第20练 平面向量中的线性问题.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第20练　平面向量中的线性问题 ‎[题型分析·高考展望]　平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.‎ 体验高考 ‎1.(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析　∵＝3，∴－＝3(－)，‎ 即4－＝3，∴＝－＋.‎ ‎2.(2016·课标全国甲)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m等于(　　)‎ A.－8 B.－6 C.6 D.8‎ 答案　D 解析　由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，‎ 即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.‎ ‎3.(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A.4 B.－4 C. D.－ 答案　B 解析　∵n⊥(tm＋n)，‎ ‎∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，‎ ‎∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，‎ 又4|m|＝3|n|，‎ ‎∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.‎ ‎4.(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝________；y＝________.‎ 答案　　－ 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－，‎ ‎∴x＝，y＝－.‎ 高考必会题型 题型一　平面向量的线性运算及应用 例1　(1)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)已知在△ABC中，D是AB边上的一点，若＝2， ＝＋λ，则λ＝_____.‎ 答案　(1)D　(2) 解析　(1)设＝y，‎ ‎∵＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).‎ ‎∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，‎ ‎∴y∈，∵＝x＋(1－x)，‎ ‎∴x＝－y，∴x∈.‎ ‎(2)因为＝2，＝＋λ，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.‎ 点评　平面向量的线性运算应注意三点 ‎(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.‎ ‎(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.‎ 变式训练1　(1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若＝λ＋k，则λ＋k等于(　　)‎ A.1＋ B.2－ C.2 D.＋2‎ ‎(2)在△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，则＋＝________.‎ 答案　(1)A　(2)6‎ 解析　(1)根据向量的基本定理可得，‎ ＝＋＝＋(－)‎ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋－(－)‎ ‎＝·＋，‎ 所以λ＝，k＝1＋，‎ 所以λ＋k＝1＋.故选A.‎ ‎(2)由＋＋＝0，知点G为△ABC的重心，取AB的中点D(图略)，则＝＝＝(＋)＝＋，由P，H，Q三点共线，得＋＝1，则＋＝6.‎ 题型二　平面向量的坐标运算 例2　(1)已知点A(－3，0)，B(0，)，点O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________.‎ 答案　1‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析　由题意知＝(－3，0)，＝(0，)，‎ 则＝(－3λ，)，‎ 由∠AOC＝30°，知∠xOC＝150°，‎ ‎∴tan 150°＝，即－＝－，∴λ＝1.‎ ‎(2)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，请解答下列问题：‎ ‎①求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎②若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；‎ ‎③若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.‎ 解　①由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，‎ ‎∴得 ‎②a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，‎ ‎∵(a＋kc)∥(2b－a)，‎ ‎∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－. ‎ ‎③设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，‎ 由题意得 解得或 ‎∴d＝(3，－1)或d＝(5，3).‎ 点评　(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.‎ ‎(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.‎ ‎(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.‎ 变式训练2　(1)如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，F在线段CD上，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则＋的最小值为(　　)‎ A.8＋2 B.8 C.6 D.6＋2 ‎(2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 能构成三角形，则实数m满足的条件是________.‎ 答案　(1)B　(2)m≠ 解析　(1)因为点D为AB的中点，所以＝2，因为＝xa＋yb，所以＝2x＋y.因为点F在线段CD上，所以2x＋y＝1，又x，y＞0，所以＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，‎ 当且仅当y＝2x＝时取等号，所以＋的最小值为8.‎ ‎(2)因为＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，所以＝(3，1)，＝(－m－1，－m).‎ 由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有＝，解得m＝，故当点A、B、C能构成三角形时，实数m满足的条件是m≠.‎ 高考题型精练 ‎1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)‎ A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|a 答案　B 解析　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.‎ ‎2.设点M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，点D是AC的中点，则的值为(　　)‎ A. B. C.1 D.2‎ 答案　A 解析　∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD，‎ ‎∴四边形MAEC为平行四边形，‎ ‎∴＝＝(＋).‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵＋＋＝0，‎ ‎∴＝－(＋)＝－3，‎ ‎∴＝＝，故选A.‎ ‎3.已知点A(－3，0)，B(0，2)，点O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋(λ∈R)，则λ的值为(　　)‎ A.1 B. C. D. 答案　D 解析　过点C作CE⊥x轴于点E(图略).‎ 由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2，‎ 所以＝＋＝λ＋，‎ 即＝λ，‎ 所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.‎ ‎4.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)‎ A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 答案　C 解析　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b ‎＝2(－4a－b)＝2，故∥.‎ 又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形.‎ ‎5.设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2，1)，则“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的(　　)‎ A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析　若a＝(4，2)，则|a|＝2，且a∥b都成立；‎ ‎∵a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，知 ‎4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，‎ ‎∴a＝(4，2)或a＝(－4，－2).‎ 因此“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件.‎ ‎6.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，点E为BC的中点，则等于(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　＝＋＋＝－＋，‎ ＝＋＝＋＝＋＝＋.‎ ‎7.给出下列命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；‎ ‎⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A.②③ B.①② C.③④ D.④⑤‎ 答案　A 解析　①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b＝0，则不对.‎ ‎8.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)‎ 答案　(5e1＋3e2)‎ 解析　在矩形ABCD中，因为点O是对角线的交点，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2).‎ ‎9.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ 答案　 解析　依题意得，‎ ＝＋＋＝＋－＝＋，‎ ＝＋＝＋.‎ 又＝λ＋μ，‎ 于是有＝λ＋μ ‎＝＋.‎ 又与不共线，因此有 由此解得λ＝－，μ＝－2λ，‎ 所以λ＋μ＝－λ＝.‎ ‎10.已知点G是△ABC的外心，，，是三个单位向量，且2＋＋＝0，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，点O是坐标原点，则||的最大值为________.‎ 答案　2‎ 解析　因为点G是△ABC的外心，且2＋＋＝0，所以点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，且∠BAC是直角.又，，是三个单位向量，所以BC＝2，又△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，所以点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又||＝1，所以当OA经过BC的中点G时，||取得最大值，且最大值为2| 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎|＝2.‎ ‎11.设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.‎ ‎(1)求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值.‎ ‎(1)证明　由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，‎ ‎∵＝2e1－8e2，∴＝2.‎ 又∵与有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线.‎ ‎(2)解　由(1)可知＝e1－4e2，‎ ‎∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，‎ ‎∴＝λ(λ∈R)，‎ 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，‎ 得解得k＝12.‎ ‎12.已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线；‎ ‎(3)若t1＝a2，求当⊥且△ABM的面积为12时，a的值.‎ ‎(1)解　＝t1＋t2 ‎＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2).‎ 当点M在第二或第三象限时，‎ 有 故所求的充要条件为t2