让“列表”和“列举”相辅相成

让“列表”和“列举”相辅相成“用列举的策略解决实际问题”是苏教版教材五年级上册的教学内容。“列举”策略的内容核心，就是根据相关实际问题的特点，通过全面、有序的思考，不重复、不遗漏地列举出符合要求的各种情况。“列表”则是分析和解决问题时十分常用的一种辅助手段。人们常常通过列表整理相关的条件和问题，以直观地显示条件与条件、条件与问题之间的联系，从而有效推动问题的最终解决；或通过列表呈现相互关联的数据，以便从相似的现象中抽取共同的特征、从变化的过程中提炼不变的共性。将“列表”和“列举”有机结合，引导学生用列表的形式表达列举思考的过程，不仅有助于他们借助外显的列表操作感受列举思考的精神内核，逐步增强有序思考的意识和能力，而且也有助于他们感受不同策略在分析和解决问题过程中的价值，不断提高综合应用策略分析和解决问题的水平。下面，笔者结合自身的教学实践，说说一些具体的做法。一、从实物操作到列表思考，初步感受价值受问题情境和解题经验的影响，学生在尝试应用列举策略解决教材例1中的问题时，常常习惯于通过实物操作或画图进行列举思考。这样的思考过程一则容易出现条理性方面的欠缺，二则也显得较为繁琐。此时，若能及时呈现列表思考的过程，则不仅能够有效保护学生探索学习的热情和信心，也有助于他们初步感受借助表格进行列举既清楚、简洁，又不易出现遗漏或重复，从而凸显列举策略的基本价值和主要特点，收到理想的教学效果。    出示例1及其情境图：王大叔用22根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围面积最大？师：如果用22根同样长的小棒表示这22根1米长的木条，你能先试着围出一个符合要求的长方形吗？生：（齐）能！学生各自操作后，组织展示交流。师：谁先来说说围出的长方形的长、宽和面积分别是多少？生1：我围出的长方形的长是8米，宽是3米，面积是24平方米。生2：我围出的长方形的长是6米，宽是5米，面积是30平方米。……师：比较不同的围法，你觉得怎样围面积最大？生：我觉得面积最大的围法就是长6米、宽5米，因为这时的面积是30平方米，是最大的。师：你确定除了刚才提到的这几种围法，就没有不同围法了？生：（犹豫）不能确定。师：那么，要想知道怎样围面积最大，我们应该怎样做？生：应该把所有不同的围法一一列举出来，再从中挑选出面积最大的围法。师：你的想法非常好！不过，怎样才能把所有不同的围法一一列举出来呢？全班学生不再发言，纷纷展开新一轮的思考。师：老师没有摆小棒，而是建立了一个下面这样的表格。长/m师：你能看懂表格中的内容吗？猜一猜，我是从长是多少米的从长方形开始想起的？生：我知道，老师是从长10米、宽1米的长方形开始想起的。师：继续想一想，我为什么要从长是10米的长方形开始想起呢？会不会出现长大于10米的长方形？生1：不会，因为长11米，宽1米，周长就是24米，而22根1米长的木条不可能围成周长24米的长方形。生2：我知道了，因为长加宽的和一定是11米，所以长最多是10米。师：为什么长与宽相加的和一定是11米呢？生1：这个可以从表中看出来。例如，10＋1＝11，9＋2＝11，8＋3＝11……生2：我明白了，用22根1米长的木条围成的长方形，周长一定是22米，而周长22米的长方形，长与宽相加的和一定是11米。师：围成的长方形的长会不会小于6米？如果长小于6米，会出现什么情况？生：长不会小于6米，因为如果长小于6米的话，宽就超过长了。例如，当长是5米时，宽就是6米，这样的长方形其实就是长6米、宽5的长方形。师：围成的长方形的长和宽会不会是小数呢？生：不会，因为木条的长度都是1米，所以围成的长方形的长和宽都是整米数。师：通过上面的讨论，现在你能得出什么结论？生1：除了表格中的围法，再也没有其他不同的围法了。生2：用22根1米长的木条一共可以围成5种不同的长方形，其中面积最大的围法就是长6米、宽5米。……上面的教学，先让学生通过小棒操作围出符合要求的不同长方形，再引导他们逐步认识到：“要想知道怎样围面积最大，应该把所有不同的围法一一列举出来，再从中挑选出面积最大的围法”。在此基础上，呈现出表示列举思考过程的表格，引导学生通过进一步的讨论和分析，初步认识到，借助表格进行的列举思考不仅全面、有序，而且清晰、简洁，从而既体现了列举思考的基本过程和主要特点，又凸显了列表在这个过程中的重要辅助作用。二、从文字表达到列表呈现，不断丰富体验苏教版教材在引导学生用列举策略解决实际问题时，多次提示他们“先填表，再回答”，并提供了便于进行列举思考的表格，其中有些表格中还适当示范了列举思考的前几步。这样安排的目的，一是为了引导学生充分经历应用策略分析和解决问题的过程，积累应用策略分析和解决问题的经验；二是为了进一步突出列表对于列举思考的辅助作用，帮助学生逐步掌握借助列表进行列举的方法。实际教学时，笔者采取分步呈现的方法，即先呈现用文字表达的实际问题，让学生试着根据已有的文字信息分析和解决问题，待他们感到困难时，再呈现相应的表格，启发他们利用表格进行进一步的分析和思考。这样做不仅有助于学生更好地感受列表的价值，而且有助于他们形成必要的能力。出示练习十七第2题：有A、B、C三个网站，分别是每两天、三天、四天更新一次。某月1日三个网站同时更新后，到这个月的15日，哪几天没有网站更新？哪一天三个网站同时更新？师：根据题中的条件，A网站在这个月的1日更新后，接下来哪些日子还会继续更新？生：这个月的3日、5日、7日……A网站还会继续更新。师：B网站和C网站呢？生：B网站接下来的更新日期依次是4日、7日、10日……C网站接下来的更新日期依次是5日、9日、13日……    师：根据上面讨论的情况，你能直接回答“到这个月的15日，哪几天没有网站更新？哪一天三个网站同时更新”这个问题吗？片刻沉默之后，有学生举手示意。生：最好能够列个表，把每个网站更新的日期分别记录下来，这样就能看清楚“哪几天没有网站更新，哪一天三个网站同时更新”了。师：确实如此，解决这个问题时，如果列个表就能清楚地看出“哪几天没有网站更新，哪一天三个网站同时更新”了。呈现题中的表格。师：能看懂表中的内容吗？能按照题意把表格填写完整吗？先在表中画一画，再回答上面的问题。学生各自填表后，组织交流。师：通过填表，你能直接回答教材提出的问题吗？生1：从表中看，这个月的2日、6日、8日、12日这几天没有网站更新；13日三个网站又一次同时更新。生2：不是这个月的全部，只是到这个月的15日为止。师：通过解答这道题，你有什么感受或体会？生1：要不重复、不遗漏地列举出每个网站的更新日期。生2：通过列表进行列举思考，既清楚又方便。……上面的教学，没有将文字表达的实际问题与相应的表格一并呈现，而是先让学生依据题中的文字信息进行初步的分析和思考，由此引导他们产生借助表格进行列举思考的现实需求，进而按教材要求完成相应的表格，并获得问题的答案。这样的安排，凸显了列表在列举思考过程中的作用，有助于学生更好地感受列举思考的策略内涵和关键环节，提高主动应用列表辅助思考的自觉意识。三、从填写表格到设计表格，逐步提升能力苏教版教材在教学例题之后，还安排了一些情境各异、数量关系各有特点的实际问题。教材安排的这些实际问题中，有些提供了能够辅助学生思考的表格，有些则没有提供。但没有提供表格，并不等于不能借助表格进行思考。笔者认为，适当鼓励学生自主设计表格，并借助表格分析和解决问题，有助于他们进一步丰富策略体验，提高灵活应用策略分析和解决实际问题的能力。出示练习十七第14题：小红、小力各有“8”、“5”、“2”三张数字卡片，每人拿出1张，一共有多少种不同的拿法？师：根据题意，你打算怎样做？生1：可以将不同的拿法一一列举出来，再回答。生2：可以先让小红拿出“8”，用小红的“8”分别与小力的“8”、“5”、“2”进行搭配；再让小红拿出“5” ……师：大家的思考方向都是正确的。不过，如果能够借助表格表示列举思考的过程就更完美了。愿意试试吗？生：愿意！学生各自列表思考后，组织交流。生1：我列出了下面这样的表格，答案是一共有9种不同的拿法。小红小红生2：我的表格和他不一样，但得到的答案是一样的。小力师：你能解释一下这个表格的设计意图吗？生：将小红的三张数字卡片横着放，小力的三张数字卡片竖着放，每进行一次搭配只要画一个“√”就可以了。……上面的教学过程，笔者没有满足于让学生列举出所有答案，而是鼓励他们自主设计表格，并借助表格进行列举思考。这样做的目的，主要是为了让学生进一步增强列表、用表的意识，提高灵活应用策略分析和解决问题的能力。从课堂教学的情况来看，这样的安排收到了预期的效果：学生不仅能够仿制出教材中的表格，而且还能设计出与教材不同的表格。笔者相信，将列表与列举有机结合，并注意引导学生依据需要解决的实际问题的特点合理灵活地使用相关策略，不仅有助于他们逐步增强策略应用意识，而且有助于他们获得各种有益的感悟，不断提升分析和解决问题的能力。