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课时训练(二十七)与圆有关的计算
|夯 实 基 础|
一、选择题
1．[2017·天门]一个扇形的弧长是10π cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是( )
A．300° B．150°
C．120° D．75°
2．120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是( )
A．3 B．4 C．9 D．18
3．若圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
4．[2016·长春]如图K27－1，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为( )
A.π B．π
C.π D.π
图K27－1
图K27－2
5．[2017·湘潭]如图K27－2，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积是( )
A．4π－4 B．2π－4
C．4π D．2π
图K27－3
6．2015·日照如图K27－3，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于点D，则阴影部分的面积为(结果保留π)( )
A．24－4π B．32－4π
C．32－8π D．16
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二、填空题
7．[2017·温州]已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为________．
8．[2017·酒泉]如图K27－4，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则的长等于________．(结果保留π)
图K27－4
图K27－5
9．[2017·安徽]如图K27－5，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC，BC分别交于D，E两点，则劣弧的长为________．
图K27－6
10．[2017·岳阳]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d.如图K27－6所示，当n＝6时，π≈＝＝3，那么当n＝12时，π≈＝________．(结果精确到0.01，参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259)
三、解答题
11．[2017·郴州]如图K27－7，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA＝3.
(1)求证：AB平分∠OAD；
(2)若点E是优弧上一点，且∠AEB＝60°，求扇形OAB的面积．(计算结果保留π)
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图K27－7
12．[2017·长沙]如图K27－8，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，＝.
(1)求证：OA＝OB；
(2)已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．
图K27－8
13．[2016·盐城]如图K27－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝2 .以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E、交AB于点F.
(1)求∠ABE的大小及的长度；
(2)在BE的延长线上取一点G，使得上的一个动点P到点G的最短距离为2 －2，求BG的长．
图K27－9
|拓 展 提 升|
图K27－10
14．[2015·天水]如图K27－10，△ABC是等边三角形，曲线CDEF叫作等边三角形的渐开线，其中，，的圆心依次是点A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是________．
15．[2017·盐城]如图K27－11，△ABC是一块直角三角板，且∠C＝90°，∠A＝30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
(1)如图①，当圆形纸片与两直角边AC，BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；(不写作法与证明，保留作图痕迹)
(2)如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止．若BC＝9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．
图K27－11
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参考答案
1．B [解析] 根据S扇形＝l弧长r，求得半径r＝12，由弧长公式l＝，得10π＝，解得n＝150.
2．C [解析] 根据弧长公式，得6π＝，解得r＝9.
3．B [解析] 如图，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB＝90°，OD
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＝1.∵△ABC是等边三角形，∴BD＝CD，∠OBD＝∠ABC＝30°，
∴OA＝OB＝2OD＝2，∴AD＝3，BD＝，∴BC＝2 ，∴△ABC的面积＝BC·AD＝×2 ×3＝3 .
4．C
5．D [解析] ∵CD⊥AB，∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∴S阴影＝S扇形AOC＝＝＝2π，故选D.
6．A [解析] 如图，连接AD，OD.
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°.∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴＝.
∵AB＝8，∴AD＝BD＝4 ，
∴S阴影＝S△ABC－S△ABD－S弓形AD＝S△ABC－S△ABD－(S扇形OAD－S△ABD)＝×8×8－×4 ×4 －＋××4 ×4 ＝16－4π＋8＝24－4π.
7．3 [解析] 设扇形的半径为r，由扇形的面积公式S＝＝3π，得r＝3.
8. [解析] 在Rt△ABC中，AC＝1，AB＝2，∴cosA＝＝，∴∠A＝60°，∴的长为＝.
9．π [解析] 如图，连接OD，OE，易证△ODE是等边三角形，∠DOE＝60°，又OD＝AB＝3，根据弧长公式知劣弧的长为＝π.
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10．3.11 [解析] 如图所示，∠AOB＝30°，∠AOC＝15°.
在直角三角形AOC中，sin15°＝＝＝0.259，所以AC＝0.259r，
AB＝2AC＝0.518r，L＝12AB＝6.216r，所以π≈＝＝3.108≈3.11.
11．解：(1)证明：如图，连接OB，
∵BC切⊙O于点B，
∴OB⊥BC，
∵AD⊥BC，∴AD∥OB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠DAB＝∠OAB，
∴AB平分∠OAD.
(2)点E在弧上，且∠AEB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴S扇形OAB＝·π·AO2＝×π×32＝3π.
12．解：(1)证明：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴∠ACO＝90°，∠BCO＝90°，
∵＝，∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠A＝∠B，∴OA＝OB.
(2)由(1)可知△OAB是等腰三角形，
∴BC＝AB＝2 ，∴sin∠COB＝＝，
∴∠COB＝60°，∴∠B＝30°，
∴OC＝OB＝2，
∴扇形OCE的面积为：＝，
△OCB的面积为：×2 ×2＝2 ，
∴S阴影＝2 －.
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13．解：(1)连接AE，∵圆与BC相切于点E，
∴AE⊥BC且AE＝2.
又∵AB＝2 ，
∴BE＝2，∠ABE＝45°.
又∵AD∥BC，
∴∠BAD＝135°，
∴的长度为π.
(2)连接AG，交于点P，取上异于点P的另一点P1，连接P1A，P1G.
在△P1AG中，P1A＋P1G＞AG，
又AG＝AP＋PG，∴P1G＞PG，
∴点P到点G的距离最短．
又PG＝2 －2，AP＝2，
∴AG＝2 ，∴∠EGA＝45°，∴EG＝2，
又∵BE＝2，∴BG＝4.
14．4π [解析] 的长是＝，
的长是＝，
的长是＝2π，
则曲线CDEF的长是＋＋2π＝4π.
15．解：(1)如图①，CP就是所要求作的射线．
(2)如图②，△OO1O2就是圆心O的运动路径．
由题意得OO1∥BC，O1O2∥AB，OO2∥AC.
易证△OO1O2∽△CBA.
∴＝.
过点O作OD⊥BC，垂足为点D，过点O1作O1E⊥BC，O1F⊥AB，垂足分别为点E，F，
连接BO1，则四边形ODEO1是矩形．∵O1E＝O1F，O1E⊥BC，O1F⊥AB，
∴BO1平分∠ABC.
∴∠O1BE＝∠ABC＝×60°＝30°.
∴BE＝O1E＝2 .
∴DE＝BC－CD－BE＝9－2－2 ＝7－2 .
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∴OO1＝DE＝7－2 .
在Rt△ABC中，∵BC＝9，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝18，AC＝BC＝9 .
∴△ABC的周长为27＋9 .
∴＝.
∴△OO1O2的周长为15＋，即圆心O的运动路径长为15＋.
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