第6章 函数-1.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第6章 函数 ‎6.1函数及其图像 ‎6.1.1‎‎ ★已知，求．‎ 解析1 令，则，带入原式有 ‎，‎ 所以 ．‎ 解析2 ，所以 ‎6.1.2‎‎ ★★若函数，，求．‎ 解析 只要将满足的值求出来，然后代入即可．‎ ‎，‎ 所以，．因此 ‎6.1.3‎‎ ★ 已知函数，其中、为常数．若，求．‎ 解析 由题设 所以 ‎．‎ ‎6.1.4‎‎ ★★ 函数的定义域是全体实数，并且对任意实数、，有．若，求．‎ 解析 设，令代入已知条件得，‎ 即对任意实数，恒有，所以 ‎，‎ 所以 ．‎ ‎6.1.5‎‎ ★★ 若对任意实数，‎ 总有意义，求实数的取值范围．‎ 解析 欲使 总有意义，令 则或，对任意实数均成立，于是问题等价于 ‎（1）‎ ‎（2）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）‎ 由（1）解得：，或；‎ 由（2）解得：不存在；‎ 由（3）解得：．‎ 于是实数的取值范围为，或．‎ ‎6.1.6‎‎ ★★ 若的定义域为一切实数，求的取值范围．‎ 解析 由题意的定义域为一切实数，即对任意实数，恒有 ‎．‎ 若，则，，与题意不符；‎ 当时，二次函数的充要条件是 得．‎ 因此，的取值范围是．‎ ‎6.1.7‎‎ ★★反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图像只能是（ ）．‎ 解析 通过分析函数图像的特征，例如的图像过一定点（，0），或者通过函数图像讨论常数的正负逐步淘汰三个选择项，得出结论．‎ 函数的图像过顶点，而在（A）中直线不过点，故淘汰（A）中直线不过点，故淘汰（A）．‎ 在（D）中，直线左高右低，因此；双曲线在Ⅰ，Ⅲ象限，则，，导致矛盾．故淘汰（D）．‎ 在（C）中，仿前，从直线看，；从双曲线看，，也导致矛盾．故淘汰（C）．‎ 故选（B）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6.1.8‎‎ ★★ 函数的图像与轴交点的横坐标之和等于_________．‎ 解析 原问题可转化为求方程 ‎ ①‎ 的所有实根之和．‎ 若实数为方程①的根，则其相反数也为方程①的根．所以，方程的所有实根之和为0，即函数的图像与轴交点的横坐标之和等于0．‎ ‎6.1.9‎‎ ★★ 直线过点、，直线过点，且把分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图．设此三角形的面积为，求关于的函数解析式，并画出图像.‎ 解析 因为过点，所以，即．‎ 设与轴交于点，则点的坐标为，且（这是因为点在线段上，且不能与点重合），即．‎ ‎，‎ 故的函数解析式为 ‎．‎ ‎6.1.10‎‎ ★★ 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成角的正切值等于．设梯形的面积为，梯形中较短的底的长为，试写出梯形面积关于的函数关系式．‎ 解析 设矩形的长大于宽的2倍．由于周长为12，故长与宽满足 ‎，．‎ 由题意，有如下两种情形：‎ ‎（1）如图，这时，‎ ‎，，‎ 所以，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=，‎ 其中（这由得出）．‎ ‎（2）当时，由于，故，这时，．由 ‎，‎ 得 ，‎ 所以 ‎=，‎ 其中（这由得出）．‎ ‎6.1.11‎‎ ★★ 已知二次函数，且方程与有相同的非零实根．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，解方程．‎ 解析 （1）设的两根为、，且，则 ‎，‎ ‎．‎ 于是，的两根为、，且．所以，，即．‎ 因此，‎ ‎（2）由（1）得．‎ 又，则，‎ 解之得或，‎ 于是，的两组解为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 或 ‎6.1.12‎‎ ★★ 如果函数对任意实数，都有，求，，之间的大小关系．‎ 解析 对任意实数成立，因此的图像的对称轴是．‎ 的图像是开口向上的抛物线，因此当时，随着的增大而增大．于是有 ．但由对称性知，故 ‎．‎ ‎6.1.13‎‎ ★ 如图所示，、分别表示一种白炽灯和一种节能灯费用（费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间的函数图像．假设两种灯的使用寿命都是，照明效果一样．‎ ‎（1）根据图像分别求出、的函数关系式；‎ ‎（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？‎ ‎（3）小亮房间计划照明，他是买白炽灯省钱还是买节能灯省钱？‎ 解析 （1）设直线的解析式为．由图像得，解得．所以，的解析式为 ‎．‎ 设直线的解析式为．由图像得 ‎，‎ 解得．所以，的解析式为 ‎．‎ ‎（2）当时，两种灯的费用相等，这时有 ‎，‎ 解得，所以，当照明时间为时，两种灯的费用相等．‎ ‎（3）当时，，所以他买节能灯省钱．‎ ‎6.1.14‎‎ ★★ 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意例指标数是随着老师讲课施加你的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣渐增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分赛．学生注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图像如图所示（越大表示学生注意力越集中）．当时，图像是抛物线的一部分，当和时，图像是线段．‎ ‎（1）当时，求注意力指标数与时间的函数关系式；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否讲过适当安排。使学生在 听这道题时，注意力的指标数都不低于36．‎ 解析 （1）当时，设抛物线的函数关系式为，由于它的图像经过点、、，所以 解得，，，．‎ 所以 ‎，．‎ ‎（2）当时，‎ 所以，当时，令，得 ‎，‎ 解得，（舍去）；‎ 当时，令，得，解得 ‎．‎ 因为，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题．‎ ‎6.2 一次函数 ‎6.2.1‎‎ ★★ 四一次函数，‎ ‎（1）若，求函数的表达式；‎ ‎（2）若，且，求函数的表达式．‎ 解析（1）设．因为 ‎，‎ 又因为 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以解得所以或．‎ ‎（2）设．因为，所以 ‎ ①‎ 因为，，所以 ‎． ②‎ 由①得，代入②得 ‎．‎ 得，则．所以．‎ ‎6.2.2‎‎ ★★ 求证：一次函数的图像对一切有意义的恒过一定点，并求这个定点．‎ 解析 由一次函数得 ‎，‎ ‎．‎ 因为等式对一切有意义的成立，所以得 解得 当，时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点．‎ ‎6.2.3‎‎ ★★ 已知、、为常数。，并且，求．‎ 解析 用代换原方程的，得 ‎． ①‎ 用代换原方程中的，得 ‎ ②‎ 得 ‎．‎ 因为，所以 ‎．‎ 所以 ‎．‎ ‎6.2.4‎‎ ★ 某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米。则此人。离起点的距离与时间的人关系示意图是（ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 因为图（A）没有反映休息所消耗的时间；图（D）没有反映沿原路返回的一段路程；图（B）尽管表明了折返后的变化，但没有表示消耗的时间．上述三图均有误，故选（C）．‎ ‎6.2.5‎‎ ★★ 已知一次函数的随的值增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面积不超过．反比例函数的图像在二、四、象限．求满足上述条件的的整数值．‎ 解析 由一次函数的随的值增大而增大，可知，解得 ‎ ①‎ 又它的图像与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面积是 ‎，‎ 得． ②‎ 而反比例函数的图像在第二、四象限，则，即 ‎ ③‎ 综合①、②、③得．‎ 所以满足题意的的整数值为1、2．‎ ‎6.2.6‎‎ ★★ 已知函数，当自变量的取值范围为时，既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数的取值范围．‎ 解析 显然．当时，函数的图像是一条左低右高的线段，既能取到大于5的值，又能取到小于3的值的等价条件是对应的函数值大于5，对应的函数值小于3．当时，已知函数的图像是一条左高右低的线段，可类似讨论．‎ 的图像是一条线段，故既能取到大于5的值，又能取到小于3的值的等价条件是 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 或 或 即的取值范围为．‎ ‎6.2.7‎‎ ★★ 如图，设，其中，记在的最小值为，求及其最大值，并作的图像．‎ 解析 ．因为当时，，为递增函数或常数函数，在上最小值；当时，，为递增函数在上的最小值为 ‎．‎ 所以 因此在上为递增函数；在上为递增函数，故的最大值为．‎ ‎6.2.8‎‎ ★设有两直线，相交于点，它们与轴的交点为、．求中边上的中线的方程．‎ 解析 如图所示，在，中分别令，即可得交点、的坐标分别为、．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解方程组 得交点的坐标（3，4）．‎ 再设中线为，则由中点坐标公式求得．由于、两点的横坐标相同，均为3，故中线的直线方程为．‎ 评注 平行于轴（或垂直于轴）的直线方程为；平行于轴（或垂直于）的直线方程为．‎ ‎6.2.9‎‎ ★★★已知函数．‎ ‎（1）求证：无论取何实数时，这些函数图像恒过某一定点；‎ ‎（2）当在范围内变化时，在内变化，求实数的值．‎ 解析 （1）设．‎ 将它变为 ‎．‎ 令 解方程，得 即这些直线恒过定点．‎ ‎（2）当时，，不合题意；‎ 当时，，一次函数随着的增大而增大，因此，‎ 解方程组，得．‎ 当时，，一次函数随着的增大而减小，因此，‎ 方程组无解．‎ 故实数的值为．‎ 评注 由（1）知，无论取何实数时，函数的图像恒过定点，这些直线称为直线系．‎ ‎6.2.10‎‎ ★★ 一个一次函数的图像与直线平行，与轴、轴的交点分别为、，并且过点，则在线段上（包括端点、），横、纵坐标都是整数的点有（ ）．‎ ‎（A）4个（B）5个 （C）6个 （D）7个 解析 设，由，得，所以，．所以、．‎ 由，，取，7，11，15，19时，是整数．‎ 因此，在线段上（包括端点、），横、纵坐标都是整数的点有5个．‎ 故选（B）．‎ ‎6.2.11‎‎ ★★ 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为（15，6）直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，求的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 设矩形的对角线的交点为，则是它的对称中心，点坐标为（7.5，3）．过矩形对称中心的直线，总是将矩形分成面积相等的两部分．将点的坐标代入，得（或0.5）．‎ ‎6.2.12‎‎ ★★★ 设有直线过点，且在第一象限与两坐标轴围城的三角形的面积为最小（如图）．求此直线的方程．‎ 解析 设直线的方程为，它与两坐标轴的交点分别为、，它与两坐标轴围成的三角形的面积为，则有，，，这里，．‎ ‎．‎ 由于，‎ 且不等式等号当且仅当，即（由于）时成立，得最小面积为2，此时，所以，直线的方程为 ‎．‎ 评注 由于，所以，这里，．此不等式是一个应用很广的不等式，且当且仅当时等号成立．‎ ‎6.2.13‎‎ ★★ 在直角坐标系中，轴上的动点到定点，的距离分别为何，那么当取最小值时，求点的横坐标．‎ 解析 作点关于轴的对称点，设直线的解析式为，于是有 解出，．‎ 故直线的解析式为．‎ 令，解出即为所求．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 下面证明使取最小值．‎ 在轴上任取一点，连结、、，因为点关于轴的对称点为，易知轴为的垂直平分线．‎ 于是，．由三角形不等式可知．‎ 又，所以 ‎，‎ 即使取最小值．‎ ‎6.3 二次函数 ‎6.3.1‎‎ ★★ （1）设抛物线，把它向右平移个单位，或向下平移个单位，都能使得抛物线与直线恰好有一个交点，求、的值；‎ ‎（2）把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线经过点（1，3）与（4，9），求、的值；‎ ‎（3）把抛物线向左平移三个单位，向下平移两个单位后，所得图像是经过点的抛物线，求原二次函数的解析式．‎ 解析 （1）抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线为．于是方程有两个相同的根，即方程 的判别式 所以．这时的交点为．‎ 抛物线向下平移个单位，得到抛物线．于是方程 有两个相同的根，即 ‎，‎ 所以．这时的交点为．‎ ‎（2）把向左平移个单位，向上平移个单位，得到抛物线为． 于是，由题设得 解得，，即抛物线向右平移了两个另个单位，向上平移了一个单位．‎ ‎（3）首先，抛物线经过点，可求得．‎ 设原来的二次函数为，由题设知 解得，．原二次函数为 ‎．‎ 评注 将抛物线向右平移个单位，得到的抛物线是；向左平移个单位，得到的抛物线是 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎；向上平移个单位，得到；向下平移个单位，得到．‎ ‎6.3.2‎‎ ★★ 已知抛物线的一段图像如图所示．‎ ‎（1）确定、、的符号；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ 解析 （1）由于抛物线开口向上，所以．又抛物线经过点，所以．因为抛物线的对称轴在轴的右侧，从而，结合便知．所以，，．‎ ‎（2）记．由图像及（1）知 即 所以 ‎，‎ ‎6.3.3‎‎ ★ 一条抛物线的顶点为，且与轴的两个焦点的横坐标为一正一负，则、、中为整数的（ ）‎ ‎（A）只有 （B）只有 ‎（C）只有 （D）只有和 解析 由顶点为，抛物线交轴于两点，知．‎ 设抛物线与轴的两个交点的横坐标为标为、，即为方程的两个根．‎ 由题设，知，所以．‎ 根据对称轴，即有，知．‎ 故知结论（A）是正确的．‎ ‎6.3.4‎‎ ★★ 已知二次函数（其中是正整数）的图像经过点与点，并且与轴有两个不同的交点，求的最大值.‎ 解析 由于二次函数的图像过点、，所以 解得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为二次函数图像与轴有两个不同的交点，所以，，即，由于是正整数，故．‎ 所以．又因为，且当，，时，，满足题意，故的最大值为．‎ ‎6.3.5‎‎ ★★ 的三个顶点、、均在抛物线上，并且斜边平行轴．若斜边上的高为，则（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 解析 设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，由勾股定理，得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以．‎ 由于，所以，故斜边上高．故选（B）‎ ‎6.3.6‎‎ ★★ 在直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，若、两点到原点的距离分别为、，且满足，求的值．‎ 解析 设方程的两根分别为、，且，则有 ‎，．‎ 所以，，由，可知，又，所以，抛物线的对称轴在轴的左侧，于是，．所以 ‎，‎ ‎，‎ 故 ．‎ 解得．‎ ‎6.3.7‎‎ ★ 不论取任何实数，抛物线 的顶点都在一条直线上．求这条直线的函数解析式．‎ 解析 将二次函数变形为，知抛物线的顶点坐标为 消去，得 ‎．‎ 所以 ．‎ ‎6.3.8‎‎ ★ 设、为常数，并且，抛物线 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的图像为图中的四个图像之一．求．‎ 解析 由，知对称轴不是，所以抛物线的图像必为后两个图像之一．于是，‎ ‎．‎ 解得 ，．‎ 易知后两个图像的对称轴为，得．所以，．‎ ‎6.3.9‎‎ ★★ 已知抛物线（其中）不经过第二象限．‎ ‎（1）判断这条抛物线的顶点所在的象限，并说明理由；‎ ‎（2）若经过这条抛物线顶点的直线与抛物线的另一个交点为，求抛物线的解析式．‎ 解析 （1）因为若，则抛物线开口向上，于是抛物线一定经过第二象限，所以当抛物线的图像不经过第二象限时，必有．又当时，，即抛物线与轴的交点为．因为抛物线不经过第二象限，所以．于是 ‎，‎ ‎，‎ 所以顶点在第一象限．‎ ‎（2）由于点在抛物线，所以 ‎，‎ 所以．于是点的坐标为（1，0），点的坐标为．由于点在直线上，所以，所以．又由于直线经过点，所以，所以．抛物线的解析式为．‎ ‎6.3.10‎‎ ★★ 设二次函数满足条件：，，且其图像在轴上所截得的线段长为，求这个二次函数的表达式．‎ 解析 由，，得 即，．因此所求的二次函数是 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 由于二次函数的图像在轴上所截得的线段长，就是方程两根差的绝对值，而这二次方程的两根为 ‎，‎ 于是 ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 或．‎ 因此所求的二次函数表达式为 或．‎ ‎6.3.11‎‎ ★★ 设二次函数，当时，取得最大值10，并且它的图像在轴上截得的线段长为4，求、、的值．‎ 解析 当时，取得最大值10的二次函数可写成，且．‎ 因为抛物线的对称轴是，又因为图像在轴上截得线段长是4，所以由对称轴性。图像与轴交点的横坐标分别是1、5．因此，二次函数又可写成 的形式，从而 ‎，‎ ‎．‎ 所以 ‎．‎ 因此，，，．‎ ‎6.3.12‎‎ ★★ 如图，点、在函数的图像上，点、都在轴上，使得、都是等边三角形，求点的坐标．‎ 解析 如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，设，，则，，所以，点、的坐标为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 所以 ‎ 解得于是，点的坐标为．‎ ‎6.3.13‎‎ ★★ 已知点、的坐标分别为、，若二次函数的图像与线段恰有一个交点，求的取值范围．‎ 解析 设，由，得；由，得，此时，，符合题意；由，得，此时，，不符合题意．‎ 令，由判别式，得．‎ 当时，，不符合题意；当时，，符合题意．‎ 综上所述，的取值范围是或者．‎ ‎6.3.14‎‎ ★★ 已知关于正整数的二次式（为实常数）．若当且仅当时，有最小值，求实数的取值范围．‎ 解析 由于对于实数，有，‎ 其图像对称轴为．‎ 当可以取正整数时，且当且仅当使得有最小值．于是必有对称轴在与之间，且偏于，即 ‎，‎ 得．‎ 所以，的取值范围是．‎ ‎6.3.15‎‎ ★★ 已知，的图像与轴有两个不同的交点、，且 ‎，‎ 求的值．‎ 解析 首先，由，得或．由题意，可设 ‎，‎ 则 ，‎ ‎，‎ 所以 ，‎ 解得，或者（舍去）． 故．‎ ‎6.3.16‎‎ ★★ 已知二次函数，‎ 求所有的值，使得此二次函数图像与轴的两个交点不可能都落在轴的正半轴上．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 根据题意，问题可转化为求当方程 的两根中至少有一根为非正数时的值．‎ 因为此方程根的判别式为 ‎，‎ 所以此方程必有两实根，即函数与轴必有两个焦点．‎ 运用方程根与系数的关系得方程的两根、满足 ‎，‎ 当时，，则方程有且只有一个根的负数；‎ 当时，，但，则、均为非正数．‎ 所以，满足要求的为一切实数．‎ 评注 在处理有关二次函数问题时，常常转化为二次方程根的问题予以解决．反过来，在处理有关二次方程根的问题时，常常转化为二次函数及其图像的问题加以解决．二次函数与二次方程“相得益彰”，它们是相通的．‎ ‎6.3.17‎‎ ★★ 设有二次函数与轴交于两点、，现有直线过其中一交点且与抛物线交于另一点，又若，求抛物线的方程．‎ 解析 由已知条件知，其中一交点．为二次函数图像上的点．如图所示．‎ 故，且即为方程的两根之差的绝对值．‎ ‎．‎ 的高为点的纵坐标的绝对值．解方程组 由②知代入①，得 ‎．‎ 而，故此方程即，得点的纵坐标为．由于，故 ‎．‎ 解方程组 得 所以，抛物线的方程为或．‎ ‎6.3.18‎‎ ★★ 已知二次函数，求证：对任意 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的实数，这些二次函数的图像恒过定点、，并求出，的坐标．‎ 解析 将式子，整理成关于的式子为 ‎．‎ 令 解方程组，得 则、．‎ ‎6.3.19‎‎★★ 设、是抛物线上的点，原点位于线段的中点处．试求、两点的坐标．‎ 解析如图，设．因原点是的中点，知和关于原点对称，即．‎ 又、是抛物线上的点，分别将它们代入抛物线的方程，得 解得或．‎ 所以、或、．‎ ‎6.3.20‎‎ ★★ 已知二次函数 ‎（1）随着的变化，该二次函数图象的顶点是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由；‎ ‎（2）如果直线经过二次函数 图象的顶点，求此时的值．‎ 解析（1）将二次函数配方，得 ‎，‎ 所以顶点坐标．‎ 方法1：分别取，，1，得到三个顶点坐标、、．过这三个顶点的二次函数的表达式是．‎ 将顶点坐标代入的左右两边，经检验，左边=右边．‎ 因此，无论埘取何值，顶点都在抛物线上．‎ 方法2：令，．‎ 将代入，得 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故点所在的抛物线的函数表达式是．‎ ‎（2）如果顶点在直线上，则 ‎，‎ 即．‎ 故或．‎ 所以，当直线经过二次函数 图象的顶点时，的值是或0．‎ ‎6.3.21‎‎ ★★ 设有整系数二次函数，其图象开口方向朝上，且与轴有两个交点，分别在、内，且，的判别式等于5，试求、、的值．‎ 解析 依题意知，如图所示．‎ 设，的图象与轴的两个交点分别为、，且，则，．‎ 由于，‎ 所以 ‎ ．①‎ ‎．②‎ 由于，所以 ‎．③‎ 由②、③知，故．‎ 由于为正整数，且由①知为贫整数，从而，于是判别式 ‎，‎ 且当且仅当，时，等号成立．‎ 所以，，，．‎ 即．‎ ‎6.3. 22‎‎ ★★★ 求所有的整系数二次函数，使得，．‎ 解析 由题设得 ‎， ①‎ ‎． ②‎ ‎②一①，得 ‎，‎ ‎，‎ 因为，所以，故，令，是整数，则 ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故，，．‎ 于是，，，，进而可得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，．．‎ 所以，满足题设的二次函数为，，．‎ ‎6.3.23‎‎ ★★★ 已知二次函数 的图象恒不在轴下方，且恒成立，求实数的取值范围．‎ 解析 由题设知，恒成立，所以，‎ ‎，且．‎ 记，则 ‎，‎ 当且仅当，即，时，不等式等号成立，从而的最小值为3，于是，的取值范围是．‎ ‎6.3. 24‎‎ ★★★ 已知方程有两个实数根、，并且，．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 解析（1）由韦达定理知 ‎．‎ ‎（2）设，则的图象是开口向上的抛物线，且与轴的两交点在与2‎ 之间，所以，即 ‎，‎ ‎，‎ 所以 ，‎ 故 ‎ 评注 利用二次函数的图象来研究二次方程的根以及系数之间的关系，是一种行之有效的方法．‎ ‎6.3.25‎‎ ★★★ 设函数，，这里以是正整数，则在的值域中有多少个整数？‎ 解析 解决本例需先确定函数的值域，因为的图象是一段抛物线弧，因此确定值域只需求出的最大值与最小值．‎ 函数图象（抛物线）的顶点横坐标，且抛物线开口向上，故函数的图象（一段抛物线弧）在前述抛物绒对称轴的右侧（如图），其中和为示意位置，实线表示的图象．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故）的最大值为，最小值为，而值域为．其中的整数，，…，，共有 ‎（个）．‎ ‎6.3. 26‎‎ ★★★ 设、为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求、的值．‎ 解析 因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数 的图象与轴的两个交点间的距离为．‎ 由题意，，即，即 由题意知，，且上式对一切实数恒成立，所以 所以或 ‎6.3.27‎‎ ★★★ 设、为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为．如果对一切实数恒成立，求、的值．‎ 解析 因为一元二次方程的两根分别为和，所以；‎ 一元二次方程的两根分别为和，所以．‎ 所以，‎ ‎． ①‎ 由题意知，，且①式对一切实数恒成立，所以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以或'‎ ‎6.3. 28‎‎★★★已知函数 有最大值，求实数的值，‎ 解析 因为 ‎，，‎ 它的对称轴是直线，于是必须根据值是否在的范围内分三种情况讨论．‎ ‎ （1）若，即时，随着的增加而减少．这时，的最大值，即．由 得．因，故．‎ ‎ （2）若，即时，的最大值为，即．由得，这与矛盾．‎ ‎（3）若，即时，随着增加而增加，这时的最大值是，即．由，得．得．因为，故．‎ 综上所述，满足题意的为厢或．‎ ‎6.3.29‎设、是实常数，当是取任意实数时，函数 的图象与轴都交于点．‎ ‎（1）求、6的值；‎ ‎（2）若函数图象与轴的另一交点为，当变化时，求的最大值．‎ 解析（1）由题设知，点在函数的图象上，‎ 所以 ‎，‎ ‎．‎ 上面这个关于的一次方程有无穷多个解，所以 解得，．‎ ‎（2）由（1）知，，，这时函数为 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设点，则．由韦达定理知 ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以 ，‎ 所以 ．‎ 又当时，，此时，．‎ 所以，的最大值为2．‎ ‎6.3.30‎‎ ★★ 若抛物线与连结两点、的线段（包括、两点）有两个相异的交点，求的取值范围．‎ 解析 易知过点、的直线方程为．而抛物线与线段有两个交点就是方程 在0上有两个不相等的实根．‎ 令，则有 ‎ 解得 ．‎ 评注 利用二次函数的图象来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段．‎ ‎6.3.31‎‎ ★★ 当取遍0到5的所有实教时，求满足 的整数6的个数．‎ 解析 由题设等式，得 ‎．‎ 它的图象是以为顶点，开口向上的抛物线，当时，在处取最小值，在处取最大值．‎ ‎ 所以 ，‎ 所以，，1，2，…，10，11．‎ 满足题设条件的整数共有13个．‎ ‎6.3.32‎‎ ★★ 设，，且、都是整数．已知当时，；当时，．‎ ‎（1）求证：（这表示不能被整除），且是负整数；‎ ‎（2）在取整数所得的所有函数值，中，使取最小值的是多少？‎ 解析 （1）抛物线开口向上，经过原点．又由题设可知在的范围内有一个实根．因此该抛物线还经过点（如图）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 注意到的两根是和，故．由于，故，且由知必是负整数．‎ ‎（2）因抛物线的对称轴是，而，．因此在所有整数中，到的距离最小的是8．从而当取整数时，使取最小值的必是．‎ ‎6.3.33‎‎ ★★ 在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点．试在二次函数的图象上找出满足的所有整点，并说明理由．‎ 解析 由题意得 ‎，‎ 即有 ． ①‎ 当时，式①化为 ‎，‎ 得 2．‎ 又，‎ 则满足及均是整数的有，；，；，；，．‎ 当时，式①化为 ‎，‎ 得．‎ 则满足及均是整数的有，；，．‎ 所以满足题中要求的整点是 ‎、、、、、．‎ ‎6.3.34‎‎ ★★ 坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，如果将二次函数与轴所围成的封闭图形涂成红色，求在此红色区域内部及其边界上的整点的个数．‎ 解析 与轴有两个交点和，轴上在与之间共有5个整数：2、 3、 4、 5、6．‎ 将函数改写为．‎ 当，有，满足的整数有0、1、2，共3个；‎ 当，有等，满足等的整数有0，1，…．5．共6个；‎ 当，有，满足的整数有0，1，…，6，共7个；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当，有等，满足的整数有0，1，…，5，共6个；‎ 当，有，满足的整数有0、1、2，共3个．‎ 共得25个整点，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费