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专训1 巧用“基本图形”探索相似条件
名师点金：
几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：
2．相交线型
1.平行线型
3．子母型
4．旋转型
平行线型[来源:学#科#网Z#X#X#K]
1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证：AE·BC＝BD·AC；
(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．
(第1题)
[来源:学科网ZXXK]
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相交线型
2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且＝，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．
(第2题)
[来源:Zxxk.Com][来源:学,科,网Z,X,X,K]
子母型
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：＝.
(第3题)
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旋转型
4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：
(1)△ADE∽△ABC；
(2)＝.
(第4题)
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答案
1．(1)证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∴＝.
∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.
∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.
∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴＝，
即AE·BC＝BD·AC.
(2)解：∵＝，∴＝.∴＝.
∵△ADE∽△ABC，∴＝＝.
∵DE＝6，∴BC＝10.
2．解：相似．理由如下：因为＝，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO，所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.
3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAC＝∠ADB＝90°.
又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，∴△ABC∽△DBA.
∴＝，∠BAD＝∠C.
∵AD⊥BC，E为AC的中点，∴DE＝EC.
∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.
又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF.
∴＝.∴＝.
[来源:Zxxk.Com]
(第3题)
点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥
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AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB＝AF·AC.
4．证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE.
∴∠DAE＝∠BAC.
又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，∴＝.
∵∠DAB＝∠EAC，
∴△ADB∽△AEC.∴＝.
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