压轴大题突破练(一) 直线与圆锥曲线(1).doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 压轴大题突破练 压轴大题突破练(一)　直线与圆锥曲线(1)‎ ‎1.在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B在直线l：x＝－1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M.‎ ‎(1)求动点M的轨迹E的方程；‎ ‎(2)过(1)中轨迹E上的点P(1，2)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点.试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.‎ 解　(1)依题意，得|MA|＝|MB|.‎ ‎∴动点M的轨迹E是以A(1，0)为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线， ‎ ‎∴动点M的轨迹E的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)∵P(1，2)，C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，‎ ‎∴ 由①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，‎ ‎∴直线CD的斜率为kCD＝＝. ③‎ 设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为－k，‎ 则直线PC方程为y－2＝k(x－1)，‎ 由得ky2－4y－4k＋8＝0.‎ 由2＋y1＝，求得y1＝－2，‎ 同理可求得y2＝－－2.‎ ‎∴kCD＝＝＝－1，‎ ‎∴直线CD的斜率为定值－1 .‎ ‎2.如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.‎ ‎(1)解　依题意，得b＝1.‎ 因为e＝＝，又a2－c2＝b2，所以a2＝4.‎ 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　设点P的坐标为(x0，y0)，x0≠0，‎ 因为P是椭圆上异于A，B的任意一点，所以＋y＝1.‎ 因为PQ⊥y轴，Q为垂足，所以点Q坐标为(0，y0).‎ 因为M为线段PQ的中点，所以M.‎ 又点A的坐标为(0，1)，可得直线AM的方程为y＝x＋1.‎ 因为x0≠0，所以y0≠1，令y＝－1，得C.‎ 因为点B的坐标为(0，－1)，点N为线段BC的中点，‎ 所以N.‎ 所以向量＝.‎ 又＝，‎ 所以·＝＋y0(y0＋1)‎ ‎＝－＋y＋y0‎ ‎＝－＋y0‎ ‎＝1－(1＋y0)＋y0＝0.‎ 所以OM⊥MN.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3.椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E相切于点P且交直线x＝2于点N，△PF1F2的周长为2(＋1).‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)求两焦点F1、F2到切线l的距离之积；‎ ‎(3)求证：以PN为直径的圆恒过点F2.‎ ‎(1)解　设F1(－c，0)，F2(c，0)，‎ 则解得a＝，c＝1.‎ ‎∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)解　由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0.‎ 设直线l与椭圆E相切于点P(x0，y0)，‎ 则Δ＝0，化简2k2＋1＝m2，‎ 焦点F1，F2到直线l的距离d1，d2分别为d1＝，d2＝，‎ 则d1·d2＝＝＝1.‎ ‎(3)证明　∵x0＝－＝－，‎ ‎∴y0＝kx0＋m＝－＋m＝＝，‎ ‎∴P(－，).‎ 又联立y＝kx＋m与x＝2，得到N(2，2k＋m)，‎ ＝(1＋，－)，＝(1，2k＋m).‎ ‎∴·＝(1＋，－)·(1，2k＋m)‎ ‎＝1＋－(2k＋m)‎ ‎＝1＋－－1＝0.‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴以PN为直径的圆恒过点F2.‎ ‎4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)求·的取值范围；‎ ‎(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点.‎ ‎(1)解　由题意知b＝1，e＝＝，‎ 得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a2＝2.‎ 故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)解　设l：y＝k(x－2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.‎ 由Δ>0得0≤k2