九年级数学上册第四章《图形的相似》4.7相似三角形的性质第1课时相似三角形中特殊线段的性质同步练习（新版）北师大版.doc

‎7　第1课时　相似三角形中特殊线段的性质 知识点　对应高、对应角平分线、对应中线的比 ‎1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应角平分线的比为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．如图4－7－1，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为(　　)‎ 图4－7－1‎ A. B. C. D. ‎3．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD＝‎8 cm，A′D′＝‎3 cm，则△ABC与△A′B′C′的对应高的比为________．‎ ‎4．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知＝，B′D′＝4，则BD的长是________．‎ 10‎ ‎5．如图4－7－2是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽‎40 mm，焦距是‎60 mm，求所拍摄的‎2 m外景物的宽CD.‎ 图4－7－2‎ ‎6．已知△ABC∽△A′B′C′且相似比为，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为，则△ABC与△A″B″C″的相似比为(　　)‎ A. B. C. D.或 ‎7．如图4－7－3所示，某校宣传栏后面‎2 m处种了一排树，每隔‎2 m一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离‎3 m处，正好看到这排树两端的树干，其余的4棵树均被挡住，那么宣传栏的长为________m．(不计宣传栏的厚度)‎ 图4－7－3　　图4－7－4‎ ‎8．[2016·安顺] 如图4－7－4，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，则EH的长为________．‎ ‎9．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面示意图如图4－7－5所示．其中BA＝CD，BC＝‎20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为‎40 cm，‎8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为‎50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)‎ 10‎ 图4－7－5‎ ‎10．如图4－7－6，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝‎40 cm，AD＝‎30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.‎ ‎(1)求证：＝；‎ ‎(2)求矩形EFGH的周长．‎ 图4－7－6‎ ‎11．如图4－7－7所示，有一侦察员在距敌方‎200 m的A处发现敌人的一座建筑物DE，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为‎40 cm，食指的长约为‎8 cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE的高度吗？请写出你的推理过程．‎ 10‎ 图4－7－7‎ ‎12．一块三角板的一条直角边AB的长为‎1.5 m，面积为‎1.5 m2‎，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两名同学的加工方法如图4－7－8①②所示，请你用学过的知识说明哪名同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)‎ 图4－7－8‎ ‎13．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．‎ ‎(1)如图4－7－9①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；‎ ‎(2)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．‎ 10‎ 图4－7－9‎ 10‎ 详解 ‎1．A ‎2．D　[解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴＝.∵AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，∴＝，解得B′E′＝.‎ ‎3.　4.6‎ ‎5．解：由题意，可知△ABE∽△DCE，‎ ‎∴＝，解得CD＝.‎ 答：所拍摄的2 m外景物的宽CD为 m.‎ ‎6．C　[解析] 设△ABC，△A′B′C′，△A″B″C″的一组对应边的长分别为x，y，z.‎ ‎∵△ABC∽△A′B′C′且相似比为，‎ ‎△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为，‎ ‎∴＝，＝，即x＝，z＝，‎ ‎∴＝，即△ABC与△A″B″C″的相似比为.故选C.‎ ‎7．6　‎ ‎8． 10‎ ‎9．解：如图，过点C作CM∥BA，分别交EF，AD于点N，M，过点C作CP⊥AD，分别交EF，AD于点Q，P.‎ 由题意，得四边形ABCM是平行四边形，‎ ‎∴EN＝AM＝BC＝20 cm，‎ ‎∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．‎ 由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，‎ ‎∴CQ＝32 cm.‎ ‎∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得NF＝24(cm)．‎ ‎∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．‎ 答：横梁EF应为44 cm.‎ ‎10．解：(1)证明：(证法一)∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC.‎ ‎∵AD⊥BC，EF∥GH，∴AM⊥HG，‎ ‎∴＝；‎ ‎(证法二)∵四边形EFGH为矩形，‎ ‎∴EF∥GH，‎ ‎∴△AHG∽△ABC，△AHM∽△ABD，‎ ‎∴＝，＝，∴＝.‎ ‎(2)由(1)得＝.‎ 设HE＝x cm，则HG＝2x cm，‎ ‎∵AD⊥BC，∴DM＝HE，‎ ‎∴AM＝AD－DM＝AD－HE＝(30－x)cm.‎ 10‎ 可得＝，解得x＝12，2x＝24.‎ 故矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．‎ ‎11．解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，并延长交DE于点F.‎ ‎∵BC∥DE，‎ ‎∴AF⊥DE，∠D＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，∴＝，‎ ‎∴DE＝＝＝40(m)．‎ 答：敌方建筑物DE的高度为40 m.‎ ‎12．解：由AB＝‎1.5 m，S△ABC＝‎1.5 m2‎，得BC＝‎2 m.‎ 在题图①中，设甲同学加工的正方形桌面的边长为x m.‎ ‎∵DE∥AB，∴Rt△CDE∽Rt△CBA，‎ ‎∴＝，‎ 即＝，解得x＝；‎ 如图，在题图②中，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P.‎ AC＝＝＝2.5(m)，‎ BH＝＝＝1.2(m)．‎ 设乙同学加工的正方形桌面的边长为y m.‎ 10‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴△BDE∽△BAC，‎ ‎∴＝，‎ 即＝，解得y＝.‎ ‎∵＝>，即x>y，‎ ‎∴x2>y2，‎ ‎∴甲同学的加工方法更好．‎ ‎13．解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，‎ ‎∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．‎ ‎∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，‎ ‎∴∠ACD＝∠A＝40°，‎ ‎∴△ACD是等腰三角形．‎ ‎∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，‎ ‎∴△BCD∽△BAC，‎ ‎∴CD是△ABC的完美分割线．‎ ‎(2)由题意得△BCD∽△BAC，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵AC＝AD＝2，BC＝，‎ 设BD＝x，则AB＝x＋2，‎ 10‎ ‎∴＝，‎ 解得x＝－1±，‎ ‎∵x＞0，∴BD＝x＝－1.‎ ‎∵△BCD∽△BAC，∴＝.‎ ‎∵AC＝2，BC＝，BD＝－1，‎ ‎∴CD＝＝×2＝－.‎ 10‎