“小数乘法和除法”内容解读与教学建议

“小数乘法和除法”内容解读与教学建议“小数乘法和除法”是苏教版教材五年级上册的重点内容之一。这部分内容连同“小数的意义和性质”、“小数的加法和减法”构成了“数的认识及其运算”内容序列中一个十分重要的板块。考虑到这部分内容的基本特点，以及学生已有的生活经验、知识基础和认知能力，苏教版教材在广泛调研、深入比较的基础上，对传统的编写思路进行了较大幅度的调整：一方面将小数乘法和除法混合分段编排─先教学小数乘整数以及除数是整数的小数除法，再教学小数乘小数以及除数是小数的除法；另一方面，将“由小数点位移引起小数大小变化”这一小数的性质改造成小数乘、除法的运算规律，穿插安排在相关的内容之中。这样的思路，不仅能够凸显小数乘、除法与整数乘、除法的内在联系，有助于启发学生充分利用已有的知识经验不断探索并解决新的计算问题；而且有助于学生从整体上把握数学知识和方法的发展脉络，感受解决数学问题的基本策略，提高自主学习的能力。下面，笔者结合自身的教学实践，依据教材的内容结构，对教材的编写意图、活动设计、练习安排进行一些简单的分析，同时提出相应的教学建议，以供参考。一、小数乘整数和除数是整数的小数除法这部分内容不仅是小数乘、除法的有机组成部分，也是学生进一步学习小数乘小数以及一个数除以小数的重要基础。由于小数乘整数和除数是整数的小数除法需要转化成整数乘法或除法进行计算，而在具体情境中理解并实现这种转化相对是比较容易的，所以教材在编写时侧重引导学生利用相关生活经验和对小数意义的已有认识展开合乎逻辑的思考，并由此归纳总结确定积、商小数点位置的方法。同时，引导学生探索并发现一个数乘或除以10、100、1000……的计算规律，帮助他们从不同角度丰富和加深对相关计算的理解，为后续学习提供必要的支持。1.在尝试解决问题的过程中孕伏转化的思路。教学小数乘整数时，教材提供了一个简单的购物情境。在学生依据熟悉的数量关系依次列出0.8×3和2.35×3这两道算式之后，要求他们试着求出相应的计算结果。由于学生已经认识小数的意义，在对用小数表示的商品价格也非常熟悉，所以很容易就能想到先将0.8元改写成8角，将2.35元改写成2元3角5分或235分，再利用相应的整数乘法算出结果。这个环节的作用有两个：一是有助于学生享受应用已有知识经验解决新的计算问题的成功体验，二是暗含了“小数乘整数可以转化成相应整数乘法来计算”的核心思路。实际教学时，可以在学生尝试解决问题之后告诉他们：把0.8元改写成8角、2.35元改写成235分，并由此算出0.8×3和2.35×3的计算结果，其实就是将小数乘整数转化成相应的整数乘法来计算；而这个过程也可以用竖式表示出来。在此基础上，呈现相应的乘法竖式，组织学生先按整数乘法进行计算，再进一步讨论应该怎样确定积的小数点的位置。同样的道理，教学除数是整数的小数除法时，也可以先鼓励学生试着求出9.6÷3的计算结果，引导他们将题中的总价9.6元改写成用“角”作单位的整数，并应用整数除法求出相应的计算结果。在此基础上，进一步启发：把9.6元改写成96角后，就能算出9.6÷3的结果，由此你还能想到写什么？当学生意识到小数除以整数也可以转化乘相应的整数除法来计算之后，呈现相应的除法竖式，组织学生先按整数除法进行计算，再进一步讨论应该怎样确定商的小数点的位置。2.联系小数的含义理解确定积、商小数点位置的思考过程。在鼓励学生应用已有的知识经验尝试求出0.8×3和2.35×3的计算结果之后，教材呈现了相应的乘法竖式，并用旁注的形式提醒学生注意竖式中的0.8和2.4表示的分别是“8个十分之一”和“24个十分之一”，竖式中的2.35及其相应的乘积分别表示若干个百分之一。这里的呈现方式体现的基本意图就是引导学生联系小数的含义理解确定积的小数点位置的思考过程，即：因为0.8表示的是8个十分之一，而8个一乘3得24个一，所以8个十分之一乘3得24个十分之一，也就是2.4；因为2.35表示的是235个百分之一，而235个一乘3得705个一，所以235个百分之一乘3得705个百分之一，也就是7.05。教学除数是整数的小数除法时，教材也采用了类似的呈现方式。在计算9.6÷3的竖式中，先用旁注形式说明竖式中的“6”表示6个十分之一，“2”也表示2个十分之一；再由豆角卡通提出“商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐”这关键的问题，启发学生借助竖式中每一步计算的数学意义认识到：因为第第二次除得的商是2个十分之一，所以商的小数点应该点在“2”的前面，也即是要和被除数的小数点对齐。在计算12÷5的竖式中，教材给出竖式计算中的第一次商和余数，并在余数2的后面添0。同时启发学生思考：“余下的2添0后，表示20个几分之一？你能继续往下除吗？”这样，既有助于学生联系竖式中“20”除以5的数学意义进一步感受“要把商的小数点和被除数的小数点对齐”的合理性和必要性，也有助于他们认识到“当除到被除数的末尾仍然有余数时，可以应用小数的性质在它的后面添‘0’并继续除下去”。在教学“商的整数部分不够商1要商0”的计算方法时，教材仅仅给出了竖式中的被除数5.7和除数6，同时侧重启发学生思考“个位不够商1，怎么办”这个问题，引导他们认识到：因为5.7除以6得到的是9个十分之一还余3个十分之一，“9”应该写在商的十分位上；而商的整数部分尽管1个单位都没有，但根据小数的写法还是需要写0占位。容易看出，在教学用竖式计算小数乘整数和除数是整数的小数除法时，教材着力引导学生联系小数的含义以及竖式中每一步计算的数学意义，进行简单的合情推理，理解确定积、商小数点位置的基本思考过程。同时注意采取由扶到放的教学策略，提供的竖式逐步简化，留出的空间不断增大。实际教学时，可以先让学生观察完整的竖式计算过程，说说竖式中每一步计算的数学意义，初步理解并掌握确定积、商小数点位置的方法；再鼓励他们尝试自主解决类似的计算问题，在计算实践中逐步加深理解、巩固认识。3.在积累具体计算经验的基础上归纳总结相应的计算方法。在通过例1教学两道小数乘整数的式题计算之后，教材紧接着安排了“试一试”，要求学生先用计算器计算三道小数乘整数的式题，说说每题中积的小数位数和乘数的小数位数有什么关系，再进一步讨论“小数和整数相乘，可以怎样计算”。在通过例4教学三道除数是整数的小数除法式题之后，教材一方面要求学生利用熟悉的数量关系验算得到的计算结果，另一方面则鼓励他们进一步讨论“除数是整数的小数除法，可以怎样计算”。上述教学环节的基本意图，就是引导学生基于已有的计算经验，初步归纳并总结相关的计算方法，以帮助他们进一步压缩思考过程，规范计算程序，提高计算效率。实际教学时，一方面要引导学生充分经历观察比较、猜想验证、交流总结的过程，感受数学思考的严谨性。另一方面要注意突出两个关键：一是要将小数乘整数和除数是整数的小数除法分别看成整数乘法和除法进行计算；二是积的小数位数要和乘数的小数位数相同，商的小数点要和被除数的小数点对齐。4.通过计算、比较、归纳、验证，发现一个小数乘或除以10、100、1000……的计算规律。将上述计算规律结合小数乘整数以及除数是整数的小数除法进行教学，是有别于传统教材的创新设计。这样做，一方面可以避免学生学习小数性质时对相关的两个小数进行较为陌生的倍比计算；另一方面，也有利于他们从不同角度丰富对相关计算丰富的理解，增强计算学习的吸引力。在教学小数乘整数和除数是整数的小数除法之后，教材分别安排例2、例3和例5、例6引导学生探索并发现上述计算规律，并应用规律进行不同单位数量的换算。基本思路是：先让学生用计算器计算一个小数乘或除以10、100、1000……的题组；再引导他们通过观察和比较，初步发现“一个小数乘或除以10、100、1000……这个小数的小数点就分别向右（或左）移动一位、两位、三位……”；由此鼓励他们进一步举例验证，进而归纳出相应的结论。实际教学时，一要注意引导学生联系对小数乘、除法的已有认识解释相应的计算结果，以丰富和加深对相关计算方法的理解；二要引导他们完整地经历发现规律、表达规律和应用规律的过程，在过程中感受探索学习的乐趣，积累探索学习的经验。二、小数乘小数和除数是小数的除法小数乘小数和一个数除以小数是本单元的教学难点。这一方面是因为小数乘小数以及一个数除以小数需要以此前学过的小数乘整数以及除数是整数的小数除法为基础，应用积、商的变化规律分别进行相应的转化，其思考过程相对复杂，学习难度相对较大；另一方面，小数乘小数以及一个数除以小数的计算过程中，还会常常遇到“积的位数不够”或“被除数的位数不够”需要“添0补足”的问题，这便使得学生计算出错的概率要相对大一些。为此，教材注意通过有层次的教学安排，帮助学生逐步突破学习难点，学会正确计算，不断提高运算能力。1.依据对小数乘、除法的已有认识，形成计算小数乘、除法的一般思路。在教学小数乘小数时，教材首先结合计算“小明房间面积”的实际问题，引导学生联系熟悉的面积计算公式列出算式3.8×3.2。接着，要求他们联系对小数乘法的已有认识从不同角度估计小明的房间面积大约是多少平方米。在此基础上，进一步启发：“先把这两个小数都看作整数，按整数乘法计算，再联系积的变化规律想一想，怎样才能得到原来的积？”上述教学过程的基本意图是，先让学生通过估算初步掌握3.8×3.2积的上、下界或近似结果，以此为确认笔算结果的合理性提供支持；再让学生联系小数乘整数的计算经验想到“小数乘小数也可以转化成相应的整数乘法来计算”；同时通过给出的直观示意图，启发他们依据积的变化规律合乎逻辑地解释确定积的小数点位置的思考过程。随后的例8则侧重引导学生通过尝试计算，进一步掌握“积的位数不够”时积的小数点的处理方法，帮助他们完善对相关计算方法的认识，形成合理的认知结构。实际教学时，一要鼓励学生充分利用已有的计算经验尝试解决新的计算问题，或通过估算得到大致的计算结果，或通过将“米”作单位的数量改写成“分米”作单位的数量从而将小数乘小数转化成相应的整数乘法来计算。由此，为接下来形成基本计算思路以及确认笔算结果的合理性打好基础。二要利用教材提供的示意图讲清确定积的小数点位置的思考过程。即如，把两个乘数都看作整数，相当于把它们的小数点分别向右移动一位，也就等于把原来的两个乘数分别乘10，得到的积自然就是原来的积乘10再乘10，也就是乘100。由此，要得到原来的乘积，就要用整数相乘的积反过来除以100。三要引导学生适当整合小数乘整数和小数乘小数的计算思路和方法，以帮助他们进一步感受相关数学思想的普适性，形成更为合理的认知结构。一个数除以小数的教材编排思路与小数乘小数比较接近。不同点主要有两个：一是转化的依据不同，小数乘小数的转化过程依据积的变化规律，一个数除以小数的转化过程依据商不变的规律；二是转化的目标不同，小数乘小数需要转化为整数乘法，一个数除以小数则可转化为除数是整数的小数除法，因为后者要比转化乘整数除法相对简便一些。实际教学时，也可先鼓励学生利用已有的计算经验尝试解决新的计算问题，并由此启发他们想到：一个数除以小数也可以转化成熟悉的整数除法或除数之整数的小数除法来计算。在此基础上，引导学生联系商不变规律解释转化的思考过程，并相机明确：把一个数转化成除数是整数的小数除法要比转化成整数除法方便一些。此外，也要通过组织讨论适当整合小数除法的计算方法，使学生感受将未知转化为已知、生疏转化为熟悉、复杂转化为简单的策略价值，以提高自主学习的能力。2.通过求积、商的近似值，初步体会要根据解决问题的需要表达计算结果。在计算小数乘、除法以及应用小数乘、除法解决实际问题的过程中，常常会遇到积或商的小数位数较多，甚至无限多的情形。此时，我们可以根据指定要求或实际需要求出积或商的近似值。苏教版教材在教学小数乘小数之后，安排专门的例题教学求积的近似值；在教学除数是小数的除法之后，再次安排例题教学求商的近似值。由于求积的近似值的知识基础主要有两个，一是小数乘法的计算方法，二是用“四舍五入”法取小数近似值的方法。这两个知识都是学生已经掌握的，所以教材在呈现问题并提出将“得数保留两位小数”的要求之后，只是通过简单的提示唤醒学生用“四舍五入”法求小数近似数的相关记忆，并鼓励他们按题目要求直接写出得数。与求积的近似值所不同的是，求商的近似值所涉及的知识内容十分丰富。一方面，计算小数除法时可能会遇到“永远除不尽”的情形，此时的计算结果其实是一种不同于有限小数的新的小数，也就是无限循环小数；另一方面，在应用小数除法解决实际问题时，有时并不适合用“四舍五入”法求商的近似值，而需要根据问题本身的特点选择“去尾法”或“进一法”。为此，教材先通过例12引导学生初步了解“除不尽”的情形，学会用“四舍五入”法表示商的近似值，并通过“你知道吗”简要介绍循环小数的知识。在此基础上，又通过例13以及随后的“练一练”引导学生初步学会根据解决问题的需要用更加合理的方法截取商的近似值，从而对商的近似值的求法形成较为全面的理解。实际教学时，一方面要鼓励学生充分利用已有的知识经验主动参与求积或商的近似值的学习过程，体会用近似数表示小数乘、除法的计算结果具有一定的实际意义；另一方面，也要注意通过设置认知冲突，激发学生的探索学习热情。例如，当两个数相除总也“除不尽”时，我们该怎样表示这样的计算结果？当用“四舍五入”法截取的近似值与日常事理矛盾时，我们又该怎样做？3.主动发现并应用计算规律，不断提高灵活计算的能力。为了培养学生在计算过程中主动发现规律、应用规律的意识和能力，不断提高计算联系的趣味性和吸引力，苏教版教材结合小数乘小数和一个数除以小数的教学，安排了一些探索规律的活动。这些活动主要有如下三类：一是一个数乘（或除以）比1大的数，积（或商）比原数大（或小）；一个数乘（或除以）比1小的数，积（或商）比原数小（或大）。二是将小数乘、除法相互转化的规律。例如，一个数乘0.5与这个数除以2，一个数乘2与这个数除以0.5，等等。三是一组相关或相似式题积或商的变化规律。教学时，要注意充分发挥这些探索性活动的价值，引导学生主动参与探索活动的过程，以帮助他们获得更多有益的感悟。三、小数四则混合运算和实际问题的解决小数四则混合运算是对已经学过的小数四则计算方法的综合应用。通过这部分内容的教学，不仅有助于学生进一步巩固对相关计算方法的理解，而且有助于他们拓宽解决实际问题的范围，提高综合应用所学计算解决实际问题的能力。考虑到整数四则混合运算的顺序以及整数加法、乘法的运算律对相应的小数运算同样适用，所以教材主要借助现实的问题情境，引导学生通过尝试计算、比较类推，在具体的计算过程中自主实现相关的迁移。其中，小数四则混合运算的运算顺序，完全放手让学生在解决问题的计算过程中自主理解并掌握。至于相关运算律的推广，则先让学生通过计算和比较进行初步的归纳，再明确告诉他们：整数加法、乘法的运算律，对小数加法、乘法同样适用。此外，教学结合计算方法的探索活动以及相关的练习，还安排了一定数量的实际问题。这些实际问题的作用主要体现在如下四个方面：一是为了引入相应的计算内容，使学生感受学习小数计算是源自解决相关实际问题的需要；二是为学生自主探索相应的计算方法提供支持，使他们在解决实际问题的过程中得到一些重要的启示；三是适当体现小数乘、除法的运算意义，使学生对小数乘、除法的不同运算意义形成一些初步的感悟；四是为了帮助学生进一步积累对相关数量关系的认识，体会相关解决问题策略的价值，提高分析和解决实际问题的能力。    总之，苏教版教材“小数乘法和除法”的内容编排具有非常明显的特色和十分丰富的内涵，值得我们在教学中认真研究、细心体会。只有这样，才能更好地实现这部分内容的教学价值，促进学生核心素养的不断提升。