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成都市五校联考高2015级第二学期期中试题
理科数学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项）
1.的值是 （ ）
A． B． C． D．
2.已知向量且，则的坐标是（ ）
A． B． C． D.
3.在等差数列中，若，则的值是（ ）
A. 10 B.15 C.20 D.25
4.三角形的一边长为13，这条边所对应的角为，另外两边之比为，则这个三角形的面积为（ ）
A． B． C．39 D．78
5.已知则在方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
6．化简：的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
7．在中，角A，B，C对应的边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．在等比数列中，，则等于（ ）
A．3 B．9 C．27 D．81
9.在平行四边形ABCD中，于P，，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
10．下列给出了四个结论，其中正确结论的个数是（ ）
①常数数列一定是等比数列；
②在中，若，则是锐角三角形；
③若向量满足，则；
④若，则函数的图像关于直线对称．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知向量，且，记，则的最小值为（ ）
A． 2 B． C． D．
12．如右所示的正数数阵中，第一横行是公差为的等差数列，奇数列均是公比为等比数列，偶数列均是公比为等比数列，已知，，，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量=（3，4），=（9，12），=（4，﹣3），若向量，则向量与的夹角为 ．
14．数列的通项公式为，是数列的前n项和，那么，
的值是 ．
15．已知，，
则 ．
16．已知的周长为，，且，则角等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17（本题满分10分）已知向量
（1）求；
（2）若，求实数的值．
18（本题满分12分）已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.
(1)若Sk＝30，求a和k的值；
(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值.
19（本题满分12分） 已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知，求的值．
20（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，，求的前n项和.
21（本题满分12分）已知向量，若
(1)求递增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数的取值范围．
22（本题满分12分）已知数列满足：，且是函数的零点．
（1）求；
（2）设，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（3）设，不等式恒成立时，求实数的取值范围．
成都市五校联考高2015级第二学期期中试题
理科数学(参考答案)
一、选择题
1．C；2．B；3．D；4．A；5．A；6．D；7．C；8．B；9．D；10．A；11．C；12．B．
二、填空题
13． 135°； 14．； 15．-22； 16．．
三、解答题
17解：（1） …………………………………2分
．…………………………5分
（2），………………………………………7分
∵，
∴4（2+3λ）﹣3（﹣1﹣2λ）=0，解得．…………………………10分
18解 (1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，
又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3.……………………………………2分
∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2. …………………………………………………3分
由Sk＝ka1＋d， 得2k＋×2＝30，
即k2＋k－30＝0，解得k＝5或k＝－6(舍去). …………………………5分
∴a＝3，k＝5. ………………………………………………………………6分
(2)由Sn＝na1＋d，得Sn＝2n＋×2＝n2＋n. ……………………8分
∴bn＝＝n＋1. ∴{bn}是等差数列.………………………………………………9分
……………………………………………………10分
则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝4+8+12+…+＝. ………………………11分
∴………………………………………………12分
19解 (1) ∵f(x)＝sin＋cos …………………2分
＝sin＋sin＝2sin，………………………………4分
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.…………………………………………6分
（2）由及（1）知 …………………………7分
由，知，…………8分
……………………9分
………………………………10分
………………………………12分
20解 (1)当n＝1时，a1＝，…………………………………………………………1分
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
又Sn＝－an，从而有
即：．……………………………………………………………………3分
所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列，……………………………………4分
故. …………………………………………………………………………6分
(2)由题意得，…………………………………………………………7分
故＝－，
则Sn＝－，……………………………………9分
两式相减可得
Sn＝－＝－＋n·n＋1…………10分
＝－＋·n＋n·n＋1，…………………………………………………………11分
则· ……………………………………12分
21．解 (1)＝sin ·cos ＋cos2 ＝sin ＋
＝sin＋，
……………………………………3分
由得：
…………………………5分
的递增区间是．……6分
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，………………7分
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)． ……………………………………8分
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0. ∴cos B＝，……9分
∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.
∴＜＋＜，sin∈. …………………………10分
又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.
故函数的取值范围是. ………………………………12分
22解：由解得：
…………………………………………………………1分
由得…………2分
将代入得 ……………………………………………………3分
(2)因为，所以 ………………4分
即
又
故：数列是以-4为首项，-1为公差的等差数列． ………………5分
于是 ……………………………………6分
由得 ……………………………7分
（3）由题意及（2）知：……………………………………8分
………………………9分
由恒成立
即恒成立即可，…………………………………10分
设
①当时，恒成立
②当时，由二次函数的性质不可能恒成立
③当时，由于
所以在上单调递减
由得
，恒成立
综上所述：所求的取值范围是．……………………………………12分
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