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本章知识结构
本章测试
1.下列四个命题：其中正确的有（ ）
①=｛0｝ ②空集没有子集 ③任何一个集合必有两个或两个以上的子集 ④空集是任何一个集合的子集.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
思路解析：是不含有任何元素的集合，而｛0｝是含有元素0的集合，所以①是错误的；任何一个集合都是它本身的子集，空集只有它本身一个子集，同时空集也是任何一个集合的子集，因此②③是错误的，④是正确的.故答案应选B.
答案：B
2.在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）
A.f（x）=x-1，g（x）=
B.f（x）=｜x+1｜，g（x）=
C.f（x）=x+1，x∈R，g（x）=x+1，x∈Z
D.f（x）=x，g（x）=（）2
思路解析：选项A、C、D两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，应选B.
答案：B
3.已知M=｛x2，2x-1，-x-1｝，N=｛x2+1，-3，x+1｝，且M∩N=｛0，-3｝，则x的值为（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
思路解析：∵M∩N=｛0，-3｝，可知N中有元素0，由于x2+1≠0，故只能是x+1=0，解得x=-1，此时M={1,-3,0},N={2,-3,0}，符合题意.应选A.
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答案：A
4.y=f（x）（x∈R）是奇函数，则它的图象必经过点（ ）
A.（-a，-f（-a）） B.（a，-f（a））
C.（a，f（1a）） D.（-a，-f（a））
思路解析：由函数解析式的含义可知函数f（x）的图象经过点（a，f（a）），又因为y=f（x）（x∈R）是奇函数，所以有f（-a）=-f（a），即函数图象经过点 （-a，-f（a）），应选D.
答案：D
5.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06×（0.5·［m］+1）（元）决定，其中m＞0，［m］是小于或等于m的最大整数，则从甲地到乙地通话时间为6.5分钟的电话费为（ ）
A.3.71元 B.3.97元 C.4.24元 D.4.77元
思路解析：根据题意知m=6.5，［m］=6，
所以f（m）=1.06×（0.5·［m］+1）=1.06×4=4.24元，应选C.
答案：C
6.已知集合M、P、S，满足M∪P=M∪S，则（ ）
A.P=S B.M∩P=M∩S
C.M∩（P∪S）=M∩（P∩S） D.（S∪M）∩P=（P∪M）∩S
思路解析：特例法，举M={1,2}，P={3}，S={1,2,3},满足M∪P=M∪S，而P≠S，M∩P≠M∩S，M∩（P∪S）={1,2}，M∩（P∩S）=，所以A、B、C均是错误的，故正确答案应该为D.
答案：D
7.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6≤0},则P∩Q等于( )
A.{2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}
思路解析：P=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝,Q=｛-3,2｝,P∩Q=｛2｝.
答案：A
8.函数y=ax2+a与y=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
思路解析：从A中的反比例图象可以看出a>0，此时y=ax2+a应是开口向上，且与x轴没有交点的抛物线，故A、B、C均是错误的；而对于D可知a＜0，y=ax2+a应是开口向下，且与x轴没有交点的抛物线，所以D是正确的.
答案：D
9.已知集合M=｛x｜x≥2或x≤-1｝，N=｛x｜x—a≤0｝，若M∩N≠，则a的取值范围是（ ）
A.（-∞，2） B.（-1，+∞） C.(-∞，1) D(-∞，1]
思路解析：由题意知M=｛x｜-1＜x＜2=，N={x｜x≤-a}，若M∩N≠，根据数轴，可得-a>-1即a＜1，故选C.
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答案：C
10.函数y=的定义域为( )
A.（-1， 2） B.（-1，1）∪（1，2）
C.(-∞，1)∪（1，+∞） D.［-1，1］∪（1，2]
思路解析：要使函数有意义，则解得（-1，1）∪（1，2）.
答案：B
11.函数f（x）=-x2+2（a-1）x+3在（-∞，4）上是增函数，则a的范围是（ ）
A.a≥5 B.a≥3 C.a≤3 D.a≤-5
思路解析：本题作出函数f（x）=-x2+2（a-1）x+3的图象，可知此函数图象的对称轴是x=a-1，由图象可知，当a-1≥4，即当a≥5时，函数f（x）=-x2+2（a-1）x+2在（-∞，4）上是增函数．
答案：A
12.已知集合A=｛x｜y=x2-2x-3，x∈R｝，B=｛y｜y=x2-2x+2，x∈R｝，则A∩B=_________.
思路解析：集合A=｛x｜y=x2-2x-3，x∈R｝表示函数y=x2?x-3的定义域，所以A=R；而B=｛y｜y=x2-2x+2，x∈R｝表示函数y=x2-2x+2的值域，应有B=｛y｜y≥1｝，因此A∩B=｛y｜y≥1｝.
答案：｛y｜y≥1｝
13.如右图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____________，这个函数的定义域为___________________.
思路解析：围成的几何体是一个长方体，它的底面积为(a-2x)2,高为x，所以体积V=x(a-2x)2，而x满足a-2x＞0且x＞0，所以0＜x＜.
答案：V=x（a-2x）2 {x|0＜x＜
14.给定映射f：（x，y）→（，x+y），在映射f下象（2，12）的原象是（a，b），则函数f（x）=ax2+bx的顶点坐标是____________________.
思路解析：根据题意有a=2，a+b=12，解得a=4，b=8，
所以函数f(x)=4x2+8x=4(x+1)2-4，其顶点坐标为(-1,-4).
答案：(-1,-4)
15.函数f（x）=x2-2｜x｜的单调减区间是____________________.
思路解析：因为f（-x）=x2-2｜x｜=f（x），所以f(x)是偶函数，我们可先考虑x＞0的情况，当x＞0时，f(x)=x2-2x，函数在(0,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；由于偶函数的图象关于y轴对称，故函数在(-1,0)上为增函数，在(-∞,-1)上为减函数.
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答案：(0,1)和(-∞,-1]
16.设A={x|x2-x-12=0} ，B={x|x2-2ax+b=0}，若B≠,且A∪B=A,求a、b的值.
思路解析：分别将每一个集合化简，再利用集合的运算进行求解.
解：∵A={x|x2-x-12=0}={-3,4},
若B≠,且A∪B=A，则BA,
当A=B时，a=,b=-12；
当B={-3}时，a=-3,b=9；
当B={4}时，a=4,b=16.
因此，a=,b=-12或A=-3,b=9或 a=4,b=16.
17.设g(x)=则g［g()］=__________________.
解：依题可知g()=ln=-ln2＜0
所以,g［g（）］=g(-ln2)==.
18.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0＜a＜3＝,若x1＜x2,x1+x2=1-a,则（ ）
A.f(x1)＜f(x2) B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)＞f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
思路解析：由f(x)=ax2+2ax+4(0＜a＜3＝，得f(x)为二次函数，且对称轴为x0=-1,
∵x1+x2=1-a,∴=,即x1,x2中点横坐标为,又∵0＜a＜3,∴＞-1.∵x1＜x2,
如右图
∴x1离对称轴的距离小于x2离对称轴的距离，
∴f(x1)＜f(x2).
答案：A
19.快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，各沿箭头方向航行，如右图所示，快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时，已知AC=150千米，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
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思路解析：解决有关函数的应用题，关键在于审清题意，正确列出函数模型.
解：设经过x小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设为y，
y=（0＜x≤）,
可求得当x=3时，y有最小值．
答：经过3小时后，快艇和轮船之间的距离最短.
20.设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求解不等式f（x）+f（x-2）＞1.
思路解析：对抽象不等式，常把常数看成某些变量的函数值，再利用函数的性质去“外层包装”，取出x，化成一元一次或二次不等式求解.
解：由条件可得f（x）+f（x-2）=f［x（x-2）］，1=f（3）．
所以f［x（x-2）］＞f（3），又f（x）是定义在R上的增函数，
所以有x（x-2）＞3，可解得x＞3或x＜-1．
答案：x＞3或x＜-1
21.已知函数f（x）=x+，且f（1）=2.
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在［1，2］上的单调性，并求函数f（x）在［1，2］上的最值.
思路解析：判断函数的奇偶性，首先观察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 f（-x）与f(x)的关系；而证明在某一区间上的单调性，常用定义进行证明，由于单调函数在闭区间内肯定有最值，可根据单调性求出最值.
解：（1）f（1）=1+m=2，解得m=1．
（2）f（x）=x+，f（-x）=-x-=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）设x1、x2是［1，2］上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1+-（x2+）=x1-x2+（-）=x1-x2-=（x1-x2）．
当1≤x1＜x2≤2时，x1x2＞1，x1x2-1＞0，从而f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=+x在［1，2］上为增函数，其最小值为 f（1）=2，最大值为f（2）=.
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