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课时训练(二十五)圆的基本概念与性质
|夯 实 基 础|
一、选择题
1．[2017·衡阳]如图K25－1，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )
A．26° B．30° C．32° D．64°
图K25－1
图K25－2
2．[2016·娄底]如图K25－2，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为( )
A．20° B．40° C．50° D．70°
3．[2017·株洲]下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
4．[2017·泸州]如图K25－3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
A. B．2 C．6 D．8
图K25－3
图K25－4
5．[2017·宜昌]如图K25－4，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是( )
A．AB＝AD B．BC＝CD
C.＝ D．∠BCA＝∠ACD
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图K25－5
6．[2017·陕西]如图K25－5，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为( )
A．5 B.
C．5 D．5
7．[2017·西宁]如图K25－6，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°.则CD的长为( )
A. B．2 C．2 D．8
图K25－6
图K25－7
8．[2016·连云港]如图K25－7，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( )
A．2 ＜r＜
B.＜r＜3
C.＜r＜5
D．5＜r＜
二、填空题
9．[2016·岳阳]如图K25－8，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝________°.
图K25－8
图K25－9
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10．[2017·义乌]如图K25－9，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠EOD的度数为________．
11．[2017·庆阳]如图K25－10，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝________．
图K25－10
12．如图K25－11所示，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为________mm.
图K25－11
图K25－12
13．[2017·十堰]如图K25－12，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D，若AC＝6，BD＝5 ，则BC的长为________．
三、解答题
14．[2016·宁夏]如图K25－13，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2 ，求CD的长．
图K25－13
15．[2017·安徽]如图K25－14，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AECD为平行四边形；
(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.
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图K25－14
|拓 展 提 升|
图K25－15
16．如图K25－15，AB是⊙O的直径，弦BC＝4 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以1 cm/s的速度从点A出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t s(0≤t＜16)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为________．(填出一个正确的即可)
17．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图K25－16①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2)如图K25－16②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
图K25－16
参考答案
1．C
2．C [解析] ∠D＝40°，根据圆周角性质则有∠B＝∠D＝40°.
又AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－40°＝50°.
3．A [解析] 正三角形的边所对的圆心角是120°；正方形的边所对的圆心角是90°；正五边形的边所对的圆心角是72°；正六边形的边所对的圆心角是60°.故选A.
4．B [解析] 连接OC，则OC＝4，OE＝3，在Rt△OCE中，CE＝＝＝.因为AB⊥CD，所以CD＝2CE＝2 .
5．B [解析] 根据弦、弧、圆周角之间的关系，由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等，可知选项B正确．
6．D [解析] 连接OB，OA，OP，设OB与AP交于点D，由题意可知OB⊥AP；易知△OAB为等边三角形，再运用解直角三角形的知识可求出AP的长为5 .故选D.
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7．C [解析] 作OH⊥PD于H，AP＝2，BP＝6，则AO＝BO＝4，则PO＝2，又∠HPO＝∠APC＝30°，∴OH＝1，OD＝OB＝4，在Rt△HOD中，HD＝＝，∴CD＝2HD＝2 .
8．B [解析] 根据图形中网格与勾股定理可知，AD＝2 ，AE＝AF＝，AB＝3 ，∴AB＞AE＞AD.以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则必须满足＜r＜3 .
9．70
10．90° [解析] 根据一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，得到∠EOD＝2∠A＝2×45°＝90°.
11．58° [解析] 连接OB.在△OAB中，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.又∵∠OAB＝32°，∴∠OBA＝32°.∴∠AOB＝180°－2×32°＝116°.
而∠C＝∠AOB，∴∠C＝58°.
12．8 [解析] 设钢珠的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.在Rt△AOD中，利用勾股定理得AD＝＝＝4(mm)，所以AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
13．8 [解析] 连接DA，因为∠ACB＝90°，所以AB为直径，所以∠ADB＝90°，因为CD平分∠ACB，所以BD＝AD，在△ABD中AB＝＝＝10，在△ABC中BC＝＝＝8.
14．解：(1)证明：∵ED＝EC，∴∠CDE＝∠C.
又∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠CDE＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
(2)连接AE，则AE⊥BC，
∴BE＝EC＝BC.
在△ABC与△EDC中，
∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，∴DC＝＝.
由AB＝4，BC＝2 ，
∴DC＝＝.
15．证明：(1)根据圆周角定理知∠E＝∠B，
又∵∠B＝∠D，
∴∠E＝∠D，
又∵AD∥CE，
∴∠D＋∠DCE＝180°，
∴∠E＋∠DCE＝180°，
∴AE∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形．
(2)如图，连接OE，OB，由(1)得四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝EC，
∵AD＝BC，∴EC＝BC，
∵OC＝OC，OB＝OE，∴△OCE≌△OCB(SSS)，
∴∠ECO＝∠BCO，即CO平分∠ECB.
16．答案不唯一，如4 [解析] ∵AB是⊙O的直径，
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∴∠C＝90°.
∵∠ABC＝60°，BC＝4 cm，
∴AB＝2BC＝8 cm.
∵F是弦BC的中点，
∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，
此时E为AB的中点，即AE＝AO＝4 cm，
∴t＝4÷1＝4(s)，
或t＝＝12(s)．
当FE⊥AB时，∵FB＝BC＝2(cm)，
∠B＝60°，∴BE＝FB＝1(cm)，
∴AE＝AB－BE＝8－1＝7(cm)，
∴t＝＝7(s)．
或t＝＝9(s)．
17．解：(1)如图①，连接OQ，∵PQ∥AB，PQ⊥OP，
∴OP⊥AB，∵tan30°＝，∴OP＝3×＝，由勾股定理得PQ＝＝.
(2)如图②，连接OQ，由勾股定理得PQ＝＝，要使PQ取最大值，需OP取最小值，此时OP⊥BC，∵∠ABC＝30°，∴OP＝OB＝，此时PQ最大值＝＝ .
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