第一章特殊的平行四边形专项测试题(二)
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、在菱形中，对角线，相交于点，则图中全等的直角三角形共有( )
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
2、下列四个命题中，真命题是（）．
A. 四边都相等的四边形是正方形
B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3、如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（）．
A. 与互相垂直平分
B. 且
C. 且
D. 且
4、下列说法中错误的是（ ）.
A. 对角线垂直的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 四条边相等的四边形是正方形
D. 四个角相等的四边形是矩形
5、如图，在矩形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，则图中的全等三角形共有（）.
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
6、 在中， ，是边上一点，交于点，交于点，若要使四边形是菱形，只需添加条件( ).
A.
B.
C.
D.
7、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（ ).
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
8、下列命题中，真命题是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形
9、用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④等腰三角形 ⑤等边三角形，一定能拼成的图形是
A. ①②④
B. ①②③
C. ①②⑤
D. ①④⑤
10、设、表示两个集合，我们规定“”表示与的公共部分，并称之为与的交集．例如：若正数，整数，则正整数．若矩形，菱形，则所对应的集合是（ ）
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四边形
11、如图所示，已知四边形的对角线、相交于点，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A. ，
B. ，，
C.
D. ，
12、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
13、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
14、如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点、分别在、上，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
15、如图所示，设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、边长为的正方形，对角线的长为______.
17、有一组 相等的 四边形是菱形.
18、1.正方形的定义
有一组邻边 且一个角是 的平行四边形叫做正方形。
19、如果菱形的两对角线分别为和，则它的面积是 ．
20、如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快 后，四边形成为矩形．
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、如图，在正方形中，已知是对角线上一点，连接、，延长到，使.求证：.
22、在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若，求证：平分．
23、如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，在上，并且．
(1) 求证：四边形是平行四边形．
(2) 求证：四边形是平行四边形．
(3) 当满足什么条件时，四边形是菱形？请回答并证明你的结论．
第一章特殊的平行四边形专项测试题(二) 答案部分
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、在菱形中，对角线，相交于点，则图中全等的直角三角形共有( )
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
【答案】D
【解析】解：四边形是菱形
，，，
，
，
，，
，，
，.
即图中全等的直角三角形共有对.
2、下列四个命题中，真命题是（）．
A. 四边都相等的四边形是正方形
B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【解析】解：
对角线互相垂直平分的四边形可能是菱形也可能是正方形，不是真命题，
对角线互相垂直且相等的四边形可能是菱形也可能是正方形，不是真命题，
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题，
四边都相等的四边形可能是是菱形也可能是正方形，不是真命题，
故答案为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
3、如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（）．
A. 与互相垂直平分
B.
且
C. 且
D. 且
【答案】C
【解析】解：
且，只能证明四边形是菱形，
且错误，
且，能证明四边形是正方形，
且正确，
且，只能证明四边形是矩形，
且错误，
与互相垂直平分，只能证明四边形是菱形，
与互相垂直平分错误，
故答案为：且．
4、下列说法中错误的是（ ）.
A. 对角线垂直的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 四条边相等的四边形是正方形
D. 四个角相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】解：四个角相等的四边形则每个角为90°，所以是矩形，该说法正确，不符合题意；
四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该说法错误，符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，该说法正确，不符合题意；
对角线垂直的矩形是正方形，该说法正确，不符合题意．
故正确答案选：四条边相等的四边形是正方形.
5、如图，在矩形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，则图中的全等三角形共有（）.
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
【答案】A
【解析】解：由矩形可知,
为的中点，
，
在和中，
,，，
，
，
由矩形得，
，
由，，可得：
，
由矩形得：
，，
在和中，
，，，
，
综上可知图中全等的三角形共有对.
故正确答案是：对.
6、 在中， ，是边上一点，交于点，交于点，若要使四边形是菱形，只需添加条件( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：只需添加
，
四边形是平行四边形
四边形是菱形
故正确答案是：
7、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（ ).
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
【答案】C
【解析】解：
由题意知，，，
四边形是平行四边形，
.
四边形为矩形，矩形的对角线相等，
，
，
平行四边形是菱形.
故答案为：菱形.
8、下列命题中，真命题是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【解析】解：两条对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，该选项命题错误；
两条对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，该选项命题错误；
两条对角线互相垂直且相等且互相平分的四边形是才正方形，该选项命题错误；
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，该命题正确.
故答案为：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
9、用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④等腰三角形 ⑤等边三角形，一定能拼成的图形是
A. ①②④
B. ①②③
C. ①②⑤
D. ①④⑤
【答案】A
【解析】如图，用两个完全相同的直角三角形首先可以拼成平行四边形、矩形和等腰三角形
因为该直角三角形不一定有60°内角，所以不一定能拼成等边三角形，因为该直角三角形不一定有两条边相等，所以不一定能拼成菱形，故一定能拼成的只有平行四边形、矩形和等腰三角形
故①②④正确
10、设、表示两个集合，我们规定“”表示与的公共部分，并称之为与的交集．例如：若正数，整数，则正整数．若矩形，菱形，则所对应的集合是（ ）
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四边形
【答案】A
【解析】解：“”表示与的公共部分，
矩形，菱形，
则既是矩形又是菱形的为正方形，则
正方形．
11、如图所示，已知四边形的对角线、相交于点，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A. ，
B. ，，
C.
D. ，
【答案】D
【解析】解：且AC、BD互相平分可判定为菱形，再由AC=BD判定为正方形．
12、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：连结，如图所示：
，，，
，
，，
四边形是矩形，
．
是的中点，
，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
当时，，
最短时，，
当最短时，．
13、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：可添加，
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，
，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
四边形是矩形，
14、如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点、分别在、上，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：四边形的四边都相等，
四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，，
，，
，，
由三角形的内角和定理得：，
设，则，
，
，
解得：，
．
15、如图所示，设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，
正方形应是N的一部分，也是的一部分，
矩形形、正方形、菱形都属于平行四边形，
它们之间的关系是：．
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、边长为的正方形，对角线的长为______.
【答案】
【解析】解：如图所示：
四边形是正方形，
，.
在直角中，
，
由勾股定理得：.
故答案为：.
17、有一组 相等的 四边形是菱形.
【答案】邻边；平行
【解析】解：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
故正确答案是：邻边；平行.
18、1.正方形的定义
有一组邻边 且一个角是 的平行四边形叫做正方形。
【答案】相等，直角
【解析】解:有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
故答案是,相等,直角.
19、如果菱形的两对角线分别为和，则它的面积是 ．
【答案】10
【解析】解：棱形的对角线互相垂直，则它的面积
20、如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快 后，四边形成为矩形．
【答案】4
【解析】解：设最快秒，是矩形，，
要使是矩形，则，
得 ．
解得．
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、如图，在正方形中，已知是对角线上一点，连接、，延长到，使.求证：.
【解析】证明：
正方形中，，.
又，
.
.
又，
，
.
22、在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接．
(1) 求证：四边形是矩形；
【解析】证明：
四边形是平行四边形，
．
，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形．
(2) 若，求证：平分．
【解析】解：
四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即平分．
23、如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，在上，并且．
(1) 求证：四边形是平行四边形．
【解析】解：是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
与互余，与互余
，
，
又，
和都是等腰三角形，
，
，
在和中
，
（），
四边形是平行四边形．
(2) 求证：四边形是平行四边形．
【解析】解：是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
与互余，与互余
，
，
又，
和都是等腰三角形，
，
，
在和中
，
（），
四边形是平行四边形．
(3) 当满足什么条件时，四边形是菱形？请回答并证明你的结论．
【解析】解：当时，四边形是菱形．
证明如下：
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
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