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第三节 等腰三角形与直角三角形
1.下列四组线段中,能组成直角三角形的是( )
A.a=1,b=2,c=3 B.a=2,b=3,c=4
C.a=2,b=4,c=5 D.a=3,b=4,c=5
2.(2016·荆门)如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
3.(2016·南充)如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为( )
A.1 B.2 C. D.1+
4.(2016·陕西)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为( )
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A.7 B.8 C.9 D.10
5.(2016·雅安)如图,底边BC为2,顶角A为120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB交AB于点D,则△ACE的周长为( )
A.2+2 B.2+
C.4 D.3
6.(2016·泉州)如图,在Rt△ABC中,E是斜边AB的中点.若AB=10,则CE=________.
7.(2017·乐山)点A,B,C在格点图中的位置如图所示,格点小正方形的边长为1,则点C到线段AB所在直线的距离是________.
8.(2017·北京)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC.
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9.(2017·南充)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )
A.(1,1) B.(,1)
C.(,) D.(1,)
10.(2017·海南)已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
11.(2016·海南)如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿着直线AD对折,点C落在点E的位置.如果BC=6,那么线段BE的长为( )
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A.6 B.6 C.2 D.3
12.(2016·贺州)如图,在△ABC中,分别以AC,BC为边作等边△ACD和等边△BCE,连接AE,BD交于点O,则∠AOB的度数为____________.
13.(2017·常德)如图,已知Rt△ABE中∠A=90°,∠B=60°,BE=10,D是线段AE上的一动点,过点D作CD交BE于C,并使得∠CDE=30°,则CD长度的取值范围是________________.
14.(2017·绥化)在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=BC,则△ABC的顶角的度数为____________________________.
15.(2016·襄阳)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AD=2,∠DAC=30°,求AC的长.
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16.(2017·齐齐哈尔)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC的中点.
(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;
(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.
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17.(2016·北京)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.
(1)求证:BM=MN;
(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
参考答案
【夯基过关】
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1.D 2.C 3.A 4.B 5.A
6.5 7.
8.证明:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC交AC于点D,
∴∠ABD=∠DBC=36°,∠BDC=72°,
∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C,∴AD=BD=BC.
【高分夺冠】
9.D 10.B 11.D
12.120° 13.0<CD≤5 14.30°或150°或90°
15.(1)证明:∵AD平分∠BAC,且BD=CD,
∴AD是BC边上的中线,
∴△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
∴AB=AC.
(2)解:∵AD平分∠BAC,∠DAC=30°,
∴∠BAC=60°.
又由(1)知△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
∴△ABC是等边三角形.
设AC=x,则CD=x.
在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2,
即12+x2=x2,解得x=4.
即AC=4.
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16.(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△BDG和△ADC中,
∴△BDG≌△ADC,
∴BG=AC,∠BGD=∠C.
∵∠ADB=∠ADC=90°,
E,F分别是BG,AC边的中点,
∴DE=BG=EG,DF=AC=AF,
∴DE=DF,∠EDG=∠EGD,∠FDA=∠FAD.
又∵∠FAD+∠C=90°,
∴∠EDG+∠FDA=90°,∴DE⊥DF.
(2)解:∵AC=10,∴DE=DF=5,
由勾股定理得EF==5.
17.(1)证明:∵点M是AC的中点,∴BM=AC.
∵M,N分别为AC,CD的中点,∴MN=AD.
又∵AC=AD,∴BM=MN.
(2)解:∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,
∴∠DAC=30°,∠BAC=30°,∴∠BCA=60°.
∵BM=AC=MC=1,
∴△BMC是等边三角形,∴∠BMC=60°.
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∵M,N分别为AC,CD的中点,AD=AC=2,
∴MN∥AD,MN=1,
∴∠CMN=∠CAD=30°,
∴∠BMN=∠BMC+∠CMN=90°,
∴BN==.
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