浙江省绍兴市柯桥区2019-2020学年高三下学期6月份适应性考试（二模）数学试题（PDF版）参考答案及评分标准.pdf

[键入文字] 数学参考答案 1 / 4 [键入文字] 2019 学年第二学期高三教学质量检测数学 评分标准 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B B A C A C D 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11．12 55i ， 5 5 12．2 ，12 13．4 ，2 14．( 5,5) ，35 15． 240 16． 2 2 12 x y 17． 1(1, )1 e e   三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。 18．解：（1）在 ACB 中，由正弦定理得： 2sin sin 3 ABACB CABBC     ， …4 分 因为 AB BC ，所以 ACB 为锐角，所以 2 7cos 1 sin 3ACB ACB     ． …7 分 （2）在 BCD 中， 2cos cos(90 ) sin 3BCD ACD ACD         ， ……10 分 由余弦定理可得： 222 cos 5BD CD BC CD BC BCD       ． …………14 分 19．解：（1）取 AB 中点 M ，连结CM ，因为 90C ，故 2AB  ，所以 1CM  ， 又因为 11 2AA A B，所以 1AM AB ，且 1 1AM  ， ……………2 分 所以 2 2 2 11A M CM AC，所以 1AM CM ，所以 1AM  平面 ABC ， ……………4 分 而 1AM 平面 11ABB A ，所以平面 11ABB A  平面 ABC ． ……………6 分 （2）解法 1： 设 1AM 与 BD 相交于O ， E 为 BC 的中点，则 ME  BC ，所以 BC  平面 1AME ， 所以平面 1AME  平面 1A BC ， ……………8 分 过O 作 1ON A E 于 N ，则 OBN 即为所求的角， ………10 分 易知 1A AB 为等腰直角三角形，且O 为其重心， 故 1 22 33AO AM， 2 10 33BO BD， ……………12 分 O E D C1 B1 M A1 C B A N[键入文字] 数学参考答案 2 / 4 [键入文字] 又因为 1AON 与 1A EM 相似，所以 1 1 2 21 21 AONO MEAE   ， ……………14 分 所以 210sin 35 ONOBN OB   ． ……………15 分 解法 2：如图建立空间直角坐标系， M 为 AB 中点，由（1）可知， 1AM  平面 ABC ， 则 ( 3,0,0)A ， (0,1,0)B ， 1 31( , ,1)22A ， 从而 3 3 1 1( , , )4 4 2D ， ……………10 分 设平面 1A BC 的法向量为 ( , , )n x y z ，由 0n CB得， 0y  ， 由 1 0n CA得， 31 022x y z   ， (2,0, 3)n ， ……………13 分 所以 | | 210sin 35| | | | n BD n BD    ． ……………15 分 20．解：（1）由题设得 nn aS 22  ， 11 22   nn aS ， ………………2 分 两式相减得： 1 2nnaa  ，又 21 a ，所以数列 }{ na 是公比为 2 的等比数列， ………4 分 所以 nn na 222 1   ． ………………6 分 （2）由（1）得， 2(2 1)n nS ， ………………7 分 解法 1：所以 2 2 2 1 1 1=2(2 1) 2(2 1)(2 1) 2 2 1 2 nn n n n n n nb        ， ………………11 分 所以 12 2 1 1 1 2 2 2n nb b b       11(1 ) 12211 21 2 n n      ． ………………14 分 不等式 12 11 2n nb b b     对任意 *Nn 都成立． ………………15 分 解法 2：数学归纳法， （ⅰ）当 1n  时，左边 1 3 ，右边 111 22   ，不等式成立， ………………7 分 （ⅱ）假设 nk 时，不等式成立，即 12 11 2k kb b b     ， z y x D C1 B1 M A1 C B A[键入文字] 数学参考答案 3 / 4 [键入文字] 则 11 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2112 2(2 1) 2 2(2 1)(2 1) kk kk k k k k kb b b b                 ………11 分 1 1 1 1 1 1 1112 2(2 1) 2 2 (2 2)k k k k k          11 1 1 1112 2 2k k k     ． ………………14 分 由（ⅰ）、（ⅱ）可知，不等式 12 11 2n nb b b     对任意 *Nn 都成立．………15 分 21．解：（1）抛物线C 的焦点 ( ,0)2 mF ， ………………2 分 由题设得， 2 2 5 52 16 m m   ，解得， 2 4m  ， ………………4 分 因为 0m  ，所以 2m  ． ………………6 分 （2）设直线 AB 方程为 x ty n，代入抛物线方程 2 4yx 得， 2 4 4 0y ty n   ， 则 216 16 0tn    ，① ………………7 分 设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ， 00( , )M x y ， 则 124y y t，所以 12 0 22 yyyt， 2 00 2x ty n t n    ， ………………8 分 因为点 M 在l 上，则有， 0020xy，即 242n t t ，② 将②代入①得 2 40tt，解得04t ， ………………9 分 易得 N 的坐标为 2( ,2 )tt， ………………10 分 则点 N 到直线l 的距离 2 2 2 22 | 2 | | 4 | 11 t t n t td tt     ， ………………11 分 2 2 2 2 12 2 1| | | | 1 16 16 1 4 4 1AB y y t n t t t tk            ，………………12 分 所以 3 2 21 | | 2(4 )2NABS AB d t t     3 2 22[ ( 2) 4] 16t     ， ………………14 分 当 2t  时取到等号，所以 NAB 面积的最大值为16． ………………15 分 22．解：（1） 2 1() xxxe efx x   ， ………………2 分 y x l O M B A N[键入文字] 数学参考答案 4 / 4 [键入文字] 令 ( ) 1xxx xe e    ，则 ( ) 0x x x xx e xe e xe      ， ………………4 分 所以 ()x 在 ),0(  的单调递增．所以 ( ) (0) 0x， 所以 ( ) 0fx  ，所以 )(xf 在 上单调递增． ………………6 分 （2）假设 0k  ，设 1( ) (ln 1) xeh x k x ex     ，则 ()hx在(0, ) 单调递增， 由（1）可知，当 0.1x  时， 1 12 xe ex     ， 当 2 1ekxe  时， 2ln 1xe k   ， 所以 2 1 0 min{0.1, }ekxe  时， 0 1 00 0 ( ) (ln 1) xeh x k x ex      220k k    ，与题设矛盾，所以 0k ， ……………9 分 又 (1) 1 ( 1) 0h e k e     ，所以 1k ． ………………10 分 下面证明当 10  k 是符合题意的， 设 1( ) (ln 1) [0,1] xeF k x e k kx      ， ，要使 ( ) 0Fk  恒成立， 必须 (0) 0 (1) 0 F F    ，即         　② 　　　　　　　① ,01)1(ln ,01 x eex x e x x ， ………………12 分 当 0x 时，①显然成立， 设 1( ) ln 1 xex x ex     ，则 2 ( 1)( 1)() xxex x   ， 所以 ()x 在 )1,0( 单调递减，在 ),1(  单调递增，故 ( ) (1) 0x， 即②也成立， ………………14 分 综上，k 的取值范围是 ]1,0[k ． ………………15 分