压轴大题突破练(三) 函数与导数(1).doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 压轴大题突破练(三)　函数与导数(1)‎ ‎1.已知函数f(x)＝(x2－2ax＋2)ex.‎ ‎(1)函数f(x)在x＝0处的切线方程为2x＋y＋b＝0，求a，b的值；‎ ‎(2)当a＞0时，若曲线y＝f(x)上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围.‎ 解　(1)f(x)＝(x2－2ax＋2)ex，‎ f(0)＝2e0＝2，2＋b＝0，得b＝－2.‎ f′(x)＝(x2－2ax＋2＋2x－2a)ex ‎＝[x2＋(2－2a)x＋2－2a]ex，‎ f′(0)＝2－2a＝－2，得a＝2，‎ ‎∴a＝2，b＝－2.‎ ‎(2)f′(x)＝[x2＋(2－2a)x＋2－2a]ex，‎ 令h(x)＝f′(x)，依题意知存在k使h(x)＝k有三个不同的实数根，‎ h′(x)＝(x2－2ax＋2＋2x－2a＋2x－2a＋2)ex ‎＝[x2＋(4－2a)x＋4－4a]ex，‎ 令h′(x)＝[x2＋(4－2a)x＋4－4a]ex＝0，‎ 得x1＝－2，x2＝2a－2.‎ 由a＞0知x1＜x2，则f′(x)在(－∞，－2)，(2a－2，＋∞)上单调递增，在(－2，2a－2)上单调递减.‎ 当x→－∞时，f′(x)→0，当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，‎ ‎∴f′(x)的极大值为f′(－2)＝e－2(2a＋2)，‎ f′(x)的极小值为f′(2a－2)＝e2a－2(2－2a)，‎ ‎∴此时e2a－2(2－2a)＜k＜e－2(2a＋2).‎ ‎2.(2016·四川)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数).‎ 解　(1)f′(x)＝2ax－＝(x>0).‎ 当a≤0时，f′(x)0时，由f′(x)＝0，有x＝.‎ 此时，当x∈时，f′(x)0，f(x)单调递增.‎ ‎(2)令g(x)＝－，s(x)＝ex－1－x.‎ 则s′(x)＝ex－1－1.而当x>1时，s′(x)>0，‎ 所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增.‎ 又由s(1)＝0，有s(x)>0，从而当x>1时，g(x)>0.‎ 当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－ln xg(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.‎ 当0g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立.‎ 当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1).‎ 当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0.‎ 因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增.‎ 又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立.‎ 综上，a∈.‎ ‎3.已知函数f(x)＝x2－ln x.‎ ‎(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调递减区间；‎ ‎(3)设函数g(x)＝f(x)－x2＋ax，a＞0，若x∈(0，e]时，g(x)的最小值是3，求实数a的值(e为自然对数的底数).‎ 解　(1)∵f(x)＝x2－ln x，‎ ‎∴f′(x)＝2x－.∴f′(1)＝1.‎ 又∵f(1)＝1，‎ ‎∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.‎ ‎(2)∵函数f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，‎ 由f′(x)＝2x－＜0，得0＜x＜.‎ ‎∴函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是(0，).‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(3)∵g(x)＝ax－ln x，‎ ‎∴g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝.‎ ‎①当≥e，即0＜a≤时，‎ g′(x)＝≤0在(0，e]上恒成立，‎ 则g(x)在(0，e]上单调递减，‎ g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)；‎ ‎②当0＜＜e，即a＞时，列表如下：‎ ‎ x ‎(0，)‎ ‎(，e)‎ e g′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎ ‎↘‎ 极小值1＋ln a ‎↗‎ ae－1‎ 由表知，g(x)min＝g()＝1＋ln a＝3，a＝e2，满足条件.‎ 综上，所求实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时g(x)有最小值3.‎ ‎4.已知函数f(x)＝＋aln x－2(a>0).‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若对∀x∈(0，＋∞)都有f(x)>2(a－1)成立，试求实数a的取值范围；‎ ‎(3)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R)，当a＝1时，函数g(x)在区间[e－1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.‎ 解　(1)直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋，‎ ‎∴f′(1)＝－＋＝－1，解得a＝1，‎ ‎∴f(x)＝＋ln x－2，f′(x)＝，‎ 由f′(x)>0得x>2，由f′(x)，由f′(x)2(a－1)，‎ ‎∴aln >a，ln >1，00得x>1，‎ 由g′(x)