第一章特殊的平行四边形专项测试题(一)
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、下面给出的条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
A. 一组对边相等，对角线垂直
B. 两组对角分别相等，一条对角线平分一组对角
C. 两组邻边相等，一条对角线平分一组对角
D. 四个角都相等，一组对边相等
2、下列说法中错误的是（ ）.
A. 对角线垂直的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 四条边相等的四边形是正方形
D. 四个角相等的四边形是矩形
3、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）.
A. 对角线互相垂直
B. 对角线平分每一组对角
C. 对角线互相平分
D. 对角线相等
4、菱形是轴对称图形，它的对称轴有（）条.
A.
B.
C.
D.
5、能判别一个四边形是正方形的条件是（ ）.
A. 一组邻边相等且对角线互相平分.
B. 对角线互相垂直平分且相等.
C. —组对边平行，一组对角相等.
D. 对角线相等，对边平行且相等.
6、 在中， ，是边上一点，交于点，交于点，若要使四边形是菱形，只需添加条件( ).
A.
B.
C.
D.
7、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（ ).
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
8、如图，已知，，垂足为，使四边形为矩形，可添加的一个条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
9、下列命题中，真命题是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形
10、设、表示两个集合，我们规定“”表示与的公共部分，并称之为与的交集．例如：若正数，整数，则正整数．若矩形，菱形，则所对应的集合是（ ）
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四边形
11、下列命题中，真命题是（ ）
A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等的四边形是矩形
12、如图所示，已知四边形的对角线、相交于点，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A. ，
B. ，，
C.
D. ，
13、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
14、将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图，测得，当时，如图，（ ）
A.
B.
C.
D.
15、如图所示，设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、已知矩形的一条对角线长，则另一条对角线的一半是 .
17、有一组 相等的 四边形是菱形.
18、1.正方形的定义
有一组邻边 且一个角是 的平行四边形叫做正方形。
19、如果菱形的两对角线分别为和，则它的面积是 ．
20、如图是“赵爽弦图”，、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，那么等于 ．
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、如图，在菱形中，若，，、分别是垂足，则与相等吗？说说你的理由.
22、如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1) 请画出关于直线作轴对称变换得到的，求的坐标.
(2) 将四边形向左平移个单位得四边形．则四边形与四边形重叠部分图形的形状是什么？它的面积是多少？
23、已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点，
(1) 求证：四边形为矩形．
(2) 当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．
第一章特殊的平行四边形专项测试题(一) 答案部分
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、下面给出的条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
A. 一组对边相等，对角线垂直
B. 两组对角分别相等，一条对角线平分一组对角
C. 两组邻边相等，一条对角线平分一组对角
D. 四个角都相等，一组对边相等
【答案】B
【解析】解：
菱形的特征：对边平行且相等，对角线互相垂直平分，对角线平分对角，对角相等，邻角互补；
两组对角分别相等可判定平行四边形，一条对角线平分一组对角可判定邻边相等，邻边相等的平行四边形是菱形；
故两组对角分别相等，一条对角线平分一组对角这一选项正确。
2、下列说法中错误的是（ ）.
A. 对角线垂直的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 四条边相等的四边形是正方形
D. 四个角相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】解：四个角相等的四边形则每个角为90°，所以是矩形，该说法正确，不符合题意；
四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该说法错误，符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，该说法正确，不符合题意；
对角线垂直的矩形是正方形，该说法正确，不符合题意．
故正确答案选：四条边相等的四边形是正方形.
3、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）.
A. 对角线互相垂直
B. 对角线平分每一组对角
C. 对角线互相平分
D. 对角线相等
【答案】C
【解析】解：
对角线相等.菱形不具有，此选项错误.
对角线互相平分.矩形、菱形、正方形都具有，此选项正确.
对角线平分每一组对角.矩形不具有，此选项错误.
对角线互相垂直.矩形不具有，此选项错误.
故正确答案是对角线互相平分.
4、菱形是轴对称图形，它的对称轴有（）条.
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：根据菱形的性质及轴对称图形的定义可知菱形有条对称轴，
这两条对称轴为菱形的两条对角线.
故正确答案是：.
5、能判别一个四边形是正方形的条件是（ ）.
A. 一组邻边相等且对角线互相平分.
B. 对角线互相垂直平分且相等.
C. —组对边平行，一组对角相等.
D. 对角线相等，对边平行且相等.
【答案】B
【解析】解：
对角线相等、对边平行且相等的四边形是矩形，邻边相等的矩形才是正方形；
”一组对边平行、一组对角相等“不能判定四边形是平行四边形，因而不能判定四边形是正方形；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形；
一组邻边相等且对角线互相平分是菱形.
故答案应选：对角线互相垂直平分且相等.
6、 在中， ，是边上一点，交于点，交于点，若要使四边形是菱形，只需添加条件( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：只需添加
，
四边形是平行四边形
四边形是菱形
故正确答案是：
7、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（ ).
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
【答案】C
【解析】解：
由题意知，，，
四边形是平行四边形，
.
四边形为矩形，矩形的对角线相等，
，
，
平行四边形是菱形.
故答案为：菱形.
8、如图，已知，，垂足为，使四边形为矩形，可添加的一个条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：
当时
易证
又
四边形为平行四边形
又
平行四边形为矩形
9、下列命题中，真命题是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【解析】解：两条对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，该选项命题错误；
两条对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，该选项命题错误；
两条对角线互相垂直且相等且互相平分的四边形是才正方形，该选项命题错误；
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，该命题正确.
故答案为：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
10、设、表示两个集合，我们规定“”表示与的公共部分，并称之为与的交集．例如：若正数，整数，则正整数．若矩形，菱形，则所对应的集合是（ ）
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四边形
【答案】A
【解析】解：“”表示与的公共部分，
矩形，菱形，
则既是矩形又是菱形的为正方形，则
正方形．
11、下列命题中，真命题是（ ）
A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【解析】解：
两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误．
12、如图所示，已知四边形的对角线、相交于点，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A. ，
B. ，，
C.
D. ，
【答案】D
【解析】解：且AC、BD互相平分可判定为菱形，再由AC=BD判定为正方形．
13、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：连结，如图所示：
，，，
，
，，
四边形是矩形，
．
是的中点，
，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
当时，，
最短时，，
当最短时，．
14、将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图，测得，当时，如图，（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：
如图，，
四边形是正方形，
连接，则，
，
如图，，连接，
为等边三角形，
．
15、如图所示，设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，
正方形应是N的一部分，也是的一部分，
矩形形、正方形、菱形都属于平行四边形，
它们之间的关系是：．
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、已知矩形的一条对角线长，则另一条对角线的一半是 .
【答案】4
【解析】解：
根据矩形的对角线相等，另一条对角线长，则另一条对角线的一半是.
故正确答案是.
17、有一组 相等的 四边形是菱形.
【答案】邻边；平行
【解析】解：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
故正确答案是：邻边；平行.
18、1.正方形的定义
有一组邻边 且一个角是 的平行四边形叫做正方形。
【答案】相等，直角
【解析】解:有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
故答案是,相等,直角.
19、如果菱形的两对角线分别为和，则它的面积是 ．
【答案】14
【解析】解：棱形的对角线互相垂直，则它的面积
20、如图是“赵爽弦图”，、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，那么等于 ．
【答案】6
【解析】解：
，
大正方形的面积是，小正方形的面积是，
四个直角三角形面积和为，设为，为，即，
，
，
，
，
解得：，
，
．
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、如图，在菱形中，若，，、分别是垂足，则与相等吗？说说你的理由.
【解析】解：
.
菱形，
，，
又，，
，
.
.
答：与相等.
22、如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1) 请画出关于直线作轴对称变换得到的，求点的坐标.
【解析】解：（1）所作图形如下：
点的坐标为．
(2) 将四边形向左平移个单位得四边形．则四边形与四边形重叠部分图形的形状是什么？它的面积是多少？
【解析】解：重叠图形为四边形，
则四边形与四边形重叠部分图形的形状为菱形，它的面积为．
23、已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点，
(1) 求证：四边形为矩形．
【解析】证明：在中，，，
，
是外角的平分线，
，
，
又，，
，
四边形为矩形．
(2) 当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．
【解析】解：当满足时，四边形是一个正方形．
理由：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
当时，四边形是一个正方形．
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