第一章特殊的平行四边形专项测试题(五)
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、下列命题中，真命题是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形
2、下列四个命题中，真命题是（）．
A. 四边都相等的四边形是正方形
B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3、在平行四边形中，下列条件不能判断平行四边形是菱形的是（）．
A.
B.
C.
D.
4、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（ ).
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
5、如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、如图，正方形的边长为，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9、如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点、分别在、上，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
10、如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
11、如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，．给出如下结论：
①；②四边形为菱形；③；④；其中正确结论的是（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
12、如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形
只需要满足一个条件，是（ ）
A. 四边形是梯形
B. 四边形是菱形
C. 对角线
D.
13、如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
14、如图所示，设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
15、如图，已知号、号两个正方形的面积和为，号、号两个正方形的面积和为，则这个正方形的面积和为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、如图，在菱形中，对角线、交于点，为边的中点，若菱形的周长为，则的长为 ．
17、在正方形内取一点，使是等边三角形，那么的度数是 .
18、1.正方形的定义
有一组邻边 且一个角是 的平行四边形叫做正方形。
19、如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快 后，四边形成为矩形．
20、图，在中，点是的中点，点，分别在线段及其延长线上，且．给出下列条件：①；②；③；从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是________（只填写序号）．
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为
，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，点在轴的右侧．
当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；
22、如图，正方形的边长为，以对角线为边作菱形，点、、在同一直线上．
求的长．
23、已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点，
(1) 求证：四边形为矩形．
(2) 当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．
第一章特殊的平行四边形专项测试题(五) 答案部分
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、下列命题中，真命题是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【解析】解：两条对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，该选项命题错误；
两条对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，该选项命题错误；
两条对角线互相垂直且相等且互相平分的四边形是才正方形，该选项命题错误；
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，该命题正确.
故答案为：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2、下列四个命题中，真命题是（）．
A. 四边都相等的四边形是正方形
B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【解析】解：
对角线互相垂直平分的四边形可能是菱形也可能是正方形，不是真命题，
对角线互相垂直且相等的四边形可能是菱形也可能是正方形，不是真命题，
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题，
四边都相等的四边形可能是是菱形也可能是正方形，不是真命题，
故答案为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
3、在平行四边形中，下列条件不能判断平行四边形是菱形的是（）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：
，一组邻边相等的平行四边形是菱形，
不符合题意；
，对角线相等的平行四边形是矩形，而不是菱形，
符合题意；
，可推导出一组邻边相等，
不符合题意；
，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
符合题意．
故答案为：．
4、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（ ).
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
【答案】C
【解析】解：
由题意知，，，
四边形是平行四边形，
.
四边形为矩形，矩形的对角线相等，
，
，
平行四边形是菱形.
故答案为：菱形.
5、如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：
，
，
与面积相等，
设，则，
，
，
解得，
．
6、如图，正方形的边长为，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
．
在、、和中，
，
（），
，，
四边形是菱形，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
四边形的面积是：，
7、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：连结，如图所示：
，，，
，
，，
四边形是矩形，
．
是的中点，
，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
当时，，
最短时，，
当最短时，．
8、如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：四边形为平行四边形，
，且，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
，，，平行四边形为矩形；
，，四边形不能为矩形；
，，平行四边形为矩形；
，，平行四边形为矩形．
9、如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点、分别在、上，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：四边形的四边都相等，
四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，，
，，
，，
由三角形的内角和定理得：，
设，则，
，
，
解得：，
．
10、如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：连结，与交于点，如图，
平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
同理：，
又，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
．
11、如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，．给出如下结论：
①；②四边形为菱形；③；④
；其中正确结论的是（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
【答案】C
【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，，
为的中点，
，
，
，
，
，
，故①正确，
，，
，
是的中点，
，
，，
，故④说法正确；
，，
，，
，
，
，
，
，
（），
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形不是菱形；故②说法不正确；
，
，
，则，故③说法正确．
12、如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足一个条件，是（ ）
A. 四边形是梯形
B. 四边形是菱形
C. 对角线
D.
【答案】D
【解析】解：在四边形中，、、、别是、、、的中点，
，，
；
同理，，
四边形是平行四边形；
若四边形是梯形时，，则，这与平行四边形的对边相矛盾；
若四边形是菱形时，点四点共线；
若对角线时，四边形可能是等腰梯形；
当时，；所以平行四边形是菱形；
13、如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：四边形为菱形，
，，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
．
14、如图所示，设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，
正方形应是N的一部分，也是的一部分，
矩形形、正方形、菱形都属于平行四边形，
它们之间的关系是：．
15、如图，已知号、号两个正方形的面积和为，号、号两个正方形的面积和为，则这个正方形的面积和为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：
如下图所示：
三个四边形均为正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
正方形的面积等于正方形的面积加上正方形的面积，
即，
同理可得出：，
．
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、如图，在菱形中，对角线、交于点，为边的中点，若菱形的周长为，则的长为 ．
【答案】4
【解析】
解：
四边形是菱形，
，，
，
又，
，
在中，是斜边上的中线，
，
故答案为：．
17、在正方形内取一点，使是等边三角形，那么的度数是 .
【答案】75
【解析】解：四边形为正方形，
，，
又是等边三角形，
，，
，，
,
.
，
.
正确答案为：.
18、1.正方形的定义
有一组邻边 且一个角是 的平行四边形叫做正方形。
【答案】相等，直角
【解析】解:有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
故答案是,相等,直角.
19、如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和
，则最快 后，四边形成为矩形．
【答案】4
【解析】解：设最快秒，是矩形，，
要使是矩形，则，
得 ．
解得．
20、图，在中，点是的中点，点，分别在线段及其延长线上，且．给出下列条件：①；②；③；从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是________（只填写序号）．
【答案】③
【解析】解：由题意得：，，
四边形是平行四边形，
①，根据这个条件只能得出四边形是矩形，
②，根据是平行四边形已可以得出，因此不能根据此条件得出菱形，
③，
，
，
，
（），
，
四边形是菱形．
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，点在轴的右侧．
当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；
【解析】解：
，，
四边形梯形．
从面积分析知，直线只能与边或相交，所有有两种情况：
①当直线边相交于点时，则，
，
，点，
过点和的直线的解析式为．
②当直线边相交于点时，同理可得点，
过点和的直线的解析式为．
综上所述，直线的函数表达式为或．
22、如图，正方形的边长为，以对角线为边作菱形，点、、在同一直线上．
求的长．
【解析】解：过点作，交的延长线于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
则，
在中，，
即，
即，
解得：或（舍去），
，
．
23、已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点，
(1) 求证：四边形为矩形．
【解析】证明：在中，，，
，
是外角的平分线，
，
，
又，，
，
四边形为矩形．
(2) 当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．
【解析】解：当满足时，四边形是一个正方形．
理由：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
当时，四边形是一个正方形．
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