高一(下)期中考试
数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．cos 75°＝ ．
2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝ ．
3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P(1，－2)，则sin2α＝ ．
4．在△ABC中，若AC＝，∠A＝45°，∠C＝75°，则BC＝ ．
5．在△ABC中，若sin A︰sin B︰sin C＝3︰2︰4，则cos C＝ ．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝ ．
7．若等比数列{an}满足a1＋a3＝5，a3＋a5＝20，则a5＋a7＝ ．
8．若关于x的不等式ax2＋x＋b＞0的解集是(－1，2)，则a＋b＝ ．
9．若关于x的不等式1＋≤0的解集是[－2，1)，则k＝ ．
10．若数列{an}满足a11＝，－＝5(n∈N*)，则a1＝ ．
11．已知正数a，b满足＋＝2，则a＋b的最小值是 ．
12．下列四个数中，正数的个数是 ．
①－，a＞b＞0, m＞0；
②(＋)－(＋),n ∈N*；
③2(a2＋b2)－(a＋b) 2，a，b∈R；
④－2，x∈R.
13．在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＋＝1，则＝ ．
14．若数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a1＋2 a2＋3 a3＋…＋n an＝ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本题满分14分)
设f(x)＝x2－(t＋1)x＋t ( t，x∈R)．
(1)当t＝3时，求不等式f(x)＞0的解集；
(2)已知f(x)≥0对一切实数x成立，求t的值．
16．(本题满分14分)
设函数f(x)＝2cos2 x＋2sin xcos x(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在0＜x≤的条件下，求f(x)的取值范围．
17．(本题满分14分)
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos(B－C)－2sinBsin C＝－.
(1)求角A的大小；
(2)当a＝5，b＝4时，求△ABC的面积．
18．(本题满分16分)
已知{an}是等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，a3＋a4＝12．
(1)求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
(2)设bn＝10－an，数列{bn}的前n项和为Sn，若b1≠b2，则n为何值时，Sn最大？Sn最大值是多少？
19．(本题满分16分)
如图，扇形AOB是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB的大小等于，半径OA＝200m，点M在半径OA上，点N在AB弧上，且MN∥OB，求观光道路OM与MN长度之和的最大值．
20．(本题满分16分)
设正项数列{an}满足：a1＝，an＋1＝， n ∈N*.
(1)证明：若an＜，则an＋1＞；
(2)回答下列问题并说明理由：
是否存在正整数N，当n≥N时｜an－｜＋｜an＋1－｜＜0.001恒成立?
高一(下)期中考试数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 2． 3．－ 4． 5．－ 6．12 7．80 8．1 9．3 10．
11．(3＋2) 12．2 13．3 14． (n－1)2n＋2
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．(1)当t＝3时，不等式f(x)＞0与不等式x2－4x＋3＞0同解，
得(x－1)(x－3)＞0， ……………………………………… ........................3分
不等式f(x)＞0的解集是(－∞，1)∪(3．＋∞); …… ........................6分
(2)不等式f(x)≥0对一切实数x成立等价于△＝(t＋1)2－4t≤0，........................10分
即(t－1)2≤0， 即t＝1． ........................14分
16．(1)f(x)＝2sin (2x＋)＋1， …… ........................6分
所以，函数f(x)的最小正周期为π; ........................8分
(2)0＜x≤时，＜2x＋≤， …........................10分
函数y＝sin x在区间[，]是增函数，在区间[，]是增函数，
f(x)的值域是[2sin＋1， 2sin＋1]，即[2，3]． ........................14分
17．(1)由cos(B－C)－2sin Bsin C＝－得cos(B＋C)＝－， ........................4分
∴cos A＝－，∵0＜A＜π，∴A＝; ........................7分
(2) 由c2＋42－2×c×4 cos ＝52 及c＞0得c＝2＋， ........................11分
△ABC的面积S△ABC＝×4×(2＋)×sin＝2＋． .........................14分
18．(1)设{an}的公差为d，∵a1，a2，a5成等比数列，
∴(a1＋d)2＝a1 (a1＋4d)，∴d＝0，或d＝2 a1， ........................4分
当d＝0时，∵a3＋a4＝12，∴a1＝a3＝6，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝30， ........................6分
当d≠0时，∵a3＋a4＝12，∴a1＝1，d＝2， .........................8分
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25;
(2)∵b1≠b2，bn＝10－an，∴a1≠a2，∴d≠0，
∴bn＝10－an＝10－(2n－1)＝11－2n， ........................12分
当n≤5时，bn＞0， 当n≥6时，bn＜0，
当n＝5时，Sn最大，
Sn最大值是9＋7＋5＋3＋1＝25． ........................16分
19．连ON，设∠MON＝θ，0＜θ＜,
在△MON中，ON＝200， ∠OMN＝，
＝＝， ........................4分
∴MN＝sin θ， OM＝sin(－θ)， ........................8分
MN＋OM＝[ sin θ＋sin(－θ)]
＝( sin θ＋cos θ－sin θ)＝sin(＋θ)， ........................13分
∵0＜θ＜，∴＜＋θ＜，
∴当θ＝时，sin(＋θ) 最大，
MN＋OM最大，最大值是m． ........................16分
20．(1)若0＜an＜，则0＜1＋an＜1＋，
则an＋1＝＞＝; ........................4分
(2)仿(1)可得，若an＞，则an＋1＜， ........................6分
则n≥2时｜an－｜＋｜an＋1－｜＝｜an＋1－an｜
＝｜－｜＝，
∵an＞0，∴an＋1＝＜1 ( n ∈N*)，
∴n≥2时， an＝＞，又a1＝，
∴n≥2时， (1＋an) (1＋an－1)＝(1＋) (1＋an－1)＝2＋an－1≥，...................8分
∴｜an＋1－an｜＝≤｜an－an－1｜≤()2｜an－1－an－2｜
≤…≤()n－1｜a2－a1｜＝×()n－1， ........................12分
数列{×()n－1}递减，×()7－1＜0．001，
只要N≥7，当n≥N时必有｜an＋1－an｜＜0．001，
即｜an－｜＋｜an＋1－｜＜0．001成立． ........................16分
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