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2016～2017学年度（下期）高2016级期中联考试卷
理科数学
考试时间共120分钟，满分150分
试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．数列1，－4，9，－16，25，…的一个通项公式为( )
A． B．
C． D．
2．计算的值等于( )
A． B． C． D．
3．已知数列成等比数列,则=( )
A． B． C． D．
4．等于( )
A．－1 B． 1 C． D．－
5．如图,D，C,B三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A，测得它们的
仰角分别为45°和30°,已知CD＝200米,点C位于BD上,则山高AB等于 ( )
A．米 B．米
C．米 D．200米
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6．若为锐角，且满足，，则的值为( )
A． B． C． D．
7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为( )
A． B． C． D．
8．在中，＝ (分别为角的对边)，则的
形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
9．已知△中，,,分别是、的等差中项与等比中项，则△的面积等于( )
A． B． C．或 D．或
10．若，且，则的值为( )
A． B． C． D．
11．设等差数列满足,公差,当且仅当时,数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围( )
A． B． C． D．
12．在锐角三角形中,,,分别是角,,的对边,
=,则的取值范围为( )
A． B． C． D．
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第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知函数,则的最大值为 .
14．等差数列的前项和为,若,则等于 .
15．已知内角的对边分别是,若,，
则的面积为 .
16．已知数列满足：，若
，且数列是单调递增数列,则实数的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本题满分10分)
已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设,求数列的前项和.
18．(本题满分12分)
（1）设为锐角，且,求的值；
（2）化简求值：.
19．(本题满分12分)
已知函数
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（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；
（2）已知中,角的对边分别为,若,求.
20．（本小题满分12分）
已知数列前项和
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21．（本小题满分12分）
的内角的对边分别为,且.
（1）证明：成等比数列；
（2）若角的平分线交于点,且,求.
22．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有.
（1）求数列、的通项公式；
（2）令.若对任意的,不等式恒成立,试求实数λ的取值范围.
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2016～2017学年度（下期）高2016级期中理科数学联考答案
一．选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分.
1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A 9.D 10.A 11.C 12.B
12.【解析】由条件可得，，即
根据余弦定理得：
是锐角，.即
又是锐角三角形，
，即
,
.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.2 14.18 15. 16.
16.【解析】：由得，，易知，则，可得，则，
由得>，则恒成立，的最小值为3，，则的取值范围为.
三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本题满分10分)
解：（1）设数列公差为d, ……………………………………………………1分
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成等比数列
……………………………………2分
∴（舍）或, ……………………………………………………3分
∴ …………………………………………………………………………5分
（2）令
……………………………………6分
……………………………………7分
…………………………………………8分
…………………………………………9分
………………………………………10分
18．(本题满分12分)
解：（1）为锐角，………………………………1分
为锐角， ………………………………2分
………………………………3分
…………………………………………4分
………………………………………………5分
……………………………………………………6分
（2）原式= ………………………………………………7分
…………………………………………………8分
……………………………………………………10分
………………………………………………12分
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19．(本题满分12分)
解：（1）
…………………………………………1分
= …………………………………………3分
的最小正周期 ……………………………4分
要使函数的单调递增
………………………………………5分
故函数的单调递增区间 ………………6分
（2）
………………………………………………7分
……………………………………………8分
………………………………………………9分
在中，由正弦定理得：
，即 …………………………………………11分
,即 ………………………………12分
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20．(本题满分12分)
解：解：（1）数列前项和为
当时,
……………………………………………………………………1分
…………………………………………………………………………3分
当时,，不满足 …………………4分
∴的通项公式为 ……………………………………6分
（2）当时,= ……………………8分
当时, …………………………………………………9分
…10分
…… ……………………………………11分
…… ……………………………………12分
21．(本题满分12分)
解：（1）因为，
所以
化简可得 ……………………………………………………1分
由正弦定理得，，又因a、b、c均不为0……………………………3分
故成等比数列. …………………………………………………………4分
（2）由，
得，
又因为是角平分线，所以，即，
化简得，，即. ……………………………6分
由（1）知，，解得， ……………………………………7分
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再由得，（为中边上的高），
即，又因为，所以. …………………………8分
在中由余弦定理可得，， …………10分
在中由余弦定理可得，，
即，求得.……………12分
（说明：角平分线定理得到同样得分）
（2）另解：同解法一算出.
在中由余弦定理可得，， ……………10分
在中由余弦定理可得，，
即，求得. ……………12分(说明：本题还有其它解法，阅卷老师根据实际情况参照上述评分标准给分。)
22． (本题满分12分)
解：（1），
当时，
∴，即( ). ……………………………1分
∴()，
又,也满足上式，故数列的通项公式().…………………3分
（说明：学生由，同样得分）.
由，知数列是等比数列，其首项、公比均为，
∴数列的通项公式 …………………………………………………4分
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（2）∵
∴ …………6分
由,得 ……………7分
…………………………………………………8分
…………………………………………………9分
又
不等式
即，
即（）恒成立.…………………………………10分
方法一：设（），
当时，恒成立，则满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时，由于对称轴,则在上单调递减，
恒成立，则满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是. ……………………………………………12分
方法二：也即（）恒成立，
令．则
,
由，单调递增且大于0，
∴单调递增，
当时，，且，故，
∴实数λ的取值范围是 ……………………………………………12分
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