1
11.3 多边形及其内角和
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共 12 小题）
1．若多边形的一个外角是 30°，则该正多边形的边数是（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
2．将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（ ）
A．3 个 B．4 个
C．5 个 D．3 个或 4 个或 5 个
3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n•90°，则 n=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．在四边形的内角中，直角最多可以有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．正十边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．135° C．140° D．144°
6．如图，在五边形 ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P=
（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
7．已知一个多边形的内角和为 1080°，则这个多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
8．把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为 1440°，请问这个多边形原来的边
数为（ ）2
A．9 B．10 C．11 D．以上都有可能
9．如图，△ABC 中，∠C=80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（ ）
A．360° B．260° C．180° D．140°
10．一个多边形的边数由原来的 3 增加到 n 时（n＞3，且 n 为正整数），它的外角和（ ）
A．增加（n﹣2）×180° B．减小（n﹣2）×180° C．增加（n﹣1）×180° D．没有
改变
11．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是正方形
C．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且相互平分的四边形是矩形
12．如图是由射线 AB，BC，CD，DE，EA 组成的平面图形，若∠1+∠2+∠3+∠4=225°，ED∥
AB，则∠1 的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
二．填空题（共 6 小题）
13．若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 ．
14．如图，在“鱼形”图案中，已知∠EOD=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．3
15．如果一个正多边形的内角是 140°，则它是 边形．
16．四边形 ABCD 中，∠D=80°，∠A、∠B、∠C 的度数之比为 3：5：6，则其中的最大角为 ，
它的度数是 °．
17．一块四边形绿化园地，四角向外都做有半径为 6 的扇形喷水池（阴影部分），则这四个
喷水池面积和为 （结果保留 π）．
18．已知一个 n 边形，除去一个内角α 外，其余内角和等于 1500°，则这个内角α= °．
三．解答题（共 4 小题）
19．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
（1）求这个多边形是几边形；
（2）求这个多边形的每一个内角的度数．
20．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=100°，∠BCD=70°，点 M，N 分别在 AB，BC 上，将△BMN
沿 MN 翻折，得△FMN，若 MF∥AD，FN∥DC，求∠B 的度数．4
21．请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．
（1）如图 1，P 是△ABC 的内角∠ABC 与∠ACB 的平分线 BP 和 CP 的交点，若∠A=50°，则∠
BPC= °；
（2）如图 2，P 是△ABC 的外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线 BP 和 CP 的交点，直接写出∠BPC
与∠A 的数量关系 ．
（3）如图 3，P 是四边形 ABCD 的外角∠EBC 与外角∠FCB 的平分线 BP 和 CP 的交点，设∠A+
∠D=α．
①写出∠BPC 与 α 的数量关系；
②根据 α 的取值范围，直接判断△BPC 的形状（按角分类）
22．探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一
个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？5
已知：如图 1，∠FDC 与∠ECD 分别为△ADC 的两个外角，试探究∠A 与∠FDC+∠ECD 的数量
关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图 2，在△ADC 中，DP、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD，试探究∠P 与∠A 的数量关
系．
探究三：若将△ADC 改为任意四边形 ABCD 呢？
已知：如图 3，在四边形 ABCD 中，DP、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD，试利用上述结论探究∠
P 与∠A+∠B 的数量关系．
6
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1．
解：因为 360÷30=12，
则正多边形的边数为 12．
故选：B．
2．
解：正方形桌面砍下一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，如下图所示：
因而还剩下 3 个或 4 个或 5 个角．
故选：D．
3．
解：连接 BE，GE
．
∵∠1 是△ADH 的外角，
∴∠1=∠A+∠D，
∵∠2 是△JHG 的外角，
∴∠1+∠G=∠2，
∴在四边形 BEFJ 中，∠EBJ+∠BJF+∠EFJ+∠BEF=360°…①，
在△BCE 中，∠EBC+∠C+∠BEC=180°…②，
①+②得，∠BEG+∠BGF+∠F+∠BEF+∠EBC+∠C+∠BEC=360°+180°=540°，7
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°，
∴n= =6．
∴n=6．
故选：B．
4．
解：∵四边形的内角和为 360°，
又∵360°÷90°=4，
∴在四边形的内角中，直角最多可以有 4 个．
故选：D．
5．
解：∵一个十边形的每个外角都相等，
∴十边形的一个外角为 360÷10=36°．
∴每个内角的度数为 180°﹣36°=144°；
故选：D．
6．
解：∵在五边形 ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠ECD+∠BCD=240°，
又∵DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD=120°，
∴△CDP 中，∠P=180°﹣（∠PDC+∠PCD）=180°﹣120°=60°．
故选：C．
8
7．
解：根据 n 边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180=1080，
解得 n=8．
∴这个多边形的边数是 8．
故选：B．
8．
解：设多边形截去一个角的边数为 n，
则（n﹣2）•180°=1440°，
解得 n=10，
∵截去一个角后边上可以增加 1，不变，减少 1，
∴原多边形的边数是 9 或 10 或 11．
故选：D．
9．
解：∵∠1、∠2 是△CDE 的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=80°+180°=260°．
故选：B．
10．
解：∵多边形的外角和等于 360°，与边数无关，
∴凸多边形的边数由 3 增加到 n 时，其外角度数的和还是 360°，保持不变．
故选：D．
9
11．
解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；
B、四条边相等的四边形是菱形，故错误；
C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；
D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；
故选：D．
12．
解：如图，由多边形的外角和等于 360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4=225°，
∴∠5=135°，
∴∠AED=45°，
又∵ED∥AB，
∴∠1=∠AED=45°，
故选：B．
二．填空题（共 6 小题）
13．
解：设多边形的边数为 n，根据题意，得
（n﹣2）•180=3×360，
解得 n=8．
则这个多边形的边数是 8．
14．
解：根据三角形内角和等于 180°，五边形内角和等于 540°得，10
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°+540°﹣∠EOD﹣∠FOC．
又∵∠EOD=65°，∠FOC=∠EOD
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°+540°﹣65°﹣65°=590°．
故答案为：590°．
15．
解：设正边形的边数是 n，由内角和公式，得
（n﹣2）×180°=n×140°．
解得 n=9，
故答案为：9．
16．
解：设∠A=3x，则∠B=25x，∠C=6x
因为四边形 ABCD 的内角和为 360°，∠D=80°，
即：3x+5x+6x=360°﹣80°
x=20°，
∴∠C=6x=120°
所以其中的最大角为∠C，它的度数是 120°．
故答案为：∠C，120．
17．
解：∵四边形的内角和等于 360°，
∴这四个喷水池的面积为：4×π×62﹣ =108π．
故答案为：108π；
18．
解：∵1500°÷180°=8…60°，
∴去掉的内角为 180°﹣60°=120°，
故答案为：120．11
三．解答题（共 4 小题）
19．
解：设内角为 x，则外角为 x，
由题意得，x+ x=180°，
解得，x=120°，
x=60°，
这个多边形的边数为： =6，
答：这个多边形是六边形；
（2）设内角为 x，则外角为 x，
由题意得，x+ x=180°，
解得，x=120°，
答：这个多边形的每一个内角的度数是 120 度．
内角和=（5﹣2）×180°=540°．
20．
解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，
∵△BMN 沿 MN 翻折得△FMN，
∴∠BMN= ∠BMF= ×100°=50°，
∠BNM= ∠BNF= ×70°=35°，
在△BMN 中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．
21．
解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵BP、CP 是角平分线，12
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，
∴∠PBC+∠BCP=65°，
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，
∴∠BPC=115°．
（2）∵BP，CP 分别是外角∠DBC，∠ECB 的平分线，
∴∠PBC+∠PCB= （∠DBC+∠ECB）= （180°﹣∠A），
在△PBC 中，∠P=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°﹣ ∠A．
（3）如图 3，
①延长 BA、CD 于 Q，
则∠P=90°﹣ ∠Q，
∴∠Q=180°﹣2∠P，
∴∠BAD+∠CDA
=180°+∠Q
=180°+180°﹣2∠P
=360°﹣2∠P，
∴∠P=180°﹣ α；
②当 0＜α＜180 时，△BPC 是钝角三角形，
当 α=180 时，△BPC 是直角三角形，
当 α＞180 时，△BPC 是鋭角三角形．
故答案为：115；∠BPC=90°﹣ ∠A．
13
22．
解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；
探究二：∵DP、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠ACD
=180°﹣ （∠ADC+∠ACD）
=180°﹣ （180°﹣∠A）
=90°+ ∠A；
探究三：∵DP、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠BCD
=180°﹣ （∠ADC+∠BCD）
=180°﹣ （360°﹣∠A﹣∠B）
= （∠A+∠B）．
微信/支付宝扫码支付