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期中检测卷
时间：120分钟 满分：120分
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝ C．y＝－2x－1 D.＝2
2．若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
3．如图，点A是反比例函数y＝(x>0)图象上一点，AB垂直于x轴，垂足为点B，AC垂直于y轴，垂足为点C.若矩形ABOC的面积为5，则k的值为( )
A．5 B．2.5 C. D．10
第3题图 第5题图 第7题图
4．反比例函数y＝－的图象上有P1(x1，－2)，P2(x2，－3)两点，则x1与x2的大小关系是( )
A．x1＞x2 B．x1＝x2 C．x1＜x2 D．不确定
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4，则BC的长是( )
A．8 B．10 C．11 D．12
6．在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为( )
A．15m B.m C．60m D．24m
7．如图，E是▱ABCD的边BC的延长线上一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形( )
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
8．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( )
A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺
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第8题图 第9题图 第12题图
9．如图，双曲线y＝与直线y＝－x交于A，B两点，且A(－2，m)，则点B的坐标是( )
A．(2，－1) B．(1，－2) C. D.
10．如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中是位似图形的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．函数y＝与y＝－ax2＋a(a≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
12．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
13．如图，在△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，EF∥BC，＝，△CEF的面积为2，则△EBC的面积为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
第13题图 第14题图 第16题图
14．如图，已知函数y＝和函数y＝x＋1的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，2)，以下结论：①反比例函数的图象一定过点(－1，－4)；②当x>2时，x＋1>；③点B的坐标是(－4，－1)；④S△OCD＝1，其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )
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16．如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点(不与端点A，B重合)，作CD⊥OB于点D.若点C，D都在双曲线y＝(k＞0，x＞0)上，则k的值为( )
A．25 B．18 C．9 D．9
二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上)
17．反比例函数y＝的图象经过点(2，3)，则k＝________.
18．如图，甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为________米．
第18题图 第19题图
19．如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点……依此类推，若△ABC的面积为1，则△A3B3C3的面积为________，△AnBnCn的面积为________．
三、解答题(本大题有7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，直线l经过点A(0，－1)，且与双曲线y＝交于点B(2，1)．
(1)求双曲线及直线l的解析式；
(2)已知P(a－1，a)在双曲线上，求P点的坐标．
21．(9分)如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为 1∶2；
(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．
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22．(9分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E是AB上一点，且DE⊥CE.
(1)求证：△ADE∽△BEC；
(2)若AD＝1，DE＝，BC＝2，求AB的长．
23．(9分)嘉琪同学家的饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……重复上述程序(如图所示)．根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)写出饮水机水温的下降过程中y与x的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若嘉淇同学上午八点将饮水机通电开机后即外出散步，预计九点回到家中，回到家时，他能喝到不低于50℃的水吗？
24．(10分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.动点M从点B出发，在BA边上以3cm/s的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以2cm/s的速度向点B运动，运动时间为ts(0＜t＜)，连接MN.
(1)若△BMN与△ABC相似，求t的值；
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(2)连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
25．(11分)如图，已知直线y＝ax＋b与双曲线y＝(x＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(A与B不重合)，直线AB与x轴交于P(x0，0)，与y轴交于点C.
(1)若A，B两点的坐标分别为(1，3)，(3，y2)，求点P的坐标；
(2)若b＝y1＋1，点P的坐标为(6，0)，且AB＝BP，求A，B两点的坐标．
26．(12分)在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.
(1)若四边形ABCD为正方形．
①如图①，请直接写出AE与DF的数量关系______________；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF
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的数量关系并说明理由；
(2)如图③，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其他条件都不变，将△EBF绕点B逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图③中画出草图，并求出AE′与DF′的数量关系．
参考答案与解析
1．C 2.A 3.A 4.A 5.D 6.A 7.B
8．B 9.A 10.C 11.D 12.A 13.B 14.D
15．D 解析：∵DH垂直平分AC，AC＝4，∴DC＝DA＝y，CH＝2.∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC.又∵∠DHC＝∠B＝90°，∴△DCH∽△CAB，∴＝，∴＝，∴y＝.∵AB＜AC，∴x
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＜4，∴图象是D.
16．C 解析：过点A作AE⊥OB于点E.∵△OAB是边长为10的正三角形，∴点A的坐标为(10，0)，点B的坐标为(5，5)，点E的坐标为.∵CD⊥OB，AE⊥OB，∴CD∥AE，∴＝.设＝＝n(0＜n＜1)，∴点D的坐标为，点C的坐标为(5＋5n，5－5n)．∵点C，D均在反比例函数y＝图象上，∴解得
17．7 18.9
19. 解析：∵点A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，∴A1B1，A1C1，B1C1是△ABC的中位线，∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为.同理可知△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为，∴△A2B2C2∽△ABC，且相似比为.依此类推△AnBnCn∽△ABC，且相似比为.∵△ABC的面积为1，∴△A3B3C3的面积为＝，△AnBnCn的面积为＝.
20．解：(1)将点B(2，1)的坐标代入双曲线解析式得m＝2，则双曲线的解析式为y＝.(2分)设直线l的解析式为y＝kx＋b，将点A与点B的坐标代入得解得则直线l的解析式为y＝x－1.(4分)
(2)将P(a－1，a)代入双曲线解析式得a(a－1)＝2，整理得a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1，(7分)则P点的坐标为(1，2)或(－2，－1)．(8分)
21．解：(1)如图所示．(4分)
(2)AA′＝CC′＝2.在Rt△OA′C′中，OA′＝OC′＝2，∴A′C′＝2；同理可得AC＝4.(7分)∴四边形AA′C′C的周长为2＋2＋2＋4＝4＋6.(9分)
22．(1)证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°.∵DE⊥CE，∴∠DEC＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°.(3分)∵∠AED＋∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC.(5分)
(2)解：在Rt△ADE中，AE＝＝.(6分)∵△ADE∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝，∴AB＝AE＋BE＝2.(9分)
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23．解：(1)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为y＝，依据题意，得100＝，即m＝800，故y＝.(3分)
(2)当y＝20时，20＝，解得t＝40.(6分)
(3)∵60－40＝20≥8，∴当x＝20时，y＝＝40.∵40＜50，∴他不能喝到不低于50℃的水．(9分)
24．解：(1)由题意知BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴BN＝(8－2t)cm.在Rt△ABC中，BA＝＝＝10(cm)．当△BMN∽△BAC时，＝，∴＝，解得t＝；(3分)当△BMN∽△BCA时，＝，∴＝，解得t＝.∴当△BMN与△ABC相似时，t的值为或.(5分)
(2)过点M作MD⊥CB于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴＝＝，即＝＝.∵BM＝3tcm，∴DM＝tcm，BD＝tcm，∴CD＝cm.(7分)∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，∴∠CAN＝∠MCD.∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，∴△CAN∽△DCM，∴＝，∴＝，解得t＝.(10分)
25．解：(1)∵直线y＝ax＋b与双曲线y＝(x＞0)交于A(1，3)，∴k＝1×3＝3，∴双曲线的解析式为y＝.∵B(3，y2)在反比例函数的图象上，∴y2＝＝1，∴点B的坐标为(3，1)．(2分)∵直线y＝ax＋b经过A，B两点，∴解得∴直线的解析式为y＝－x＋4.令y＝0，则x＝4，∴点P的坐标为(4，0)．(4分)
(2)如图，过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，则AD∥x轴，∴＝.由题意知DO＝AE＝y1，AD＝x1，OP＝6，OC＝b＝y1＋1，AB＝BP，∴CD＝OC－OD＝y1＋1－y1＝1，∴＝.∵AB＝BP，∴点B的坐标为.(7分)∵A，B
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两点都是反比例函数图象上的点，∴x1·y1＝·y1，解得x1＝2，代入＝，解得y1＝2，∴点A的坐标为(2，2)，点B的坐标为(4，1)．(11分)
26．解：(1)①DF＝AE(2分)
②DF＝AE.(3分)理由如下：∵△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置，∴∠ABE＝∠DBF.∵＝，＝，∴＝，∴△ABE∽△DBF，∴＝＝，即DF＝AE.(6分)
(2)草图如图所示，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝mAB，∴BD＝＝AB.∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴＝，∴＝＝.(9分)∵△EBF绕点B逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，∴∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，∴＝＝，∴△ABE′∽△DBF′，∴＝＝，即DF′＝AE′.(12分)
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