全国名校2020年高三6月大联考（新课标Ⅰ卷）
理科数学·答案及评分标准
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
B
A
C
C
B
A
D
A
A
A
二、填空题
13．或 14．425 15． 16．
三、解答题
17．（12分）
【解析】（1）∵对于任意，都有成立，
∴令，得，即，（3分）
∴数列是首项和公比都为的等比数列，
于是，．（6分）
（2）由（1）得，
∴，（9分）
∴．
又易知函数在上是增函数，且，而，所以．（12分）
18．（12分）
【解析】（1）因为平面平面，平面平面，且，
所以平面，故．（2分）
在中，，，
所以，故．（4分）
又，所以平面，
又平面，所以．（6分）
（2）由（1）可知，平面，
所以为与平面所成的角，
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由已知可得，故，所以．（7分）
又，如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，．
所以，，．（8分）
设平面的法向量为，
则由，可得，即．
令，则．所以是平面的一个法向量．（9分）
设平面的法向量为，
则由，可得，即．
令，所以是平面的一个法向量．（10分）
所以．
设二面角的平面角为，由图可得，
所以，所以二面角的平面角为．（12分）
19．（12分）
【解析】（1）由，得，即．
又因为点在椭圆上，
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所以，解得，
故椭圆的标准方程为．（4分）
（2）设、．直线的斜率显然存在，设为，则直线的方程为．
将直线与椭圆的方程联立得：，
消去，整理得，（6分）
，
∴．
由根与系数之间的关系可得：，．（8分）
∵点关于轴的对称点为，则．
∴直线的斜率，
直线的方程为：，（9分）
即
．
∴直线过轴上的定点．（12分）
20．（12分）
【解析】（1）当时，，则．
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∵，令，得．（2分）
∴时，，单调递减；时，，单调递增．
又∵，
∴时，的最大值为，最小值为．（5分）
（2）设，则，
．
，恒成立，等价于当时，恒成立，（7分）
当时，在上，，函数单调递减，在上，，函数单调递增，
又，不合题意；
当时，，在上单调递增，
又，不合题意；（9分）
当时，，在上单调递减，
∴当时，恒成立，
∴．（11分）
综上所述，a的取值范围为．（12分）
21．（12分）
【解析】（1）由题意，
．（2分）
样本方差，故，所以，
所以该企业生产的产品为正品的概率
．（5分）
（2）①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，
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∴某箱产品抽检被记为B的概率为．（7分）
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率，
所以，（9分）
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以当时，取得最大值，最大值为．（10分）
由，解得．
∴时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为．（12分）
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解析】（1）由，可得，得，
所以曲线的普通方程为，（3分）
将代入，可得曲线的直角坐标方程为．（5分）
（2）由（1）得直线的方程为，故直线恒过点．
曲线的圆心为，半径，
因为，所以点在圆内，所以圆与直线恒相交．（8分）
所以的最小值为，的最大值为．（10分）
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）当时，，不等式可化为．（1分）
①当时，不等式可化为，即，无解；
②当时，不等式可化为，即，解得；（3分）
③当时，不等式可化为，即，解得，
综上，可得，故不等式的解集为．（5分）
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（2）当时，不等式，即，整理得，
即，即，因为，所以分离参数可得．（8分）
显然函数在上单调递减，所以，
而函数，当且仅当，即时取等号，
所以实数的取值范围为．（10分）
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