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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 全章热门考点整合应用 名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．‎ ‎. 3个概念 成比例线段 ‎1．下列各组线段，是成比例线段的是(　　)[来源:Z&xx&k.Com]‎ A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C．3 cm，9 cm，6 cm，1.8 dm D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm ‎2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两条边的实际长度都是________m.‎ 相似多边形 ‎3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．‎ ‎(第3题)‎ 位似图形 ‎4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第4题)‎ ‎ 2个性质　　　　　　　　　　　　　　‎ 平行线分线段成比例的性质 ‎5．【2017·杭州】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(　　)‎ ‎(第5题)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ‎6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.‎ ‎(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？‎ ‎(第6题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 相似三角形的性质 ‎7．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.‎ ‎(1)求证：△ABC∽△FCD；‎ ‎(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．‎ ‎(第7题)‎ ‎ 1个判定——相似三角形的判定 ‎8．【2017·怀化】如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB＝AD，AC＝CD.‎ ‎(1)求证：△ACD∽△BAD；‎ ‎(2)求证：AD是⊙O的切线．‎ ‎(第8题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎9．如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.‎ ‎(1)求证：△PAC∽△PDF；[来源:学科网]‎ ‎(2)若AB＝5，＝，求PD的长．‎ ‎(第9题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 2个应用 测高的应用 ‎10．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？‎ ‎(第10题)‎ 测宽的应用 ‎11．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．‎ ‎(第11题)‎ ‎ 1个作图——作一个图形的位似图形 ‎12．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第12题)‎ ‎ 1个技巧 ——证明四条线段成比例的技巧 ‎13．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.‎ ‎(1)求∠PAQ的度数；‎ ‎(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.‎ ‎(第13题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案 ‎1．C ‎2．20‎ ‎3．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．由已知条件知，∠ADC＝∠A′D′C′，∠C＝∠C′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠A＝∠A′，且＝＝＝＝，所以四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．‎ ‎4．解：如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点B′作B′N⊥x轴于点N，则△CBM∽△CB′N.所以MCNC＝BMB′N＝BCB′C.又由已知条件知NC＝a＋1，B′N＝－b，BCB′C＝12，所以MC(a＋1)＝BM(－b)＝12.所以MC＝(a＋1)，BM＝－.所以MO＝(a＋1)＋1＝.所以点B的坐标为.‎ ‎(第4题)‎ ‎5．B ‎6．解：(1)∵DE∥BC，∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴y＝－x＋6(0≤x≤4)．‎ ‎(2)∵S△BDE＝·BD·AE＝·2x·y＝·2x·＝－(x－2)2＋6，∴当x＝2时，S△BDE有最大值，最大值为6.‎ ‎7．(1)证明：如图，∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，‎ ‎∴EB＝EC，∴∠B＝∠1.‎ 又∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠2.‎ ‎∴△ABC∽△FCD.‎ ‎(2)解：如图，过点A作AM⊥CB于点M.‎ ‎∵D是BC边上的中点，∴BC＝2CD.‎ 由(1)知△ABC∽△FCD，∴＝＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.‎ ‎∵S△ABC＝BC·AM，∴AM＝＝＝4.‎ ‎∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴DE∥AM，‎ ‎∴△BDE∽△BMA.∴＝.‎ 由AD＝AC，AM⊥BC，知DM＝CD＝BC＝.‎ ‎∴＝，∴DE＝.‎ 点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．‎ ‎(第7题)‎ ‎8．证明：(1)∵AB＝AD，‎ ‎∴∠B＝∠D.‎ ‎∵AC＝CD，‎ ‎∴∠CAD＝∠D.‎ ‎∴∠CAD＝∠B.‎ 又∵∠D＝∠D，‎ ‎∴△ACD∽△BAD.‎ ‎(2)如图，连接OA.‎ ‎(第8题)‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠B＝∠OAB.‎ ‎∴∠OAB＝∠CAD.‎ ‎∴∠OAB＋∠OAC＝∠CAD＋∠OAC，‎ 即∠BAC＝∠OAD.‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAC＝90°.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠OAD＝90°，即OA⊥AD.‎ ‎∴AD是⊙O的切线．‎ ‎9．(1)证明：由四边形APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B.‎ 又∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，‎ 所以∠APD＝∠FPC，所以∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，‎ 即∠APC＝∠DPF.‎ 又∠PAC＝∠PDF，‎ 所以△PAC∽△PDF.‎ ‎(2)解：由(1)知△PAC∽△PDF，所以∠PCA＝∠PFD.‎ 又∠PAC＝∠CAF，‎ 所以△PAC∽△CAF，所以△CAF∽△PDF，‎ 所以＝，则PD·AF＝AC·DF.‎ 由AB＝5，AC＝2BC，∠ACB＝90°，知BC＝，AC＝2.‎ 由OE⊥CD，∠ACB＝90°知CB2＝BE·AB，CE＝DE.‎ 所以BE＝＝＝1.‎ 所以AE＝4，CE＝＝＝2，‎ 所以DE＝2.‎ 又＝，∠AFD＝∠PCA，所以∠AFD＝∠PCA＝45°.‎ 所以FE＝AE＝4，AF＝4，‎ 所以PD＝＝＝.‎ ‎10．解：(方法一：作延长线)延长AD，与地面交于点M，如图①.‎ 由AM∥FH知∠AMB＝∠FHG.‎ 又因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG，‎ 所以△ABM∽△DCM∽△FGH，所以＝＝.[来源:学|科|网]‎ 因为CD＝2 m，FG＝1.2 m，GH＝2 m，‎ ‎(第10题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以＝，解得CM＝ m.‎ 因为BC＝4 m，所以BM＝BC＋CM＝4＋＝(m)．‎ 所以＝，解得AB＝4.4 m.‎ 故这棵树的高度是4.4 m.‎ ‎(方法二：作垂线)过点D作DM⊥AB于点M，如图②.‎ 所以＝.‎ 而DM＝BC＝4 m，AM＝AB－CD＝AB－2(m)，‎ FG＝1.2 m，GH＝2 m，‎ 所以＝，解得AB＝4.4 m.‎ 故这棵树的高度是4.4 m.‎ ‎11．解：如图，过点A作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC于点G.‎ ‎∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.‎ ‎∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴＝，∴＝.‎ 解得AG＝75 m，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45(m)．‎ 即河的宽度为45 m.‎ ‎(第11题)‎ ‎　　(第12题)‎ ‎12．思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为原来的一半，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 可确定C′O＝CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．‎ 解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．‎ 点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及相似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎13．思路导引：(1)由角平分线的定义及∠BAD为平角直接可得．(2)由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ACM与△ABM相似即可．‎ ‎(1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝∠BAC.‎ 又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝∠CAD.‎ ‎∴∠PAC＋∠CAQ＝∠BAC＋∠CAD＝(∠BAC＋∠CAD)．‎ 又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，‎ ‎∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.‎ ‎(2)证明：由(1)知∠PAQ＝90°，‎ 又∵M是线段PQ的中点，[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM.‎ ‎∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，‎ ‎∠BAP＝∠PAC，‎ ‎∴∠B＝∠CAM.‎ 又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.‎ ‎∴＝，∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM.‎ 点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费