第17练 三角函数的化简与求值.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第17练　三角函数的化简与求值 ‎[题型分析·高考展望]　三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.‎ 体验高考 ‎1.(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 答案　D 解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.‎ ‎2.(2015·重庆)若tan α＝2tan ，则等于(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　C 解析　＝ ‎＝＝＝＝＝3.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3.(2016·课标全国甲)若cos＝，则sin 2α等于(　　)‎ A. B. C.－ D.－ 答案　D 解析　因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，‎ 又因为cos＝，‎ 所以sin 2α＝2×－1＝－，‎ 故选D.‎ ‎4.(2016·课标全国丙)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)‎ A. B. C.1 D. 答案　A 解析　tan α＝，‎ 则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.‎ ‎5.(2016·四川)cos2－sin2＝________.‎ 答案　 解析　由题可知，cos2－sin2＝cos＝.‎ 高考必会题型 题型一　利用同角三角函数基本关系式化简与求值 基本公式：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝.‎ 基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α；(3)在进行开方运算时，注意判断符号.‎ 例1　已知tan α＝2，求：‎ ‎(1)的值；‎ ‎(2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α的值.‎ 解　(1)方法一　∵tan α＝2，∴cos α≠0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴＝＝＝＝.‎ 方法二　由tan α＝2，得sin α＝2cos α，代入得 ＝＝＝.‎ ‎(2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α ‎＝＝ ‎＝＝.‎ 点评　本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cos α”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2α＋cos2α代换“1”，变成分式后再化简.‎ 变式训练1　已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)sin2α＋sin 2α.‎ 解　由已知得sin α＝2cos α.‎ ‎(1)原式＝＝－.‎ ‎(2)原式＝＝＝.‎ 题型二　利用诱导公式化简与求值 ‎1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.‎ ‎2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！‎ 例2　(1)设f(α)＝，则f＝______.‎ ‎(2)化简：＋＝________.‎ 答案　(1)　(2)0‎ 解析　(1)∵f(α)＝ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝＝＝＝.‎ ‎(2)原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.‎ 点评　熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.‎ 变式训练2　(1)(2016·课标全国乙)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ ‎(2)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin＝________.‎ 答案　(1)－　(2)0‎ 解析　(1)将θ－转化为(θ＋)－.‎ 由题意知sin(θ＋)＝，θ是第四象限角，‎ 所以cos(θ＋)＞0，‎ 所以cos(θ＋)＝ ＝.‎ tan(θ－)＝tan(θ＋－)＝－tan[－(θ＋)]‎ ‎＝－＝－＝－＝－.‎ ‎(2)cos＝cos＝－cos＝－a.‎ sin＝sin＝cos＝a，‎ ‎∴cos＋sin＝0.‎ 题型三　利用其他公式、代换等化简求值 两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 等.(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.‎ 例3　化简：‎ ‎(1)sin 50°(1＋tan 10°)；‎ ‎(2).‎ 解　(1)sin 50°(1＋tan 10°)‎ ‎＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)‎ ‎＝sin 50°· ‎＝sin 50°·＝ ‎＝＝＝1.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝ ‎＝＝cos 2x.‎ 点评　(1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用.‎ ‎(2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形.‎ 变式训练3　(1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为________.‎ ‎(2)的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(3)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A. B.－ C. D.－ 答案　(1)　(2)C　(3)D 解析　(1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan ＝，‎ 所以tan ＋tan ＋tan tan ‎＝tan＋tan tan ‎＝＋tan tan ＝.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎(3)cos 2α＝sin＝sin ‎＝2sincos 代入原式，‎ 得6sincos＝sin，‎ ‎∵α∈，sin(－α)≠0，‎ ‎∴cos＝，‎ ‎∴sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.‎ 高考题型精练 ‎1.(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；‎ cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇏sin α＝cos α，故选A.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2.(2016·课标全国丙)若tan θ＝－，则cos 2θ等于(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 答案　D 解析　tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.‎ ‎3.若tan＝，且－＜α＜0，则等于(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 答案　A 解析　由tan＝＝，得tan α＝－.‎ 又－＜α＜0，所以sin α＝－.‎ 故＝＝2sin α＝－.‎ ‎4.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg )，则(　　)‎ A.a＋b＝0 B.a－b＝0‎ C.a＋b＝1 D.a－b＝1‎ 答案　C 解析　a＝f(lg 5)＝sin2(lg 5＋)＝＝，‎ b＝f(lg )＝sin2(lg ＋)＝＝，‎ 则可得a＋b＝1.‎ ‎5.已知sin＋sin α＝，则sin的值是(　　)‎ A.－ B. C. D.－ 答案　D 解析　sin＋sin α＝⇒sin cos α＋cossin α＋sin α＝⇒sin α＋cos α＝⇒sin α 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＋cos α＝，‎ 故sin＝sin αcos＋cos αsin＝－＝－.‎ ‎6.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)等于(　　)‎ A. B. C.4 D.12‎ 答案　C 解析　由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17，‎ ‎∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)，‎ ‎∴tan(α－β)＝＝4.‎ ‎7.(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________.‎ 答案　3‎ 解析　∵tan α＝－2，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝＝，‎ 解得tan β＝3.‎ ‎8.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.‎ 答案　－ 解析　f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，‎ 其中sin φ＝，cos φ＝，‎ 当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，‎ 即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，‎ 所以cos θ＝－sin φ＝－.‎ ‎9.已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝_______.‎ 答案　 解析　∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，‎ ‎∴2sin α＝3cos α，‎ 又sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴cos α＝，sin α＝，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎10.(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________.‎ 答案　－1‎ 解析　∵sin α＋2cos α＝0，‎ ‎∴sin α＝－2cos α，‎ ‎∴tan α＝－2.‎ 又∵2sin αcos α－cos2α＝＝，‎ ‎∴原式＝＝－1.‎ ‎11.(2015·广东)已知tan α＝2.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)求的值.‎ 解　(1)tan＝ ‎＝＝＝－3.‎ ‎(2) ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝1.‎ ‎12.已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)若sin α＝，且α∈，求f.‎ 解　(1)f＝cos2＋sin cos ‎＝2＋×＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x ‎＝＋sin 2x ‎＝＋(sin 2x＋cos 2x)‎ ‎＝＋sin，‎ 所以f＝＋sin ‎＝＋sin ‎＝＋.‎ 又因为sin α＝，且α∈，‎ 所以cos α＝－，‎ 所以f＝＋ ‎＝.‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费