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2．5.4 三角形的内切圆
知识点 三角形的内切圆
1．2017·广州如图2－5－40，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
图2－5－40
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
2．如图2－5－41，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点O是内心，则∠BOC的度数是( )
图2－5－41
A．105° B．115° C．120° D．130°
3．如图2－5－42，△ABC的三边与⊙O分别相切于点D，E，F，已知AB＝7 cm，AC＝5 cm，AD＝2 cm，则BC＝________cm.
图2－5－42
4.如图2－5－43，等边三角形ABC的内切圆半径为2，那么AB的长为________．
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图2－5－43
5．为美化校园，学校准备在如图2－5－44所示的三角形(△ABC)空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛．(用圆规、直尺作图，不写作法，保留作图痕迹)
图2－5－44
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6．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为( )
A．1∶∶ B．1∶2∶
C．1∶∶2 D．1∶2∶3
7．如图2－5－45，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是( )
图2－5－45
A. B．1 C．2 D.
8．若等腰直角三角形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( )
A. B．2 －2 C．2－ D.－1
9．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，AC的长分别是c，a，b，根据“切线长定理”，我们易证得△ABC的内切圆半径r＝，当⊙O符合下列条件时，求其半径r.
(1)如图②，圆心O在直角三角形外，且⊙O与三角形三边均相切；
(2)如图③，圆心O在直角三角形的斜边上，且⊙O与其中一条直角边相切．
图2－5－46
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教师详解详析
1．B [解析] 根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，所以点O是△ABC的三条角平分线的交点．
2．B
3．8 [解析] ∵△ABC的三边与⊙O分别相切于点D，E，F，
∴AE＝AD＝2 cm，BF＝BD＝AB－AD＝7－2＝5(cm)，
∴CF＝CE＝AC－AE＝5－2＝3(cm)，
∴BC＝BF＋CF＝5＋3＝8(cm)．故填8.
4．4
5．略
[点评] 正确画出三角形两个内角的角平分线，其交点即为所求内切圆的圆心，交点到三边的距离即为所求内切圆的半径．
6．D
7．B [解析] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，根据勾股定理，得AB＝＝5，若设Rt△ABC的内切圆半径为R，则有R＝＝1.
8．B [解析] 如图，在等腰直角三角形ABC中，⊙D为其外接圆，可知D为AB的中点，因此AD＝2，AB＝2AD＝4，根据勾股定理可求得AC＝2 ，根据⊙E是△ABC的内切圆，可知四边形EFCG是正方形，AF＝AD，因此EF＝FC＝AC－AF＝2 －2.
故选B.
9．解：如图①，设⊙O与△ABC的边或边的延长线的三个切点分别是D，E，F，连接OE，OF，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CFOE是矩形．
∵OF＝OE，
∴四边形CFOE是正方形，
∴OF＝OE＝CE＝CF＝r，
由切线长定理得BD＝BE＝BC－CE＝a－r，
AF＝AD，
即b＋r＝c＋(a－r)，
∴r＝.
(2)如图②，设⊙O与直角边AC的切点为D，连接OD，则OD⊥AC，
∴OD∥BC，∴＝，
即＝，∴r＝.
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