压轴大题突破练(二) 直线与圆锥曲线(2).doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 压轴大题突破练(二)　直线与圆锥曲线(2)‎ ‎1.(2016·浙江)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1).‎ ‎(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；‎ ‎(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.‎ 解　(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，‎ 由 得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，‎ 故x1＝0，x2＝－，‎ 因此|AM|＝|x1－x2|＝·.‎ ‎(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.‎ 记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，‎ 且k1，k2＞0，k1≠k2.‎ 由(1)知，|AP|＝，|AQ|＝，‎ 故＝，‎ 所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.‎ 由于k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，‎ 因此＝1＋a2(a2－2). ①‎ 因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，‎ 所以a＞.‎ 因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，‎ 由e＝＝，得00)交于A，B两点，且·＝－3，其中O为坐标原点.‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程.‎ 解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 直线l的方程为x＝my＋.‎ 联立 消去x，得y2－2pmy－p2＝0.‎ ‎∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2.‎ ‎∵·＝－3，‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝－3.‎ 又x1x2＝·＝，‎ ‎∴－p2＝－3⇒p2＝4.‎ ‎∵p>0，∴p＝2.‎ ‎(2)由抛物线定义，得|AM|＝x1＋＝x1＋1，‎ ‎|BM|＝x2＋＝x2＋1，‎ ‎∴|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥2＋5＝9，‎ 当且仅当x1＝4x2时取等号.‎ 将x1＝4x2代入x1x2＝＝1，‎ 得x2＝(负值舍去).‎ 将x2＝代入y2＝4x，‎ 得y2＝±，即点B.‎ 将点B代入x＝my＋1，得m＝±.‎ ‎∴直线l的方程为x＝±y＋1，即4x±y－4＝0.‎ ‎3.已知动点S(x，y)到直线l：x＝2的距离是它到点T(，0)的距离的倍. ‎ ‎(1)求动点S的轨迹C的方程；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)设轨迹C上一动点P满足：＝λ＋2μ，其中M，N是轨迹C上的点，直线OM与ON的斜率之积为－，若Q(λ，μ)为一动点，E1(－，0)，E2(，0)为两定点，求|QE1|＋|QE2|的值.‎ 解　 (1) 点S(x，y)到直线x＝2的距离，‎ 是到点T(，0)的距离的倍，‎ 则|x－2|＝ ，‎ 化简得＋＝1.‎ 所以轨迹C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则＝λ＋2μ，‎ 即x＝λx1＋2μx2，y＝λy1＋2μy2，‎ 因为点P，M，N在椭圆＋＝1上，‎ 所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，x2＋2y2＝4，‎ 故x2＋2y2＝λ2(x＋2y)＋4μ2(x＋2y)＋4λμ(x1x2＋2y1y2)‎ ‎＝4λ2＋16μ2＋4λμ(x1x2＋2y1y2)＝4，‎ 设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，‎ 由题意知，kOM·kON＝＝－，‎ 因此x1x2＋2y1y2＝0，所以λ2＋4μ2＝1，‎ 所以点Q是椭圆λ2＋4μ2＝1上的点，‎ 而E1，E2恰为该椭圆的左，右焦点，‎ 所以由椭圆的定义可得，|QE1|＋|QE2|＝2.‎ ‎4.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(－1，0)与F2(1，0)的距离之和为4.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(－4，0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间)，N为BC中点.‎ ‎①证明：k·kON为定值；‎ ‎②是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由.‎ ‎(1)解　由已知可得：曲线C是以两定点F1(－1，0)和F2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 所以a＝2，c＝1⇒b＝＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故曲线C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明　设过点M的直线l的方程为y＝k(x＋4)，‎ 设B(x1， y1)，C(x2， y2)(x2>x1).‎ ‎①联立方程组 得(4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0，‎ 则 故xN＝＝，‎ yN＝k(xN＋4)＝.‎ 所以kON＝－，‎ 所以k·kON＝－为定值.‎ ‎②解　若F1N⊥AC，则kAC·kF1N＝－1，‎ 因为F1(－1，0)，‎ kF1N＝＝，‎ 因为A(－2，0)，kAC＝，‎ 故·＝－1，‎ 代入y2＝k(x2＋4)得x2＝－2－8k2，y2＝2k－8k3，‎ 而x2≥－2，‎ 故只能k＝0，显然不成立，‎ 所以这样的直线不存在.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费