第6章 函数-3.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 令，则 ‎，．‎ 当时，函数取最小值，此时有，得．‎ 当时，函数取最大值 ‎，‎ 此时，，．‎ 所以，当时，取最小值；当时，取最大值5．‎ ‎6.5.20‎‎★★★ 实数、、满足，求的最小值．‎ 解析 令，则 ‎，‎ 整理得 ‎，‎ 因为是实数，所以 ‎，‎ 即．‎ 所以．‎ 因为是实数，所以 ‎，‎ 所以，得．‎ 当时，，，．‎ 所以，的小最小值为（在，，时取到）．‎ 评注 消去成为二元二次多项式，二次使用判别式再消去、，最后得到的范围，反过来，若 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，则，所以不等式 有实数解（存在），所以，所以方程 有实数解（存在），所以也存在．至此，是的取值范围．‎ ‎6.5.21‎‎★★ 求函数 在上的最小值、最大值．‎ 解析 ‎ ‎．‎ 所以（在，即时取到），（在，即时取到）．‎ 评注 本题利用配方法、换元法将关于的四次函数式化为关于的二次函数式，代换时注意的范围．‎ ‎6.5.22‎‎★★★ (1)求函数的最小值和最大值；‎ ‎(2)求函数的最大值．‎ 解析 （1）‎ ‎，．‎ 所以，（在或4时取到），（在时取到）．‎ ‎（2）设，则，所以 ‎．‎ 所以，（在即时取到）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6.5.23‎‎★★ 求函数 的最小值．‎ 解析 易知定义域为或．‎ 因为在上递减，在上递增，所以在上递减，在上递增．‎ 所以，‎ ‎．‎ 所以，（在时取到）．‎ 评注 本题的函数可看成两个函数的和．而这两个函数在定义域内的单调性是一致的，利用“单调性一 致的两个函数的和仍具有相同单调性”这一性质求出各个单调区间上的最小值，再比较得出结论．‎ ‎6.5.24‎‎★★ 求函数 的最小值和最大值．‎ 解析 先求定义域．由 得．‎ ‎，．‎ 当，且增加时，增大，而减小，于是是随着的增加而减小，即在区间上是减函数．所以 ‎，‎ ‎．‎ ‎6.5.25‎‎★★★ 已知实数、满足，求 的最小值和最大值．‎ 解析 因为，所以 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又当时，，故．‎ 又因为 ‎， ①‎ 所以，又当，时，．所以 评注 1．本题所用的方法是不等式法．先用不等式估计出的上、下界，再举例说明所得的上、下界是可以达到的，从而这就是所要求的最大值和最小值．‎ ‎2．式①这个不等式大家经常忽略，其实我们可以利用不等式 来解决与之间的上、下界关系．‎ ‎6.5.26‎‎★★ 设是正实数，求函数的最小值．‎ 解析 先估计的下界．‎ ‎，‎ 又当时，，所以，的最小值为1．‎ 评注 在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：‎ ‎，‎ 但无论取什么值时，取不到－3，即－3不能作为的最小值．‎ ‎6.5.27‎‎★★ 设、是实数，求的最小值．‎ 解析 先将看作是的二次函数(把看作常数)，进行配方后，再把余下的关于的代数式写成的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 又当，时，，所以，的最小值为－1．‎ ‎6.5.28‎‎★★ 对实数、，求代数式的最小值．‎ 解析 因为 ‎，‎ 当，时等号成立，故所求的最小值为．‎ ‎6.5.29‎‎★★ 若是实数，求的最大值．‎ 解析 由得，．设，则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，，故，当时等号成立．所以，最大值为．‎ ‎6.5.30‎‎★★ 已知实数、满足等式，求的最大值和最小值．‎ 解析 令，则，于是有 ‎．‎ 因为，所以上述关于的二次方程有实数解，从而推知 ‎，‎ 即．‎ 当时，代入关于的方程得 ‎，‎ 即，．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时，得 ‎，．‎ 所以当，时，取得最小值；当，时，取得最大值．‎ ‎6.5.31‎‎★★★ 求函数的最大值和最小值．‎ 解析 由，得．由 ‎，‎ 故，当时等号成立．故的最小值是．‎ 又因为 ‎，‎ 故，当时等号成立．故的最大值是．‎ 评注 本题求最大值时用了一个不等式：‎ ‎．‎ ‎6.5.32‎‎★★ 若，求的最小值．‎ 解析 设，则，，，于是，，，把它们相加得，‎ 故，．‎ ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当，时，等号成立．‎ 所以，的最小值为－19．‎ ‎6.5.33‎‎★★ 已知，求的最大值和最小值．‎ 解析 令，则，，于是 ‎，．‎ 所以，当，即时，取最大值；当时，即时，取最小值2．‎ ‎6.5.34‎‎★★ 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形(如图)，其中，．试在上求一点，使矩形有最大面积．‎ 解析 设矩形的边，于是矩形的面积 ‎，．‎ 易知，，且有 ‎，‎ 即，‎ 所以，‎ ‎，．‎ 二次函数的图象开口向下，对称轴为，故当时，函数值是随的增加而增加，所 以，对满足的来说，当时有最大值 ‎．‎ ‎6.5.35‎‎★★★ 实数、、使得对于所有满足的实数，都有，求的最大值．‎ 解析 不妨设，用代替，得，不改变它的界和，故设．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 令，由，，可得，．‎ 若，则．‎ 若，则 ‎，‎ 故．‎ 又当时，满足题设条件，且．所以．所以，所求的最大值为300．‎ ‎6.5.36‎‎★★★★ 某环形道路上顺时针排列有4所中学、、、，它们顺次有彩电15台、8台、5台、12台，为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电，问怎样调配才能使调出的彩电总台数最小?并求出调出彩电的最小总台数．‎ 解析 设中学调给中学台彩电(若为负数，则认为是中学向中学调出台彩电，下同)，中学凋给中学台彩电，中学调给中学台彩电，中学调给中学台彩电．‎ 因为共有40台彩电，平均每校10台，因此 ‎，，‎ ‎，，‎ 即 我们将、、都用来表示，即得 因此，本题要求的最小值，其中，且为整数，为方便起见，我们分情况讨论如下：‎ 的范围 的表达式 最小值及 对应的值 当时 有最小值14‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时 有最小值0‎ ‎10‎ 当时 取最小值0‎ 无最小值 由上表可知，当时，取得最小值10．‎ 又由于是正整数，即当，3，4，5时，有最小值10．‎ 当时，，，；‎ 当时，，，；‎ 当时，，，；‎ 当时，，，．‎ 故有如下四个方案，且调出的彩电最小总数为10．‎ ‎6.5.37‎‎★★ 某人租用一辆汽车由城前往城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间 ‎(单位：)如图所示．若汽车行驶的平均速度为，而汽车每行驶需要的平均费用为1.2元，试指出此人从城出发到城的最短路线(要有推理过程)，并求出所需费用最少为多少元?‎ 解析 从城出发到达城的路线分成两类：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)从城出发到达城，经过城．‎ 因为从城到城所需最短时间为，从城到城所需最短时间，所以，此类路线所需最短时间为 ‎．‎ ‎(2)从城出发到达城，不经过城．‎ 这时从城到达城，必定经过、、城或、、城，所需时间至少为．‎ 综上，从城到达城所需的最短时间为，所走的路线为 ‎．‎ 所需费用最少为80×48×1.2=4608(元)．‎ ‎6.5.38‎‎★★★ 市、市和市分别有某种机器10台、10台和8台．现在决定把这些机器支援给市 ‎18台，市10台．已知：从市调运一台机器到市、市的运费分别为200元和800元；从市调运一台机器到市、市的运费分别为300元和700元；从市调运一台机器到市、市的运费分别为400元和500元．‎ ‎(1)设从市、市各调台到市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费(元)关于(台)的函数式，并求的最小值和最大值；‎ ‎(2)设从市调台到市，市调台到市，当28台机器全部调运完毕后，用、表示总运费 (元)，并求的最小值和最大值．‎ 解析 (1)由题设知，市、市、市发往市的机器台数分别为、、，发往市的机器台数分别为、、．于是 ‎．‎ 又，所以所以 ‎5≤≤9，所以 ‎（5≤≤9，是整数）．‎ 由上式可知，是随着的增加而减少的，所以当时，取到最小值10 000元；当时，取到最大值13 200元．‎ ‎(2)由题设知，市、市、市发往市的机器台数分别为、、，发往市的机器台数分别为、、．于是 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 又，所以 所以，‎ 且 ‎、为整数．‎ ‎．‎ 当，时，，所以的最小值为9800．又 ‎，‎ 当，时，，所以的最小值为14200．‎ ‎6.5.39‎‎★★★ 设，，…，是整数，并且满足：‎ ‎（1），1，2，…，；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ 求的最大值和最小值．‎ 解析 设，，…，中有个－1，个1，个2，由题设得 可得 所以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故．‎ ‎，‎ 所以．‎ 又当，，时，；当，，时，，所以的最小值为19，最大值为133．‎ ‎6.5.40‎‎★★★求函数 的最大值，并求此时的值，其中表示不超过的最大整数．‎ 解析 设，，则 ‎，‎ 这里是的小数部分，．‎ ‎．‎ 因为，所以．故当，即（是整数）时，取最大值．‎ ‎6.5.41‎‎★★ 求的最小值．‎ 解析 在直角坐标系中，设、、，则 ‎，．‎ 所以，．‎ 当且仅当、、三点共线时等号成立．‎ 即当且仅当、、三点共线时原式取最小值．‎ 此时，如图，易知，故有，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 从而．‎ 故当时，的最小值为10．‎ ‎6.5.42‎‎★★★ 已知实数、、满足，．‎ ‎（1）求、、中的最大者的最小值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ 解析 （1）不妨设．则由题设知，且 ‎，．‎ 于是、是一元二次方程 的两实根，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以．‎ 又，时，满足题意．故、、中的最大者的最小值为4．‎ ‎（2）因为，所以、、为全大于0或一正二负．‎ ‎(i)若、、均大于0，则 ‎；‎ ‎（ii）若、、为一正二负，设，则、均小于0．‎ ‎，‎ 由（1）知，，故．当，时，等号成立．故的最小值为6．‎ ‎6.5.43‎‎★★★ 整数，，，…，，满足条件：，，，…，，求的最小值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 由已知可得，‎ 于是 ‎，‎ 又，则 ‎，‎ 即 ‎．‎ 由为整数可得是偶数，比较与的大小，可得 ‎．‎ 当，，，，，…，时等号成立，所以的最小值为34．‎ ‎6.5.44‎‎★★★ 设、、、、是正整数，且满足 ‎，‎ 求的最大值．‎ 解析 由条件等式的对称性，不妨设，由题设，有 ‎，‎ 由此得，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即．‎ 若，则，此时题设等式成为，矛盾．‎ 若，则，即．当时，容易解得，，是满足条件的解，即是能达到的．‎ 所以，的最大值是5．‎ ‎6.5.45‎‎★★★ 实数、使得关于、的方程组 有实数解．‎ ‎（1）求证：，‎ ‎（2）求的最小值．‎ 解析 （1）由方程①知，，且，所以，当时，，当时，，故．‎ ‎（2）将代入方程②，得 ‎，‎ 所以．‎ 因方程组有实数解，所以方程在或的范围内至少有一个实根．‎ ‎（i）当，有，或．‎ 即，或．‎ 若，即时，，由此得，所以 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时，上述不等式等号成立，此时．‎ 若，即时，对于满足或的任意实数，均有．‎ ‎（ii）当时，则．‎ 综上，的最小值为．‎ ‎6.5.46‎‎★★★★ 设函数定义为 求在区间上的最大值．‎ 解析 因为，‎ 即．‎ 由定义知．下面证明 ‎，．‎ ‎（1）若，且是无理数，则 ‎．‎ ‎（2）若，且是有理数，设，其中，．由于 ‎，所以 故，‎ ‎，‎ 所以，‎ 因此 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 综上所述，在区间上的最大值为．‎ ‎6.5.47‎‎★★★ 关于、、的方程组 有实数解(，，)，求正实数的最小值．‎ 解析 由第一个方程得，进而由第二个方程得 ‎．‎ 由得 ‎，‎ 即．‎ 由此可见，开口向上的抛物线 经过不在轴上方的点（，），从而该抛物线与轴有公共点．‎ 所以，，即，（因为）．‎ 又当时，，，．‎ 所以，的最小值为．‎ ‎6.5.48‎‎★★★★ 设、、是正整数，关于的一元二次方程的两实数根的绝对值均小于，求的最小值．‎ 解析 设方程的两实数根为、，由韦达定理知，、均为负数．由，得，所以，得，故．‎ 又，所以，，故．‎ ‎（1）当时，由，及知，或12，．但方程有根，不合题意；方程的两根为、，也不合题意．‎ ‎（2）当时，由，及知，11，12，13，14，15，16，．故由 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 得，易知 ‎（11，12，…，16）为增函数，，而，故只能为16．此时 ‎，‎ 而的两根为满足题意．‎ ‎（3）当时，，所以，于是 ‎．‎ 若，只能，，，此时方程的两根为，，不合题意，故此时．‎ 综上所述，的最小值为25．‎ ‎6.5.49‎‎★★★★ 求满足下述条件的最小正实数：对任意不小于的4个互不相同的实数、、、，都存在、、、的一个排列、、、，使得方程 有4个互不相同的实数根．‎ 解析 所求最小正实数．‎ 一方面，若，取、、、，使得，，，，则对（，，，）的任意排列（，，，），方程的判别式 ‎，‎ 该方程无实数根．所以，．‎ 另一方面，设、、、是不小于4的4个不同实数，不妨设，考察方程 ‎, ①‎ 和． ②‎ 首先，，，故①、②都有两个不同实根．‎ 其次，若①与②有公共实根，则 两式相减，得，这时，，矛盾．所以，①与②没有公共实根，从而符合要求．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 综上，问题的答案为．‎ ‎6.5.50‎‎★★★ 设、、、、是非负实数，使得 ‎，‎ 是，，和中的最大值，求的最小值．‎ 解析 由题设知 ‎,,,‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以．‎ 又当，时，‎ ‎．‎ 所以，的最小值为． ‎ 评注 欲求的最小值，先估计的下界，即找到一个常数，使，然后再具体构造一个实例：‎ ‎，，，，分别等于什么时，，这样的最小值就是．‎ ‎6.5.51‎‎★★★ 已知、、、是正数，满足 ‎．‎ 用表示，，，中的最大者，求的最小值．‎ 解析 显然，‎ ‎．‎ 另一方面，当时，．所以的最小值为3．‎ 评注 本题利用了这样一个事实：个正数的最大值不小于它们的算术平均．‎ ‎6.5.52‎‎★★★★ 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)‎ 解析 易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人．对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住层的人乘电梯，而住层的人直接上楼，．交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少．‎ 设电梯停在第层，在第一层有个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 又当，时，．‎ 故当电梯停在第27层时，不满意总分最小，最小值为316分．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费