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考生注意清点试卷有无漏印或缺页,若有要及时更换,否则责任自负。
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绝密★启用前
全国名校2020年高三6月大联考(新课标Ⅰ卷)
理科数学
本卷满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位,,则复平面内与对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若,则
A. B. C.2 D.
4.已知实数满足,则的大小关系是
A. B. C. D.
5.已知函数()的图象与轴的交点中,两个相邻交点的距离为,把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半,再沿轴向左平移个单位长度,然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数的图象,则下列命题中正确的是
A.是奇函数 B.的图象关于直线对称
C.在上是增函数 D.当时,的值域是
6.函数的图象大致为
7.在中,已知,,若以为基底,则可表示为
A. B. C. D.
8.记不等式组表示的平面区域为D,若平面区域D为四边形,则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
9.1872年,戴德金出版了著作《连续性与无理数》,在这部著作中以有理数为基础,用崭新的方法定义了无理数,建立起了完整的实数理论.我们借助划分数轴的思想划分有理数,可以把数轴上的点划分为两类,使得一类的点在另一类点的左边.同样的道理把有理数集划分为两个没有共同元素的集合A和B,使得集合A中的任意元素都小于集合B中的任意元素,称这样的划分为分割,记为A/B.以下对有理数集的分割不会出现的类型为
A.A中有最大值,B中无最小值 B.A中无最大值,B中有最小值
C.A中无最大值,B中无最小值 D.A中有最大值,B中有最小值
10.已知双曲线的右顶点为,为坐标原点,为的中点,若的渐近线与以为直径的圆相切,则双曲线的离心率等于
A. B. C. D.
11.已知函数,,若,满足 ,其中,则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
12.如图,已知平面四边形中,,且,,,沿直线将折起到的位置,构成一个四面体,当四面体的体积最大时,四面体的外接球的体积等于
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.抛物线上一点M到焦点的距离是它到x轴距离的2倍,则M点的坐标为________.
14.2020年是中国全面建成小康社会目标实现之年,是脱贫攻坚收官之年,为确保脱贫攻坚任务如期全面完成,某单位根据帮扶对象的实际精确定位,为帮扶对象制定6个农业种植项目和7个农闲时间的务工项目,现需要从中选取2个农业种植项目和4个农闲时间的务工项目,则农业种植项目甲与农闲时间的务工项目乙不同时被选取的方法有________种.
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15.在中,角的对边分别为,若,,,则的面积等于________.
16.已知函数,若方程没有实数解,则实数的取值范围为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
已知数列满足,且对于任意,都有.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列的前项和为,求证:.
18.(12分)
如图,已知矩形与平行四边形所在的平面相互垂直,,.
(1)求证:;
(2)若直线与平面所成的角等于,求二面角的平面角.
19.(12分)
已知椭圆的离心率,且过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线与椭圆有两个不同的交点和,点关于轴的对称点为,判断直线是否经过定点,若经过,求出该定点的坐标;若不经过,请说明理由.
20.(12分)
已知函数.
(1)当时,求函数在上的最大值和最小值;
(2)已知,若,恒成立,求实数a的取值范围.
21.(12分)
中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示,2019年9月中国制造业采购经理指数(PMI)为49.8%,反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进,则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果,得到生产的产品的质量差服从正态分布,并把质量差在内的产品称为优等品,质量差在内的产品称为一等品,优等品与一等品统称为正品,其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件,测得产品质量差的样本数据统计如下:
(1)根据大量的产品检测数据,检查样本数据的方差的近似值为100,用样本平均数作为的近似值,用样本标准差作为的估计值,记质量差,求该企业生产的产品为正品的概率;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)假如企业包装时要求把件优等品和(,且)件一等品装在同一个箱子中,质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验,若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A,否则该箱产品记为B.
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率;
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为,求当为何值时,取得最大值,并求出最大值.
参考数据:若随机变量服从正态分布,则:,,.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为().
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)试判断曲线与直线的位置关系?若曲线与直线有两个公共点,试求的最小值与最大值;若没有,请说明理由.
23.[选修4−5:不等式选讲](10分)
已知函数.
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(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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