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11.2.2 三角形的外角性质
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共 12 小题）
1．一天，爸爸带小明到建筑工地玩，看见一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考
考你，这个人字架的夹角∠1 等于 130°，你知道∠3 比∠2 大多少吗？”小明马上得到了正
确的答案，他的答案是（ ）
A．50° B．65° C．90° D．130°
2．如图，在△ABC 中，∠C=80°，D 为 AC 上可移动的点，则 x 可能是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．25
3．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的 2 倍，且等于与它不相邻的一个内角的 2
倍，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．如图，∠x 的两边被一直线截得∠α，∠β，则 x 用 α，β 表示的式子是（ ）
A．β﹣α B．α﹣β C．180°﹣α﹣β D．180°﹣α+β
5．如图所示，下列四个判断中，正确的是（ ）2
A．∠ACE 是△ABC 的外角 B．∠ECD 是△ABC 的外角
C．∠DCF 是△ABC 的外角 D．∠ACD 是△ABC 的外角
6．三角形的三个外角之比为 2：2：3，则此三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
7．如图，∠1，∠2，∠3 是△ABC 互不相等的三个外角，则∠1+∠2+∠3 的大小为（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
8．如图，船从 A 处出发准备开往正北方向 M 处，由于一开始就偏离航线 AM15°（即∠
A=15°），航线到 B 处才发现，立即改变航向，并想在航行相同航程后（BM=BA）到达目的
地 M 处，则应以怎样的角度航行即∠CBM 等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=55°，点 D 是 AB 延长线上的一点．∠CBD 的度
数是（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=65°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，
折痕为 BD，则∠A′DC=（ ）
A．40° B．30° C．25° D．20°3
11．如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠
ACP=50°，则∠A+∠P=（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
12．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则 α 的度数（ ）
A．75° B．135° C．120° D．105°
二．填空题（共 8 小题）
13．△ABC 的三个外角之比为 3：4：5，则最大内角为 ．
14．△ABC 中，∠A=32°，∠B=76°，则与∠C 相邻的外角是 °．
15 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， D 是 边 BC 延 长 线 上 的 一 点 ， ∠ B=45° ， ∠ A=75° ， 则 ∠
ACD= ．
16．在△ABC 中，∠C 比∠A+∠B 还大 30°，则∠C 的外角为 度，这个三角形是
三角形．
17．如图，x 的值是 ．
18．如图，△ABC 中，∠C=40°，AD 是∠CAB 的平分线，BD 是△ABC 的外角平分线，AD 与 D
交于点 D，那么∠D= °．4
19．如图，△ABC 中，∠A=60°，BM、CM 分别是内角∠ABC、∠ACB 的角平分线，BN、CN 是
外角的平分线，则∠M﹣∠N= 度．
20．将一副三角板如图叠放，则图中∠α 的度数为 ．
三．解答题（共 5 小题）
21．如图，已知在△ABC 中，D 点在 AC 上，E 点在 BC 的延长线上．求证：∠ADB＞∠CDE．
22．感知：如图①，△ABC 是锐角三角形，△ABC 的外角∠ACD 的平分线与边 AC 上的高 BE
的延长线交于点 F，若∠ABC=45°，∠BAC=65°，求∠F 的度数：5
探究：在图①中，若∠ACB=α，其他条件不变，求∠F 的度数（用含 α 的式子表示）；
应用：如图②，在△ABC 中，∠ACB 是钝角，△ABC 的外角∠BCD 的平分线与边 AC 上的高 BE
交于点 F，若∠ACB=α，则 BE 与 CF 相交所成的角的大小是 （用含 α 的式子表
示）．
23．某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠
BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
24．在△ABC 中，∠B，∠C 的平分线交于点 O，D 是外角与内角平分线交点，E 是外角平分
线交点，若∠BOC=120°，求∠D 的度数．6
25．如图，在△ABC 中，BD、CD 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，BP、CP 分分别是∠ABC、∠
ACB 的外角平分线．
（1）当∠A=40°时，分别求∠D 和∠P 的度数．
（2）当∠A 的大小变化时，试探究∠D+∠P 的度数是否变化．如果不变化，求出∠D+∠P 的
值；如果变化，请说明理由．
参考答案与试题解析
7
一．选择题（共 12 小题）
1．
解：根据题意，∠3﹣∠2=180°﹣∠1，
且∠1=130°，
即得∠3﹣∠2=50°．
故选：A．
2．
解：根据题意，9x＞∠C=80°，
∴x＞（ ）°，
在△ABD 中，9x＜180°，
∴x＜20°，
因此（ ）°＜x＜20°．
故选：B．
3．
解：设这个外角的度数为 x，则与其相邻的内角为 180°﹣x．
根据题意得，x=2（180°﹣x），
解得 x=120°．
则与其相邻的内角为 60°，
等于与它不相邻的一个内角的 2 倍，
可得这个与其不相邻的内角为 60°；
即得该三角形为等边三角形．
故选：D．
4．
解：∵∠x+∠1=∠β，∠α=∠1，
∴∠x+∠α=∠β，即∠x=∠β﹣∠α．
故选：A．8
5．
解：A、∠ACE 不是△ABC 的外角，原说法错误，故本选项错误；
B、∠ECD 是△ABC 的外角，原说法错误，故本选项错误；
C、∠DCF 是△ABC 的外角，原说法错误，故本选项错误；
D、∠ACD 是△ABC 的外角，原说法正确，故本选项正确；
故选：D．
6．
解：设一个外角是 2x°，那么其他两个外角一定是 2x°，3x°．
根据题意列方程，得 2x°+2x°+3x°=360°，
解得 x=（51 ）°，
则三个外角分别是： 度， 度， 度．
与这三角相邻的三个内角分别是： 度， 度， 度．
因为都是锐角，所以此三角形是锐角三角形．
故选：A．
7．
解：∵∠1，∠2，∠3 是△ABC 互不相等的三个外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故选：D．
8．
解：∵BM=BA，
∴∠A=∠M=15°，
∴∠CBM=∠A+∠M=15°+15°=30°．故选 D．
9．
解：∵∠CBD 是△ABC 的外角，9
∴∠CBD=∠A+∠ACB，
∵∠A=55°，∠ACB=90°，
∴∠CBD=55°+90°=145°，
故选：C．
10．
解：由折叠的性质可知，∠BA′D=∠A=65°，
∵∠ABC=90°，∠A=65°，
∴∠C=25°，
∴∠A′DC=∠BA′D﹣∠C=40°，
故选：A．
11．
解：∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，
∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠BPC=20°，
∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°，
故选：C．
12．
解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠1=45°，∠2=30°，
∴∠α=180°﹣45°﹣30°=105°．
故选：D．10
二．填空题（共 8 小题）
13．
解：∵三角形三个外角度数之比是 3：4：5，
设三个外角分别是 α，β，γ，则 α=360°× =90°，
∴此三角形一定是直角三角形，最大内角为 90°．
故答案为：90°．
14．
解：如图，∵∠1=∠A+∠B，∠A=32°，∠B=76°，
∴∠1=32°+76°=108°，
故答案为：108．
15．
解：∵∠B=45°，∠A=75°，
∴∠ACD=∠B+∠A=45°+75°=120°，
故答案为：120°．
16．
解：由题意∠C=∠A+∠B+30°，
∵∠A+∠B+∠A+∠B+30°=180°，
∴∠A+∠B=75°，
∴∠C=105°，11
∴∠C 的外角是 75°，
∵∠C=105°＞90°，
∴这个三角形是钝角三角形，
故答案为 75，钝角三角形．
17．
解：由三角形的外角的性质可知，x+x+20=x+80，
解得，x=60，
故答案为：60．
18．
解：∵AD 是∠CAB 的平分线，BD 是△ABC 的外角平分线，
∴∠DBE= ∠CBE，∠DAE= ∠CAE，
∴∠D=∠DBE﹣∠DAE= （∠CBE﹣∠CAE）= ∠C=20°，
故答案为：20．
19．
解：∵BM、CM 分别是内角∠ABC、∠ACB 的角平分线，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠M=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）=90°+ ∠A；
∵BN、CN 是外角的平分线，
∴∠N=90°﹣ ，
∴∠M﹣∠N=∠A=60°，
故答案为：60
20．
解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°，
故答案为：15°．
12
三．解答题（共 5 小题）
21．
证明：∵∠DCB 是△DCE 的一个外角（外角定义）
∴∠DCB＞∠CDE（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠ADB 是△BCD 的一个外角（外角定义）
∴∠ADB＞∠DCB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠ADB＞∠CDE（不等式的性质）．
22．
解：感知：∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°，
由角平分线的性质，得
∠ACF= ∠ACD=55°，
由三角形内角和定理，得
∠F=180°﹣90°﹣∠ECF=90°﹣55°=35°．
探究：∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°，
由角平分线的性质，得
∠ACF= ∠ACD=55°，
由外角的性质，得
∠F=∠BEC﹣∠ECF=90°﹣55°=35°．
应用：由补角的性质，得
∠BCD=180°﹣∠ACB=180°﹣α，
由角平分线的性质，得
∠ECF= ∠BCE=90°﹣ α，
由外角的性质，得
∠CFE=90°﹣∠ECF= α，
由补角的性质，得
∠BFC=180°﹣ α，
综上所述：BE 与 CF 相交所成的角的大小是13
故答案为： α 或 180°﹣ α．
23．
解：如图，连接 AD 并延长，
∴∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，
∵∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE，
=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，
=∠B+∠BAC+∠C，
=32°+90°+21°，
=143°，
∵143°≠145°，
∴这个零件不合格．
24．
解：∵∠BOC=120°，
∴∠OBC+∠OCB=60°，
∵∠B，∠C 的平分线交于点 O，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠A=60°，
∵D 是外角与内角平分线交点，E 是外角平分线交点，
∴∠DCH= ∠ACH，∠DBC= ∠ABC，
∴∠D=∠DCH﹣∠DBC= ×（∠ACH﹣∠ABC）=30°．14
25．
解：（1）在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∵BD、CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A）=90°﹣ ∠A，
在△BCD 中，
∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠DCB）
=180°﹣（90°﹣ ∠A）
=90°+ ∠A
=90°+20°
=110°；
∵BP、CP 分别是∠ABC 与∠ACB 的外角平分线，
∴∠CBP= ∠CBE，∠BCP= ∠BCF，
∴∠CBP+∠BCP
= ∠CBE+ ∠BCF
= （∠CBE+∠BCF）
= （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
= （180°+∠A），
∴∠BPC=180°﹣（∠CBP+∠BCP）
=180°﹣ （180°+∠A）15
=90°﹣ ∠A
=90°﹣ ×40°
=80°．
（2）∠D+∠P 的值不变．
∵由（1）知∠D=90°+ ∠A，∠P=90°﹣ ∠A，
∴∠D+∠P=180°．
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