相似三角形的模型及辅助线课后练习.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 相似三角形的模型及辅助线专项练习 ‎1. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C′处；作∠BPC′的平分线交AB于点E. 设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 如图，已知矩形，长，宽，、分别是、上运动的两点。若自点出发，以的速度沿方向运动，同时，自点出发以的速度沿方向运动，则经过 秒，以、、为顶点的三角形与相似。‎ ‎3. 如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。‎ 求证：（1）BC是⊙O的切线； （2）EM＝FM。‎ ‎4. 已知，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图1 图2‎ ‎（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA。‎ ‎① 求证：△OCP∽△PDA；‎ ‎② 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长。‎ ‎（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP. 动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E. 试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由。‎ ‎5. 如图1，2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于点E，作PF⊥DC（或延长线）于点F，作射线BP交EF于点G。‎ ‎（1）在图1中，设正方形ABCD的边长为2， 四边形ABFE的面积为y， AP=，求y关于的函数表达式。‎ ‎（2）结论GB⊥EF对图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；‎ ‎（3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB。‎ 图1 图2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 相似三角形的模型及辅助线专项练习 参考答案 ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎1. C 解析：注意到∠EPD=90º，可以证明⊿EBP∽⊿PCD，从而 解得 .注意求出它的最大值为.‎ ‎2. ‎ 解析：由已知，‎ 解得，.‎ ‎3. 证明：（1）连接OE，CE，可知∠1=∠2，∠3=∠OEC，∴∠OED=∠OCD，∵DE为⊙O的切线，∴∠OED=90°，∴∠OCD=90°，∴BC是⊙O的切线。‎ ‎（2）利用EF//BC，可得⊿AME∽⊿ADB，⊿AMF∽⊿ADC.‎ ‎∴[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠BED，则BD=DE，∴BD=DC 代入以上比例式，可得EM=FM.‎ ‎4. （1）①证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎ ∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，‎ ‎∴△OCP∽△PDA. ‎ ‎②解：如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，‎ ‎∴，∴CP=AD=4。设OP=x，则CO=8－x。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得 x2=（8－x）2+42，解得：x=5。‎ ‎∴AB=AP=2OP=10，∴边AB的长为10. ‎ ‎（2）解：作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2. ‎ ‎∵AP=AB，MQ∥AN，‎ ‎∴∠APB=∠ABP=∠MQP. ‎ ‎∴MP=MQ. 又BN=PM，‎ ‎∴BN=QM. ‎ ‎∵MP=MQ，ME⊥PQ，‎ ‎∴EQ=PQ， ∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF. 又∵∠QFM=∠NFB，‎ ‎∴△MFQ≌△NFB. ‎ ‎∴QF=QB， ∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB. ‎ 由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°. ‎ ‎∴PB=，∴EF=PB=. ‎ ‎∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为. ‎ ‎5. （1）解：∵EP⊥AD，PF⊥DC，∴四边形EPFD是矩形，∵AP=，[来源:学科网]‎ ‎∴AE=EP=DF=，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎ [来源:学科网]‎ ‎ ‎ ‎（2）证明：在图中证明GB⊥EF. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 证法一：延长FP交AB于点H，‎ ‎∵PF⊥DC，PE⊥AD，‎ ‎∴PF⊥PE，PH⊥HB，即∠BHP=90° ‎ ‎∴在Rt△FPE与Rt△BHP中 因 ABCD是正方形， [来源:学§科§网]‎ ‎∴易知PF=FC=HB，EP=PH ‎∴Rt△FPE≌Rt△BHP ‎ ‎∴∠PFE=∠PBH，‎ 又∠FPG=∠BPH，‎ ‎∴△FPG∽ △BPH，‎ ‎∴∠FGP=∠BHP=90°，即GB⊥EF ‎ 证法二：如图，连接PD，延长FP交AB于点H，‎ 延长EP交BC于点M，‎ 易知DC=BC， ∠DCP=∠BCP=45°，PC=PC，‎ ‎∴△DPC≌△BPC ‎∴∠DPC=∠BPC，即∠1+45°=45°+∠2，‎ ‎∴∠1=∠2， ‎ 而∠1=∠4， ∠2 =∠3， ‎ ‎∴∠3=∠4，‎ 而∠5 +∠4=90°，∴∠5 +∠3=90°，‎ ‎∴∠PGE=180°－（∠5 +∠3）=90°，即GB⊥EF。‎ ‎（3）证明：‎ ‎∵GB⊥EF，∴∠BPF=∠CFG，①‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 连接PD，在△DPC和△BPC中 ‎∵DC=BC，∠DCP=∠BCP=135°，PC=PC，‎ ‎∴ △DPC≌△BPC，∴PD=PB. ‎ 而PD=EF， ∴EF=PB. ‎ 又∵GB⊥EF，∴‎ ‎∴‎ 而PF=FC，∴ ‎ ‎∴………②‎ ‎∴由①②得△FGC∽△PFB. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费