，求出
的值，再利用
与 的关系进行求值；（2）先利用余弦定理求出角 A,化简 ，利用 B 的
范围进行求解.
3z i= + 6p = 10q = 3x i= −
( )1 ( )1 2 4 3w i i + = + ( )( )
( )( )
4 3 1 24 3 21 2 1 2 1 2
i iiw ii i i
+ −+∴ = = = −+ + −
( )
( )( )
5 25 1 32 2 2
iz i ii i i
+∴ = + = + = +− − +
( )2 3z i= + 2 0x px q− + =
( ) ( )23 3 0i p i q∴ + − + + = ( ) ( )8 3 6 0p q p i− + + − =
p
8 3 0{ 6 0
p q
p
− + =∴ − =
6p = 10q =
2 6 10 0x x + =− 3x i= ±
∴ 6p = 10q = 3x i= −
2 12sin ( ) 12 6 2
x π= + − = − 1 3( ) sin( ) (1, )2 6 2 2
Bf B
π∴ = + + ∈试卷第 18 页，总 22 页
试题解析： （1）f（x）＝ sin cos ＋cos2
＝ sin ＋ cos ＋ ＝sin ＋ .
由 f（x）＝1，可得 sin ＝ .
cos ＝cos[π－（ ＋x）]＝－cos（ ＋x）
＝2sin2（ ＋ ）－1＝－ .
（2）由 acos C＋ c＝b，得 a· ＋ c＝b，
即 b2＋c2－a2＝bc，所以 cos A＝ ＝ .
因为 A∈（0，π），所以 A＝ ，B＋C＝ ，
所以 0 2c = 1b =
2 2 2 2 cos 5 2 7a b c bc A= + − = + = ⇒ 7a =
1 1sin sin2 2ANCS AN b CAN AN CAN= ⋅ ∠ = × ∠
1 csin sin2BANS AN BAN AN BAN= × ∠ = × ∠
CAN BAN∠ = ∠
1
2BAN
ANCS CN
S BN
= = 7CN BN a+ = = 7
3CN =
ACN∆
2 2 2 2 cosAN b CN b CN ACB= + − × × ∠试卷第 20 页，总 22 页
，
所以 .
20．（1） （2） (分)（3）
【详解】
解(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得 a＝0.005.
(2)由频率分布直方图知这 100 名学生语文成绩的平均分为 55×0.005×10＋65×0.04×10＋
75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为
0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为
.
故数学成绩在[50,90)之外的人数为 100－(5＋20＋40＋25)＝10.
21．(1)2;(2) .
【详解】
(1)在 中,
, ,
,
7 7 1+7 41 2 19 3 2 1 7
−= + − × × ×
× ×
7 4 41 9 3 9
= + − =
2
3AN =
0.005a＝ 73 10
1 4 55,40 20,30 40,20 252 3 4
× = × = × =
3 3 2
4
+
ABD△
2 7cos 7B = ( )0,B π∈
2
2 2 7 21sin 1 cos 1 7 7B B
∴ = − = − = 试卷第 21 页，总 22 页
由正弦定理知 ,得 .
(2)由(1)知 ,依题意得 ,在 中,由余弦定理得
,
即 ,
,解得 (负值合去),
,
从而 .
22．（1） ．（2） ．
【详解】
解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于 20 的天数为 2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶，
如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶，
( ) 21 1 2 7 3 21sin sin 7 2 7 2 14BAD B ADB ∴ ∠ = + ∠ = × − + × =
sin sin
AD BD
B BAD
= ∠
211sin 7 2sin 21
14
BD BAD BAD
×⋅= = =∠
2AD = 2 3AC AE= = ACD
2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC= + − ⋅ ∠
29 4 2 2 cos 3DC DC
π= + − × ×
2 2 5 0DC DC∴ − − = 1 6DC = +
( )1 1 3 3 3 2sin 2 1 62 2 2 2ACDS AD DC ADC
+∴ = ⋅ ∠ = × × + × =△
1 3 3 2
2 4ADE ACDS S
+= =△ △
3
5
4
5试卷第 22 页，总 22 页
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 p ．
（2）当温度大于等于 25℃时，需求量为 500，
Y＝450×2＝900 元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为 300，
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300 元，
当温度低于 20℃时，需求量为 200，
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100 元.
54 3
90 5
= =
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