专训3　相似三角形与函数的综合应用.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专训3　相似三角形与函数的综合应用 名师点金：‎ 解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．‎ ‎ 相似三角形与一次函数 ‎1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A(3，0)，B(0，)两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D.‎ ‎(1)求直线AB对应的函数解析式；‎ ‎(2)若S梯形OBCD＝，求点C的坐标；‎ ‎(3)在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎(第1题)‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎ 相似三角形与二次函数 ‎2．如图，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C(1，0)三点．‎ ‎(1)求抛物线对应的函数解析式；[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ADP相似，求出点P的坐标．‎ ‎(第2题)[来源:学科网]‎ ‎3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C处，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．‎ ‎(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；‎ ‎(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎(第3题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 相似三角形与反比例函数 ‎4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝(x>0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.‎ ‎(1)求k的值及点E的坐标；‎ ‎(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．‎ ‎(第4题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案 ‎1．解：(1)设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b，将A(3，0)，B(0，)的坐标分别代入得解得 ‎∴直线AB对应的函数解析式为y＝－x＋.‎ ‎(2)设点C的坐标为，[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:Z&xx&k.Com]‎ 那么OD＝x，CD＝－x＋.‎ ‎∴S梯形OBCD＝＝－x2＋x.‎ 由题意得－x2＋x＝，解得x1＝2，x2＝4(舍去)．‎ ‎∴C.‎ ‎(3)存在．当∠OBP＝90°时，如图①.易知OB＝，OA＝3.‎ ‎(第1题①)‎ Ⅰ.若△BOP1∽△OBA，则＝，∴BP1＝OA＝3，‎ ‎∴P1(3，)．‎ Ⅱ.若△BP2O∽△OBA，则＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎∴BP2＝＝1，∴P2(1，)．‎ 当∠OPB＝90°时，‎ Ⅲ.若△P3BO∽△OBA(如图②)，过点P3作P3M⊥OA于点M.‎ ‎(第1题②)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则＝＝ 又易知AB＝2，∴P3B＝＝，P3O＝＝.‎ ‎∴P3A＝2－＝.‎ ‎∵OP3·P3A＝P3M·OA，∴P3M＝.‎ ‎∴OM＝.∴P3.‎ Ⅳ.若△P4OB∽△OBA(如图③)，则＝，∴P4O＝.‎ 又易得P4在P3M上，∴P4M＝.‎ ‎(第1题③)‎ ‎∴P4.‎ 当∠BOP＝90°时，点P在x轴上，不符合要求．‎ 综上得，符合条件的点有四个，分别是：‎ P1(3，)，P2(1，)，P3，P4.‎ ‎2．解：(1)由题意得A(3，0)，B(0，3)，∵抛物线经过A，B，C三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得方程组解得∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－4x＋3.‎ ‎(2)如图，由题意可得△ABO为等腰直角三角形．若△ABO∽△AP1D，则＝，∴DP1＝AD＝4，∴P1(－1，4)；若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，∵△ABO为等腰直角三角形，∴△ADP2是等腰直角三角形，∴DM＝AM＝2＝P2M，即点M与点C重合，∴P2(1，2)，∴点P的坐标为(－1，4)或(1，2)．‎ ‎(第2题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3．解：(1)易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)．‎ 设直线BD对应的函数解析式为y＝kx＋m.‎ 把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入y＝kx＋m，‎ 得解得 ‎∴直线BD对应的函数解析式为y＝－2x＋2.‎ ‎∵抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋bx＋c，‎ ‎∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，‎ 得解得 ‎∴抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋x＋2.‎ ‎(2)存在，①如图①，当△MON∽△BCO时，＝，即＝，∴MN＝2ON.设ON＝a，则M(a，2a)，∴－a2＋a＋2＝2a，解得a1＝－2(不合题意，舍去)，a2＝1，∴M(1，2)；‎ ‎②如图②，当△MON∽△CBO时，＝，即＝，∴MN＝ON.设ON＝n，则M，∴－n2＋n＋2＝，解得n1＝(不合题意，舍去)，n2＝，∴M(，)．‎ ‎∴点M的坐标为(1，2)或.‎ ‎(第3题)‎ ‎4．解：(1)在矩形OABC中，∵点B的坐标为(2，3)，∴BC边的中点D的坐标为(1，3)．∵双曲线y＝(x＞0)经过点D(1，3)，∴3＝，∴k＝3，∴双曲线对应的函数解析式为y＝.∵点E在AB上，∴点E的横坐标为2.又∵双曲线y＝经过点E，∴点E的纵坐标为y＝，∴点E的坐标为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)易得BD＝1，BE＝，CB＝2.∵△FBC∽△DEB，∴＝，即＝，∴CF＝，∴OF＝，即点F的坐标为.设直线FB对应的函数解析式为y＝k1x＋b，而直线FB经过B(2，3)，F，∴k1＝，b＝，∴直线FB对应的函数解析式为y＝x＋.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费