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2.5直线与圆的位置关系
一、选择题(每题3分，共24分)
1．已知圆的半径为6 cm，如果一条直线和圆心的距离为6 cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相离
2．如图3－G－1，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，PO＝26，PA＝24，则⊙O的半径为( )
图3－G－1
A．9 B．8 C．10 D．12
3．如图3－G－2，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度数是( )
图3－G－2
A．70° B．50° C．45° D．20°
4．如图3－G－3，已知△ABC的内心为I，∠BIC＝130°，则∠A的度数为( )
图3－G－3
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A．60° B．65° C．80° D．70°
5.如图3－G－4，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若∠OAB＝30°，则∠APB的度数为( )
图3－G－4
A．60° B．90° C．120° D．无法确定
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6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过直线l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长的最小值为( )
A．1 B. C. D．2
7．如图3－G－5所示，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB＝2，OD＝3，则BC的长为( )
图3－G－5
A. B. C. D.
8．如图3－G－6，点P在⊙O的直径BA的延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD，BD，已知PC＝PD＝BC.下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的个数是( )
图3－G－6
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(每题4分，共24分)
9．已知点M到直线m的距离是3 cm.若⊙M与直线m相切，则⊙M的直径是________．
10．如图3－G－7，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，AB是⊙O的直径，要使EF为⊙O的切线，还需要添加一个条件：________(写出一个即可)．
图3－G－7
11．如图3－G－8所示，∠MAB＝30°，P为AB上的点，且AP＝6，⊙P与AM相切，切点为M，则⊙P的半径为________．
图3－G－8
12．如图3－G－9，已知⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点D，E，F，△ABC的周长为24 cm，BC＝10 cm，则AE＝________cm.
图3－G－9
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13．如图3－G－10，在三角板ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，⊙O的半径为1，现将三角板平移，使AC与⊙O相切，则AO＝________.
图3－G－10
14．如图3－G－11，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为(，0)，⊙M的切线OC与直线AB交于点C，则∠ACO＝________°.
图3－G－11
三、解答题(共52分)
15．(10分)如图3－G－12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，以R为半径画圆，若⊙C与AB相交，求R的取值范围．
图3－G－12
16．(10分)如图3－G－13，已知AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E.
求证：(1)DE是⊙O的切线；
(2)CD2＝CE·CB.
图3－G－13
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17．(10分)如图3－G－14，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D.
(1)求证：△ADC∽△CDB；
(2)若AC＝2，AB＝CD，求⊙O的半径．
图3－G－14
18．(10分)如图3－G－15，已知I是△ABC的内心，延长AI交BC于点D，交外接圆O于点E.
求证：(1)IE＝EC；
(2)IE2＝ED·EA.
图3－G－15
19．(12分)如图3－G－16所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边交于点D，E为BC边的中点，连接DE.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)连接OE，AE，当∠CAB为多少度时，四边形AOED是平行四边形？请说明理由，并在此条件下求出sin∠CAE的值．
图3－G－16
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教师详解详析
1．B 2.C 3.B 4.C
5．A [解析] ∵∠OAB＝30°，∴∠PAB＝90°－30°＝60°.又∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∴∠APB＝180°－60°－60°＝60°.
6．C
7．A [解析] ∵BC∥OD，∴∠B＝∠DOA.又∵∠ACB＝∠DAO＝90°，∴△ABC∽△DOA，∴＝，解得BC＝.
8．A [解析] ①连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO＝90°.在△PCO和△PDO中，
∵∴△PCO≌△PDO(SSS)，∴∠PCO＝∠PDO＝90°，又∵点D在⊙O上，∴PD与⊙O相切，故①正确；
②由①得∠CPB＝∠DPB，
在△CPB和△DPB中，
∵，∴△CPB≌△DPB(SAS)，∴BC＝BD，∴PC＝PD＝BC＝BD，∴四边形PCBD是菱形，故②正确；
③连接AC，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在△PCO和△BCA中，∵∴△PCO≌△BCA(ASA)，∴AC＝CO，∴AC＝CO＝AO，∴∠COA＝60°，∴∠CPO＝30°，∴CO＝PO＝AB，∴PO＝AB，故③正确；
④∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，∴DP＝DB，∴∠DPB＝∠DBP＝30°，∴∠PDB＝120°，故④正确．正确的有4个，故选A.
9．6 cm [解析] ∵点M到直线m的距离是3 cm，⊙M与直线m相切，∴⊙M的半径是3 cm，∴⊙M的直径是6 cm.
10．答案不唯一，如∠CAE＝∠B
11．3 [解析] 连接PM，在Rt△APM中，PM＝AP＝3.
12．2 [解析] ∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点D，E，F，设AF＝AE＝x，BD＝BF＝y，CE＝CD＝z，根据题意，得解得x＝2，∴AE＝2 cm.
13. [解析] 设AC与⊙O相切于点D，连接OD.在Rt△ABC中，∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，且OD＝1.在Rt△OAD中，sinA＝，∴OA＝
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eq \f(OD,sinA)＝＝.
14．30 [解析] ∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝60°.∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA－∠BOC＝30°.
15．解：过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴由勾股定理得AB＝＝＝5.
由三角形面积公式得AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝2.4，
∴当2.4＜R＜4时，⊙C与AB相交．
16．证明：(1)连接OD.
∵D是AC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥BC，
∴∠CED＝∠ODE＝90°，∴OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(2)连接DB.∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°.
在△CDB和△CED中，∠C＝∠C，∠CDB＝∠CED＝90°，∴△CDB∽△CED，
∴＝，∴CD2＝CE·CB.
17．解：(1)证明：连接CO.
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝∠BCD.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BCD.
在△ADC和△CDB中，
∴△ADC∽△CDB.
(2)设CD＝x，则AB＝x，OC＝OB＝x.
∵∠OCD＝90°，∴OD＝＝＝x，
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∴BD＝OD－OB＝x－x＝x.
由(1)知△ADC∽△CDB，∴＝，
即＝，解得CB＝1，
∴AB＝＝，
∴⊙O的半径是.
18．证明：(1)连接IC.∵I是△ABC的内心，
∴∠ACI＝∠BCI，∠BAE＝∠CAE.
又∵∠BAE＝∠BCE，∴∠CAE＝∠BCE.
∴∠CAE＋∠ACI＝∠ICB＋∠BCE.
∴∠EIC＝∠ICE.∴IE＝EC.
(2)由(1)可知∠CAE＝∠BCE.
又∵∠AEC＝∠DEC，∴△DCE∽△CAE.
∴＝.∴EC2＝ED·EA.
∵IE＝EC，∴IE2＝ED·EA.
19．解：(1)证明：连接OD，BD.
易知△BDC是直角三角形，且E为BC的中点，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD.
又∵OD＝OB，且∠EBD＋∠DBO＝90°，
∴∠EDB＋∠ODB＝90°，即OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)当∠CAB＝45°时，四边形AOED是平行四边形．
理由如下：∵OA＝OD，∠CAB＝45°，∴∠ADO＝45°，∴∠AOD＝90°.
由(1)知∠ODE＝90°，∴DE∥AO.
∵O，E分别为AB，BC的中点，∴OE∥AD，
∴四边形AOED是平行四边形．
过点E作EH⊥AC于点H.设BC＝2k，
易得EH＝k，AE＝k，
∴sin∠CAE＝＝.
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