1
11.2.3 直角三角形的性质
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共 15 小题）
1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，则∠A=（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
2．直角三角形的一个锐角∠A 是另一个锐角∠B 的 3 倍，那么∠B 的度数是（ ）
A．22.5° B．45° C．67.5° D．135°
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．直角三角形中，已知两边长为 3 和 4，则第三边长为 5
B．三角形是直角三角形，三角形的三边为 a，b，c 则满足 a2﹣b2=c2
C．以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形
D．△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC 是直角三角形
4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
5．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为 AB 边上的高，∠ABC 的平分线 BE 分别交 CD、CA
于点 F、E，则下列结论正确的有（ ）
①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC，③∠A=∠DCB；④∠CFE 与∠CBF 互余．
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
6．如图所示，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A 的度数为（ ）
A．65° B．35° C．55° D．45°
7．如图，在三角形 ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，则图中小于平角的角的个数为（ ）2
A．5 B．6 C．7 D．8
8．在△ABC 中，满足下列条件：①∠A=60°，∠C=30°；②∠A+∠B=∠C；③∠A：∠B：∠
C=3：4：5；④∠A=90°﹣∠C，能确定△ABC 是直角三角形的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
10．Rt△ABC 中，∠ACB=90°，若∠ACD=50°，则与∠BCD 相邻的外角度数是（ ）
A．130° B．140° C．30° D．40°
11．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC 的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
12．如图，在△ABC 中，∠ACB=105°，∠B=30°，∠ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D，则 AD：
BD=（ ）
A． B． C．1：2 D．
13．如图，∠AOB=40°，OC 平分∠AOB，直尺与 OC 垂直，则∠1 等于（ ）
A．60° B．70° C．50° D．40°3
14．在长方形台球桌上打台球时，球的反射角∠1 等于入射角∠2，如图所示．如果∠3=30°，
为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1 的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
15．下列说法错误的是（ ）
A．直角三角板的两个锐角互余
B．经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
C．如果两个角互补，那么，这两个角一定都是直角
D．平行于同一条直线的两条直线平行
二．填空题（共 6 小题）
16．直角三角形的一个锐角为 42°，另一个锐角为 ．
17．如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF 的度数是 ，∠
FBC 的度数是 ．
18．直角△ABC 中，∠A﹣∠B=20°，则∠C 的度数是 ．
19．已知直角三角形的一个锐角为 40°，则它的另一个锐角的度数为 ．
20．一个直角三角形两个锐角的差是 20°，那么这两个锐角分别是 ° 和
°．
21．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的 4 倍多 15°，则两个锐角分别
为 ．
三．解答题（共 4 小题）
22．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高．4
（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？
（2）∠1 和∠A 有什么关系？∠2 和∠A 呢？还有哪些锐角相等．
23．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=2∠B，求出∠A，∠B 的度数．
24．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，F 是 AC 延长线上一点，FD⊥AB，垂足为 D，FD 与 BC
相交于点 E，∠BED=55°．求∠A 的度数．
25．已知，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD=∠B．
（1）如图 1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ADC 沿 CD 所在直线翻折，A 点落在 BD 边所在直线上，记为 A′点．
①如图 2，若∠B=34°，求∠A′CB 的度数；
②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB 的度数（用含 n 的代数式表示）．5
6
参考答案与试题解析
一．选择题（共 15 小题）
1．
解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，
∴∠A=90°﹣35°=55°，
故选：B．
2．
解：
设∠B=x°，则∠A=3x°，
由直角三角形的性质可得∠A+∠B=90°，
∴x+3x=90，解得 x=22.5，
∴∠B=22.5°，
故选：A．
3．
解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为 3 和 4，则斜边的边长为 5”，故错误；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为 a，b，斜边为 c 则满足 a2+b2=c2”，
故错误；
C、比如：边长分别为 3，4，5，有 32+42=25=52，能构成直角三角形，故错误；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为 15°，75°，90°，因而是直角三角形，故
正确．
故选：D．
4．
解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60°，
∴另一个锐角的度数是 90°﹣60°=30°．
故选：D．7
5．
解：如图所示，
①∵BE 平分∠ABC，
∴∠5=∠6，
∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠4，
∵∠1=∠A+∠6，∠2=∠4+∠5，
∠1=∠2，
故∠CFE=∠CEF，所以①正确；
②若∠FCB=∠FBC，即∠4=∠5，
由（1）可知：∠A=∠4，
∴∠A=∠5=∠6，
∵∠A+∠5+∠6=180°，
∴∠A=30°，
即只有当∠A=30°时，∠FCB=∠FBC 而已知没有这个条件，故②错误；
③∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠4，
即∠A=∠DCB，故③正确；
④∵∠1=∠2，∠1+∠5=90°，
∴∠2+∠5=90°，
即：∠CFE 与∠CBF 互余，故④正确．
故选：A．
6．
解：∵AB⊥BD，AC⊥CD，8
∴∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°，
又∵∠AEB=∠CED，
∴∠A=∠D=35°．
故选：B．
7．
解：小于平角的角有：∠A、∠B、∠ACB、∠ACD、∠BCD、∠ADC、∠BDC 共 7 个．
故选：C．
8．
解：①∠A=60°，∠C=30°时，∠B=180°﹣60°﹣30°=90°，是直角三角形；
②∠A+∠B=∠C 时，∠C=90°，是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C=3：4：5 时，∠C=180°× ＜90°，是锐角三角形；
④∠A=90°﹣∠C 时，∠A+∠C=90°，∠B=90°，是直角三角形；
综上所述，是直角三角形的有①②④共 3 个．
故选：C．
9．
解：A、等腰三角形，三条高线交点在三角形内或外或某一顶点处，故 A 错误；
B、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故 B 错误；
C、因为已知无法确定其两腰相等，而只要是直角三角形就行了，不一定非得是等腰直角三
角形，故 C 错误；
D、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是
直角三角形，故 D 正确．
故选：D．
10．
解：∵∠ACB=90°，∠ACD=50°，9
∴∠BCD=40°，
则与∠BCD 相邻的外角度数是 180°﹣40°=140°，
故选：B．
11．
解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，
∴∠COA=90°﹣20°=70°，
∴∠BOC=90°+70°=160°．
故选：B．
12．
解：作 DM⊥AC 于 M，DN⊥BC 于 N，
∵∠ACB=105°，∠B=30°，
∴∠A=180°﹣105°﹣30°=45°，
∵CD 是∠ACB 的平分线，DM⊥AC，DN⊥BC，
∴DM=DN，
在 Rt△ADM 中，AD= = DM，
在 Rt△DNB 中，BD= =2DN，
∴AD：BD= ：2，
故选：A．
13．10
解：如图所示：
根据题意得：∠1=∠2=∠3，
∵OC 平分∠AOB，
∴∠AOC= ∠AOB=20°，
∴∠3=90°﹣20°=70°，
∴∠1=70°；
故选：B．
14．
解：∵∠3=30°，
∴∠2=90°﹣30°=60°，
∵∠1=∠2=60°．
故选：C．
15．
解：A、直角三角形中的两个锐角互余，所以直角三角板的两个锐角互余，故本选项说法正
确；
B、根据平行公理可知：过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条，故本选项
说法正确；
C、如果两个角互补，那么，这两个角和一定是 180°，但是它们不一定都是直角，故本选
项说法错误；
D、根据平行线的递等性知平行于同一条直线的两条直线平行．故本选项说法正确；
故选：C．
二．填空题（共 6 小题）11
16．
解：∵直角三角形的两个锐角互余，
∴当直角三角形的一个锐角为 42°时，另一个锐角为 90°﹣42°=48°，
故答案为：48°．
17．
解：在 Rt△ABF 中，∠A=70，CE，BF 是两条高，
∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，
又∵∠BCE=30°，
∴∠ACB=50°，
∴在 Rt△BCF 中∠FBC=40°．
故答案为：20°，40°．
18．
解：若∠A 是直角时，
∵△ABC 是直角三角形，∠A﹣∠B=20°，
∴∠B=70°，
∴∠C=20°，
若∠C 是直角，∠A=55°，∠B=35°，满足题意，
即∠C 的度数是 20°或 90°，
故答案为 20°或 90°．
19．
解：∵直角三角形的两个锐角互余，
而一个锐角为 40°，
∴另一个锐角的度数为 90°﹣40°=50°．
故答案为 50°
20．
解：两个锐角和是 90 度，12
所以一个直角三角形两个锐角的差为 20°，
则这两个锐角的度数分别是 55°，35°．
故答案为：55，35．
21．
解：设另一个锐角是 x，则这个锐角是 4x+15°，
根据题意得，x+4x+15°=90°，
解得 x=15°，
4x+15°=4×15°+15°=75°，
所以，这两个锐角分别为 75°、15°．
故答案为：75°、15°．
三．解答题（共 4 小题）
22．
解：（1）∠ACB=90°，∠ADC=90°，
∴图中有 3 个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC．
（2）∵∠ADC=90°，
∴∠1+∠A=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠A，∠1=∠B．
23．
解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°；
∵∠A=2∠B，
∴2∠B+∠B=90°，
∴3∠B=90°，
解得∠B=30°，
∴∠A=90°﹣30°=60°，
综上，可得13
∠A=60°，∠B=30°．
24．
解：∵FD⊥AB 于 D，
∴∠BED+∠B=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BED=55°．
25．
解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=34°，
由（1）知，∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=56°，
由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°，
∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°；
②当∠B=n°时，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°，
∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°．
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