第6章 函数-2.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6.3.35‎‎ ★★★ 已知点、的坐标分别为、，点是抛物线上一个动点．‎ ‎（1）判断以点为圆心，为半径的圆与直线的位置关系；‎ ‎（2）设直线与抛物线的另一个交点为，连结、，求证：．‎ 解析（1）设点的坐标为，则 ‎，‎ 而点到直线的距离为 ‎．‎ 所以，以点为圆心，为半径的圆与直线相切．‎ ‎（2）过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，由（1）知，，同理可得，．‎ 因为，、、都垂直于直线，所以，，于是 ‎ ，‎ 于是 ，‎ 所以，，于是，从而 ‎．‎ ‎6.3. 36‎‎ ★★★ 已知抛物线和抛物线相交于、两点，是在抛物线上且位于和之间的一点，是在抛物线上且位于和之间的一点．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求线段的长；‎ ‎（2）当轴时，求长度的最大值．‎ 解析（1）解方程组 得 ‎ 所以，点、的坐标分别是、，于是 ‎．‎ ‎（2）当轴时，可设点、的坐标分别为、，‎ ‎，‎ 于是 ，‎ 当时等号成立．故的长的最大值为8．‎ ‎6.3.37‎‎ ★★★★ 求使得不等式，当时恒成立的实数对．‎ 解析 令），此二次函数图象的对称轴为，开口向上．‎ ‎（1）当时，有，‎ 由②、③，得 ‎．‎ 于是，，这与式①矛盾．‎ ‎（2）当时，有 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由⑤、⑥，得 ‎．‎ 于是，．‎ 结合式④，得，从而，即为所求的实数对．‎ ‎（3）当时，有 ‎，‎ 即 由⑧、⑨，得 ‎，，‎ 与式⑦矛盾．‎ ‎（4）当时，有 ‎，‎ 即 由、，得 ‎，即，‎ 与式⑩矛盾．‎ 综上得满足题设条件的数对为．‎ ‎6.3.38‎‎ ★★★ ‎设是正整数．如果二次函数 和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点．‎ 解析 联立方程组 消去得 ‎，‎ 即，分解因式得 ‎． ①‎ 如果两个函数的图象有公共整点，则方程①必有整数根，从而关于的一元二次方程 ‎ ②‎ 必有整数根，所以一元二次方程②的判别式应该是一个完全平方数，而 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以应该是一个完全平方数，设（其中为非负整数），则 ‎．‎ 即 ‎．‎ 显然与的奇偶性相同，且，而，‎ 所以 或或 解得或或 而是正整数，所以只可能或 当时，方程②即，它的两根分别为2和，易求得两个函数的图象有公共整点和．‎ 当时，方程②即，它的两根分别为1和，易求得两个函数的图象有公共整点（1，-25）和（-25．1）．‎ ‎6.3.39‎‎ ★★★ （1）证明：若二次函数的值当，，时均是整数，则对任何整数、的值也是整数；‎ ‎（2）若对任何整数，的值是整数，、、是否必是整数？‎ 解析（1）由条件，、、都是整数，因此 与 是整数，‎ ‎，‎ ‎．‎ 也是整数．‎ 当是偶数时，设，则 ‎，‎ 因为、、、是整数，所以是整数．‎ 当为奇数时，设，则 仍是整数．‎ ‎（2）因为时，故必是整数，但、不一定是整数．例如函数 ‎．‎ 由于对任何整数，与中必有一个是偶数，因此是整数，的值必是整数．但这个函数的系数不全是整数．‎ ‎6.3. 40‎‎ ‎‎★★★★ 给定二次三项式．已知方程有四个不同实根，且其中两个根的和等于．证明：．‎ 解析 我们用、表示方程，的根，、表示方程 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的两个和为的根．后一方程的根的集合等于方程与根的集合的并集．如果、同时是这两个方程中的某一个的根，由韦达定理，．故．这推出．再利用方程的判别式非负，得，这推出．‎ 现在考虑另一种情况，不失一般性可写成，．将它们相加得 ‎．‎ 由韦达定理和已知条件得，，故 ‎．‎ ‎6．4含绝对值的函数 ‎6.4.1‎‎ ★ 作函数的图象．‎ 解析 当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎．‎ 所以 它的图象如图所示．‎ ‎6.4.2‎‎ ‎‎★ 把一抛物线在轴上方的部分，改成它关于轴对称的图形，得到图中实线表示的曲线，则该曲线是下列函数（ ）的图象．‎ A． B．‎ C． D．‎ 解析 先按图象求出原抛物线所对应的二次函数，然后根据实数绝对值的意义找出实线所表示的曲线是哪一个函数的图象．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 原抛物线的顶点为（2，4），开口向下，原抛物线所对应的二次函数可写成 ‎，．‎ 图中实线部分过点，故原抛物线过，于是有，．原抛物线对应的二次函数是，‎ 即 ‎．‎ 因此，实线部分是函数的图象．选（ D）．‎ ‎6.4.3‎‎ ★ 作函数的图象．‎ 解析 当或3时，，于是 ‎；‎ 当时，，于是 ‎.‎ 所以 于是，得图象如图所示．‎ ‎6.4.4‎‎★★★求下列函数的最小值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）．‎ 解析（1）按实数绝对值的意义 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 对）而言，的最小值为；‎ 对而言，的最小值为.‎ 由此可见，当时，取最小值.‎ ‎（2）根据第（1）小题的结论，函数在时取最小值；又函数显然在时取最小值0．‎ 故在对取最小值．‎ ‎（3）根据第（1）小题的结论，函数在时取最小值；函数在时取最小值；函数在时取最小值.注意到，就知当时 取最小值.‎ 评注 第（1）小题中，为了应用一次函数求最大（小）值的方法，把变成分段函数．如果把理解为数轴上点到点的距离，那么不脱去绝对值号，也能分析得出，只有当点在点，与之间（包括、）时，才能使点点和的距离和（即）最小，其最小值为与间的距离.通过第（2），（3）小题的解答，我们容易把本例的结果推广到一般情况．即对个实常数，求的最小值．‎ 由于，，…，中有些允许相等，因此，我们应该会求函数 的最小值，这里，，…，都是正整数.‎ ‎6.4.5‎‎ ★★ 点满足方程 ‎，‎ 求它的图象所围成区域的面积．‎ 解析 当，时，，即．‎ 当，时，，即．‎ 当，时，，即．‎ 当，时，，即．‎ 于是，所得图象如图所示．‎ 由此可知，的图象是一个对角线长为4，边长为的正方形，因此所求区域面积为．‎ ‎6.4.6‎‎ ★★★ 是什么实数时，方程有四个互不相等的实数根？‎ 解析1 将原方程变形为 ‎．‎ 令，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 它的图象如图，而是一条与轴平行的直线．原方程有四个互不相等的实根，即直线应与曲线有四个不同的交点，由图象可知，当，即时，直线与曲线有四个不同的交点，所以，当时，方程有四个互不相等的实数根．‎ 评注 本题是一个方程问题，我们利用图形来研究，这是一种非常重要的思想方洼——数形结合法．当然，本题不用图象也是可以解的，下面给出解法，请读者比较一下．‎ 解析2 原方程变形为 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，．‎ 要使这4个数互不相等，必须，且，即．‎ ‎6.4.7‎‎ ★★★ 如果满足的实数恰有6个，求实数的值．‎ 解析 本题先分段讨论脱去绝对号，再研究为何值时方程有6个实根，由于绝对号内套绝对号，则相当繁琐．注意到方程的实根个数就是函数 的图象与直线y-a的公共点的个数，因此只要设法画出函数 的图象．‎ 为了作出函数的图象，我们分两步，先作出函数，即的图象（图（1）中的实线）．‎ 接着将上述图象向下移动10个单位，并将轴下方的部分改成它关于z轴对称的图形，这样就得到函数图象（图（2））．‎ 于是，由图应知与T轴平行的直线中只有直线与该函数图象有6个公共点．‎ 故．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6.4.8‎‎ ‎‎★★ 已知，试确定关于的方程的解的个数．‎ 解析 先画出函数，即的图象，再画直线（如图）．注意到该直线经过定点，且在轴上的截距满足．‎ 易见，直线与函数图象的公共点有3个，故原方程有3个解．‎ ‎6.4.9‎‎ ★★★ 若函数与的图象围成一个平面区域，求实数的取值范围及这个区域的面积．‎ 解析 函数可化为 作出其图象（如图）．‎ 若直线和曲线围成平面区域，则要使直线与曲线有两个交点．‎ 故，即．‎ 这时交点）、．‎ 作轴于点，轴于点．则 ‎．‎ ‎6.4.10‎‎ ★★ 求使方程 ‎ ‎ 恰好有两个解的所有实数．‎ 解析 先作出的图象．由 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 可得图象如图所示：‎ 从图中可知，当且仅当或时，的图象与 有两个不同的交点．所以，所求的为或．‎ 评注 本题解答所用的方法是“数形结合法”，通过函数的图象，可以“直观”地解决问题．本题也可以通过分类讨论的方法解决，请读者自己试一试．‎ ‎6.4.11‎‎ ★★★★ 设，、为实数．若在时的最大值为，求的最小值．‎ 解析 当实数、在实数范围内变化时，在时的最小值当然也在变化，要求在的这种变化中能达到的最小值．先借助绝对值不等式求出的下界．然后构造一个例子证实这个下界能够达到，从而判定这个下界即是所求的的最小值．‎ 按的定义，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 于是，‎ ‎，‎ 所以，．‎ 若取，，则．的图象如图所示，此时．‎ 所以，的最小值是．‎ ‎6.4.12‎‎ ★★★ ‎设函数，的最大值是，求的解析式，并求出 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的最小值．‎ 解析 时，；时，．‎ ‎（1）当，在内递增，在内递减，在内递增．‎ 当，即时，最大值为；‎ 当，即时，最大值为 ‎；‎ 当时，最大值为，即 ‎．‎ i）当即时，最大值为；‎ ii）当即时，最大值为；‎ ‎（2）当，，最大值为1．‎ ‎（3）当，在内递增，最大值为．‎ ‎ ‎ 所以的最小值（在时取到）‎ 评注 将绝对值符号去掉后，化为定区间动对称轴的二次函数最大值问题．是关于的一个分段函数，其最小值是各段的最小值之最小值．‎ ‎6.4.13‎‎ ★★★★ 规定表示取、中的较大者，例如，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 求函数的最小值，并求当取最小值时自变量的值．‎ 解析 的含义是，对每一个实数，等于与中的较大者，因为与的图象都能很容易作出，而的图象由的图象及的图象中的上方部分组成．因此）的图象也可画出．‎ 在同一直角坐标系中分别画出与的图像（如图）．两图象有四个交点、、、，它们的横坐标可由方程 解得．去绝对值号，得 或，‎ 解得，，，．由图易见、、、的横坐标顺次是、、、．‎ 按的定义，它的图象为图中的实线部分所示，点的纵坐标为函数的最小值，此最小值为．‎ ‎6.4. 14‎‎ ★★★★ 设函数，对任意正实数，，且 ‎，．‎ 求最小的实数，使得．‎ 解析 先用递推关系推出函数的解析式，然后再求解．‎ 由已知条件得 当时，令，则，此时 即得，．‎ 当时，令，则，于是 以此类推可得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以．‎ 由于，，而，所以，最小的满足的实数．‎ ‎6.5函数的最大值和最小值 ‎6.5.1‎‎ ★★ 设是大于零的常数，且，‎ ‎，．‎ 求的最大值与最小值．‎ 解析 ．下面对一次项系数分两种情况讨论．‎ ‎（1）当时，，于是函数的函数值是随着的增加而增加的，所以当时，取最小值；当时，取最大值．‎ ‎（2）当时，，于是函数的函数值是随着的增加而减少的，所以当时，取最大值；当时，取最小值．‎ ‎6. 5.2‎‎ ★ 已知、、是非负实数，且满足条件 ‎，．‎ 求的最大值和最小值．‎ 解析 设条件给出两个方程，三个未知数、、，当然，、、的具体数值是不能求出的，但是，我们固定其中一个，不妨固定，那么、都可以用来表示，于是便是的函数了．‎ 从已知条件可解得 ‎，．‎ 所以 ‎．‎ 又、均为非负实数，所以 解得．‎ 由于是随着的增加而减小的，所以当时，有最大值130；当时，有最小值120．‎ ‎6.5.3‎‎ ★★★ 实数、、、满足，且，求 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的最大值和最小值．‎ 解析 设，，，则，，且 ‎．‎ 所以 ‎，‎ 所以，‎ 当，时等号成立，故的最大值为25．‎ 又 ‎，‎ 所以，‎ 当，时等号成立，所以的最小值为20．‎ ‎6.5.4‎‎ ‎‎★★ 设，求二次函数在时的最大值和最小值．‎ 解析 因，故函数的对称轴方程为．我们按是否满足（即是否在自变量的取值范围内）分别讨论．‎ ‎（1）当满足时，由于二次函数的二次项系数为负数，故函数在时取得最大值．‎ 由于函数值在时随增大而减小，而在时随增大而增大，故函数在时最小值在或处取得，在这两点处的函数值的较小者就是最小值，注意，若点（0，0）到对称轴的距离比点（1，0）到对称轴的距离近，则函数在处的值便不小于在处的值．否则，函数在处的值就不大于在处的值，因此我们进一步区分两种情况：‎ 若，如图（1），函数在有最小值．‎ 若，如图（2），函数在处有最小值0．‎ ‎（2）当时，如图（3），函数在处有最大值，在处有最小值0．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 综上所述，当时，最大值为，最小值为；当时，最大值为，最小值为；当时，最大值为，最小值为0．‎ ‎6.5.5‎‎ ★★ 如果抛物线与轴的交点为、，顶点为，求三角形的面积的最小值．‎ 解析 首先，‎ ‎．‎ 所以抛物线与轴总有两个交点，设抛物线与轴的交点为、，那么 ‎．‎ 又抛物线的顶点坐标是，‎ 所以 ‎．‎ 当时等号成立．‎ 所以，的面积的最小值为1．‎ ‎6.5.6‎‎ ★★ 已知、是方程 ‎（是实数）的两个实数根，求最大值和最小值．‎ 解析 由于二次方程有实根，所以 ‎，‎ 解得．‎ ‎．‎ 由于在上是减函数，可见当时，有最大值18，当时，有最小值．‎ ‎6.5.7‎‎ ★★ 已知二次函数及实数，求：‎ ‎（1）函数在时的最小值；‎ ‎（2）函数在时的最小值，‎ 解析 由于自变量变化范围内含有参数，因此需分类讨论．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的图象是以为对称轴，开口向上的抛物线（如图）．‎ ‎（1）当时，在对称轴的左侧，此时的最小值在时取到，即为．‎ 当时，的最小值在时取到，即为．‎ ‎（2）因，故．‎ 当，且