“平移、旋转和轴对称”单元教材解读与教学建议

“平移、旋转和轴对称”单元教材解读与教学建议“平移、旋转和轴对称”是苏教版教材三年级上册第六单元的内容，本单元的内容属于“图形的运动”。图形的运动，对学生认识丰富多彩的现实世界、形成初步的空间观念，以及加强对图形美的感受和欣赏是十分重要的。20世纪80年代，几何图形运动的内容大幅度进入欧美各国的小学数学课程。学生在生活中常常有机会接触平移、旋转、轴对称等现象，并积累了有关各种形状积木拼摆的经验。因此，我国在21世纪的数学课程改革中，也开始重视几何图形运动对形成空间观念的重要意义。 一、《标准（2011年版）》的要求 图形的运动在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化(合同运动)；二是形状不变而大小变化(相似运动)。按照《标准(2011年版)》的要求，第一、二学段中图形的运动主要是合同运动，涉及图形的平移、旋转、轴对称及少量简单的图形相似的内容。平移和旋转都是学生在日常生活中经常看到的现象。从数学的意义上讲，平移和旋转是两种基本的图形变换。图形的平移和旋转对于帮助学生建立空间观念，掌握变换的数学思想方法有很大作用。图形的放大和缩小是对图形相似运动的直接感知，能为第三学段研究图形的相似运动和位似运动打下基础。而图案的欣赏与设计，则为学生用数学的眼光看世界、看生活提供了机会，也可以进一步感受数学的美，感受数学的应用价值。通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观，有利于学生提高研究图形性质的兴趣，体会研究图形性质可以有不同的方法。小学阶段的教学内容大致如下： 第一学段：结合实例,感受平移旋转和轴对称现象；能辨认简单图形平移后的图形；通过观察、操作，初步认识轴对称图形。 第二学段：通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸上将简单图形旋转90º。能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小。能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案。 教师在教学过程中要准确把握《标准（2011年版）》对“图形的运动”的具体要求。如“结合实例，感受”，“能辨认”“通过观察、操作，初步认识”，不拔高相应的教学要求，也不降低教学要求。第二学段的教学，要特别注意在方格纸上让学生完成图形运动的操作，设计简单的图案。 二、核心概念的解读 图形的运动是一种重要的数学思想方法。谈运动，不仅要知道运动的结果，还需要想象运动的过程。平移、旋转、轴对称运动有一个共同的特点，就是运动之后保持任意两点之间距离不变，这样就保证了运动之后物体的形状不变。人们称这类运动为刚体运动。刚体运动是两个图形全等的充分必要条件，因此可以用刚体运动来定义图形的全等，也就是说，可以通过平移、旋转、轴对称来定义图形的全等。判断一个物体的运动是需要参照物的。因此，描述上述三种图形的运动必须构建参照物，进而借助参照物定义三种图形的运动—— 平移：参照物是一条射线。图形上的所有点与射线的距离保持不变，沿射线的方向移动相同的距离的运动为平移。 旋转：参照物是一条射线。图形上的所有点到射线原点的距离保持不变，相对射线移动了相同的角度的运动为旋转。 轴对称：参照物是一条直线。图形翻转到直线的另一侧，对应点到直线的距离相等、对应点连线与直线垂直的运动为轴对称。 图形的许多几何性质都可以通过图形的运动得到，这是小学数学“图形与几何”内容的要点。比如，如果一条直线是另一条直线通过平移得到的，那么这两条直线平行，甚至可以借此来定义平行。教学过程中教师要把握一个最基本的原则，就是图形的这三种运动保持两点间距离不变，直观地说，就是保持图形的全等。 三、教材编排的说明 这部分内容主要教学平移和旋转以及轴对称图形的初步认识。本单元的教学重点有两个：一是正确识别生活中的平移和旋转现象，能辨认简单图形平移后的图形；二是正确识别简单图案或平面图形中的轴对称图形。与本单元内容相关的教学内容大致如下—— 前面已经学习的相关内容：认识前后、上下、左右（一年级上册）；初步认识长方形、正方形、三角形和圆（一年级下册）；初步认识平行四边形（含五边形、六边形）（二年级上册）。 后续学习的相关内容：在方格纸上平移、旋转简单的图形，认识对称轴；三角形、平行四边形和梯形的认识（四年级下册）。多边形面积公式的推导（五年级上册）。圆的认识，图形的转化（五年级下册）。 本单元的教学目标主要包括以下三个方面：其一，使学生通过观察实例和动手操作，初步认识物体或图形的平移和旋转，体会生活中的对称现象；知道轴对称图形的一些基本特征，能在一组实物图案或简单平面图形中识别出轴对称图形。其二，使学生在识别平移或旋转前后的图形、用合适的方法“做”出轴对称图形等活动中，进一步增强空间观念，发展初步的形象思维。其三，使学生在认识、制作、变换图形的过程中，增强对图形及其运动变化的兴趣，感受物体或图形的对称美，激发对数学学习的积极情感。 本单元的教学难点也有两个：一是正确判断平移或旋转前后相关的图形，二是用合适的方法制作轴对称图形。这两项活动既需要学生具有一定的空间观念，更需要他们对图形的运动与变化有较为透彻的感悟。 本单元教材的编排主要有以下三方面的特点：一是选择熟悉的内容，激发学生主动参与。一方面精心选择一些典型的例子和实物图片，引导学生在观察、操作和比较中感知平移、旋转的基本含义，体会轴对称图形的基本特点。另一方面注意提供更多、更鲜活的例子和图案，让学生从中找出平移和旋转的现象以及符合轴对称图形特征的图案，帮助他们从不同角度丰富认识、积累体验，感受数学与生活的密切联系。二是设计多样的活动，让学生在动手操作中感悟。例如，在认识平移时，要求学生在课桌面上把数学书从左上角依次平移到右上角、右下角和左下角；在认识旋转时，要求学生制作转盘，并把转盘上的指针按要求旋转到指定位置；在认识轴对称图形时，让学生通过把一张纸折一折、剪一剪，得到不同形状的轴对称图形，等等。三是提供丰富的素材，引导学生欣赏数学的美。为学生介绍自然界中大量存在的对称现象和古今中外美轮美奂的著名建筑，使他们在获取数学知识的同时，受到美的熏陶，培养积极健康的审美情趣。 本单元的内容大体分为两部分安排：第一部分教学平移和旋转的初步认识。第一道例题提供学生熟悉的处于运动状态的火车车厢、电梯和国旗图片，先让他们在观察中感知这些物体的运动特点，再要求他们用自己的方式表示这些运动。在此基础上，明确指出：这些物体的运动都可以看成平移。这里对不同图片的观察是对平移现象的感知，而用自己的方式表示出来，则是对相关物体运动特点的动作表征。最后，鼓励学生结合生活经验，说说“还见过哪些平移现象”，在交流中进一步丰富感知，并形成更加清晰的认识。第二道例题提供的是学生熟悉的处于运动状态的风扇叶片、螺旋桨和钟面,先让他们在观察中感知这些物体的运动特点，再要求他们用合适的手势表示这些运动。在此基础上，明确指出：这些物体的运动都是旋转。最后，同样鼓励学生结合生活经验说说“还见过哪些旋转现象”，在交流中进一步丰富认识。 第二部分教学轴对称的初步认识。第一道例题首先出示一组实物图片，包括蝴蝶标本、天坛公园的祈年殿和飞机模型，要求学生观察并说说它们的共同特征，然后鼓励他们结合自己的生活经验再找出一些具有对称特征的物体，在小组内交流。教材的主要目的就是帮助学生感受生活中的对称现象。接下来，把上面的实物图片进一步抽象为平面图形，引导学生通过对折发现轴对称图形的基本特征，并初步描述轴对称图形的概念。教材在图中给出了标有对称轴的图形，但没有给对称轴下定义或作出描述，只是让学生对此有所体会。第二道例题则引导学生利用刚刚掌握的轴对称图形的特征，通过折、画、剪等方法“做”出不同的轴对称图形，帮助他们进一步积累感性认识，丰富对轴对称图形的体验，提高动手实践能力。教材首先示范了用一张纸剪出一幅对称的松树图的过程。在此基础上，鼓励学生发挥各自的创造性，动手剪出丰富多样的轴对称图形，从而逐步加深对轴对称图形特点的认识。“试一试”要求学生把教材附页中的长方形、正方形、三角形和平行四边形剪下来，并通过“折一折”的操作，判断它们当中哪些是轴对称图形。这样的活动既能使学生有机会在操作中体会轴对称图形的特点，也能使他们从新的角度丰富对相关平面图形的认识，积累图形与几何的学习经验。 四、教学实施的建议 1.进一步明确平移、旋转和轴对称的内涵。 对于这部分内容，学生主要是通过操作活动积累基本活动经验、获得直观感受，但作为教师要明确三种运动变换的内涵。一般地说，所谓变换是指某个集合中符合一定要求的一种对应规律。就图形的变换来讲，因为几何图形都是点的集合，所以图形变换可以通过点的变换来实现。如果一个平面图形的每一个点，都对应于该平面内某个新图形的一个点，并且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。几何变换中最重要的是全等变换与相似变换。保持图形的形状和大小不变的变换就是全等变换。全等变换本质上是两点之间的距离不发生变化，图形的形状、大小都可以保持不变。所以全等变换是一个保距变换。保持图形的形状不变，而只改变图形大小的变换就是相似变换。在小学数学中主要引进了平移变换、旋转变换和轴对称变换，这三种变换都是全等变换。相似变换只是在第二学段中有所渗透，如学习比例尺时两个图形按比例放大或缩小，实际上就是一种相似变换。 全等变换的几种方式可以直观地加以认识，即形状和大小一样的两个图形，由其中一个图形通过怎样的“运动”可以与另一个图形重合。不妨以两个全等的三角形为例，首先可以是将一个三角形平移到与另一个三角形有一个顶点能够重合，这时候无非有三种情况：第一，这两个三角形完全重合了；第二，虽然两个三角形还没有重合，但绕这个顶点旋转一定的角度就能完全重合了；第三，即使是旋转也不能使两个三角形重合，这时还需要经过反射(翻折)。上面的变换就是平移变换、旋转变换和反射变换(或轴对称变换)，它们是三种基本的全等变换。具体的什么是平移变换、旋转变换和轴对称变换，这里不给出数学上严格的定义，而是直观地给出它们的基本特征，并指出这些变换的基本要素。 2.进一步注重让学生在具体情境中认识图形运动现象。 教材在处理这部分内容时，重视学生在具体情境中直观认识图形运动的现象，然后通过操作活动体会运动的特征，这是代表了教材编写的基本思路，也符合学生对于事物的认识过程。 其实，学生很早就有了物体或图形运动的经验，他们通过折纸、转风车、照镜子等获得诸如平移、旋转、轴对称等的体验。生活中的许多现象，如旗帜升起、螺旋桨转动等，以及建筑、植物(如枫叶)、动物(如蜻蜓)等物体为学生认识平移、旋转和轴对称，提供了丰富的素材。教师应注意收集并利用这些素材，鼓励学生对这些素材加以分析(如分类)，从而直观认识变换现象。教师还可以鼓励学生通过操作，整体感受变换的特征。 3.进一步鼓励学生从运动的角度欣赏和设计图案。 学习图形的运动一个重要目的是使引导学生运用数学的眼光看待世界。学生能逐步学会在生活中发现并欣赏图形的运动现象，进一步体会数学对人类社会的作用，体会数学的文化价值。例如，在生活中随处可见的美丽图案，学生在观察这些图案时，能从运动的角度来欣赏图案，思考一个基本图形发生了怎样的运动之后，形成了这么美妙的一个图案，欣赏其中蕴含的对称美、和谐美、简明美。以此为启发，学生还能发挥自己的个性和创造力，运用平移、旋转和轴对称进行图案设计并制作图案，进一步理解图形运动的特点，充分发挥自己的个性和创造力，领略图形世界的神奇。为了打开学生的思路，教学时可以先让他们观察现实生活中通过图形运动形成的图案，获得设计的灵感。  五、两点延伸性思考 1.重视从运动的角度认识图形：以平移和旋转为例。 “图形的运动”课程目标分为三个层次：感知运动—认识运动—画出或补全图形。据此，教学也应分层实施。首先，让学生亲自经历直观操作活动。学生已有的生活中零散的经验和常识为图形运动的学习奠定了必要的基础。要让学生从熟悉的日常生活现象中感知图形运动的存在，感受图形运动的奇妙。其次，进行基于具体图形的直观操作。与前一阶段相比,这一阶段已经不再停留在直接的生活常识层面，而是建立在已有的几何概念和几何图形之上。再次,进行图形运动特点的初步分析。通过对图形运动特点的初步分析，让学生进一步了解图形运动，从而能按要求准确画出或者补全一个图形。 以此为基础，在认识图形的教学过程中，可以借助图形的运动动态地刻画图形的属性。例如，在认识长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形和圆等图形时，可以通过平移、旋转等直观地发现图形的特征。在平面图形面积公式推导的过程中，时刻都能感受到图形运动的重要作用。例如，平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式推导的过程，都会运用图形的平移、旋转等多种运动方式进行图形的转化。与此相联系，在认识立体图形的过程中，也要重视引导学生从图形运动的角度感悟立体图形的特征。例如，长方体、正方体和圆柱作为直柱体，都可以看作由一个平面图形平移运动之后形成的立体图形。圆柱和圆锥作为旋转体，都可以看作是由一个长方形、直角三角形绕一条边旋转得到。尽管后者已经不是图形绕某一个点在同一平面内的旋转，而是图形在空间内的旋转，但是学生对这样的旋转是能够初步体会的。  2.重视从文化的角度揭示规律：以对称为例。 对称性普遍存在于宇宙之中。在日常生活中处处都可见到对称的身影：洁白的雪花，彩色的蝴蝶，绚丽的花瓣，雄伟的建筑，精美的工艺品，无不呈现出妙趣天成的对称性。对称性是物质世界的基本属性之一。随着人类社会的进步和科学技术的发展,对称性的研究已普及到各个学科领域之中，成为科学研究的对象之一。 在中国的传统文化中，对称美具有独特的地位。中国的建筑、绘画、诗歌、楹联、图章、书法等，都闪耀着对称美的光辉。中国方块字的形、音、结构、神韵都具有对称美。对称美是客观存在的，对称美又是发展变化的，对对称美的探索也是无止境的。 如果把对称仅仅看作是表示一些几何图形的轴对称和中心对称而已，那么，就太小看对称了。诺贝尔物理学奖获得者杨振宁先生回忆他的大学生活时说：“对我后来的工作有决定性影响的一个领域叫做对称原理。”杨振宁先生在《对称和物理学》一文的最后这样写道：“对称是自然界常见的一种重要的现象，也是我们在生活中经常接触到的一种现象。当我们欣赏一栋建筑物的外形时，常常因为发现建筑结构在某些不同部位微妙的相似性而获得美的感受，这种美感是由物体特定的几何对称性而形成的。‘对称’在自然界及人们的日常生活中无处不在，‘对称’是现代数学不可回避的研究对象,它在各个领域都有广泛的应用价值。” 综上所述，本单元教学时应引导学生观察现实生活中的现象，积极参与操作、推理、想象等数学活动过程，进一步丰富数学活动经验，促进观察、分析、归纳、概括能力的提高以及积极的情感态度、审美意识的形成。另外，教学时宜采用描述式定性评价，着重考察学生在参与数学活动过程中的表现，既要关注知识技能目标的达成，更要关注学生在各种活动过程中能否积极思考、能否清晰地表达自己判断和选择的依据、能否进行符合要求的个性化操作，是否善于和同伴合作解决问题，并保持一种积极欣赏的学习心态，等等。