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第19练 解三角形问题
[题型分析·高考展望] 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点.
体验高考
1.(2016·天津)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).故选A.
2.(2016·课标全国丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于( )
A. B. C.－ D.－
答案 C
解析 设BC边上的高线AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝＝－3，所以cos A＝－.
3.(2015·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________.
答案 8
解析 ∵cos A＝－，0＜A＜π，∴sin A＝.
S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3，∴bc＝24.
又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52.
由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A
＝52－2×24×＝64，
∴a＝8.
4.(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b
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＝________.
答案 1
解析 因为sin B＝且B∈(0，π)，
所以B＝或B＝.又C＝，
所以B＝，A＝π－B－C＝.
又a＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得b＝1.
5.(2016·北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值.
解 (1)由a2＋c2＝b2＋ac得a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理得cos B＝＝＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
(2)A＋C＝π－B＝π－＝，
所以C＝－A，0＜A＜.
所以cos A＋cos C＝cos A＋cos
＝cos A＋coscos A＋sin sin A
＝cos A－cos A＋sin A
＝sin A＋cos A＝sin.
因为0＜A＜，所以＜A＋＜π，
故当A＋＝，即A＝时，cos A＋cos C取得最大值1.
高考必会题型
题型一 活用正弦、余弦定理求解三角形问题
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例1 (1)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b
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