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2.3 垂径定理
一、选择题
1．下列命题错误的是( )
A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦
B．平分弦的直径平分这条弦所对的弧
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．弦的垂直平分线经过圆心
2．2018·菏泽如图K－14－1，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是( )
图K－14－1
A．64° B．58° C．32° D．26°
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10 cm，最短弦长为8 cm，则OM的长为( )
A．9 cm B．6 cm
C．3 cm D. cm
4．2017·泸州如图K－14－2所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 ( )
图K－14－2
A. B．2 C．6 D．8
5.2017·金华如图K－14－3，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
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图K－14－3
A．10 cm B．16 cm
C．24 cm D．26 cm
6．如图K－14－4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为( )
图K－14－4
A．4
B．8
C．8
D．16
7．如图K－14－5，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝1，那么△ABC的面积为( )
图K－14－5
A．3 B. C．4 D.
8．2017·襄阳模拟⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD间的距离是( )
图K－14－6
A．7 cm B．8 cm
C．7 cm或1 cm D．1 cm
二、填空题
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9．如图K－14－6，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，若∠O＝70°，则∠A＋∠C＝________°.
10．如图K－14－7，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.若P是AB上的一动点，则OP的取值范围是________．
图K－14－7
11．2017·孝感已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2 ，则∠COD的度数为________．
三、解答题
12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－14－8所示)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.
图K－14－8
13．如图K－14－9所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)，B(4，2)，C(6，0)，解答下列问题：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆圆心D的位置，并写出点D的坐标为________；
(2)连接AD，CD，求⊙D的半径(结果保留根号)．
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图K－14－9
14．如图K－14－10，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D.
(1)判断BC，MD的位置关系，并说明理由；
(2)若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；
(3)若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
图K－14－10
15．如图K－14－11，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．
(1)求桥拱的半径；
(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？并说明理由．
图K－14－11
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素养提升
探究性问题如图K－14－12，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.
(1)当BC＝6时，求线段OD的长．
(2)探究：在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
图K－14－12
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1．B
2．[解析] D ∵OC⊥AB，∴＝.∠ADC是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角，∴∠BOC＝2∠ADC＝64°，∴∠OBA＝90°－∠BOC＝90°－64°＝26°.故选D.
3．[解析] C 由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED⊥AB于点M，则ED＝10 cm，AB＝8 cm，由垂径定理知M为AB的中点，
∴AM＝4 cm.
∵半径OA＝5 cm，
∴OM2＝OA2－AM2＝25－16＝9，
∴OM＝3(cm)．
4．B
5．[解析] C 如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D.∵CD＝8 cm，OD＝13 cm，∴OC＝5 cm.
又∵OB＝13 cm，∴在Rt△BCO中，BC＝＝12 cm，∴AB＝2BC＝24 cm.
6．[解析] B ∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°.∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝4 ，∴CD＝2CE＝8 .故选B.
7．[解析] B ∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，
∴M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是等边三角形ABC的中位线．
∵MN＝1，∴AB＝AC＝BC＝2MN＝2，
∴S△ABC＝×2×2×sin60°＝2×＝.
8．C
9．[答案] 55
[解析] 连接OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO.
又∵OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，∠AOD＝70°，
∴＝，∠AOB＝140°，
∴∠C＝∠AOD＝35°，∠A＝∠ABO＝20°，
∴∠A＋∠C＝55°.故答案是55.
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10．[答案] 3≤OP≤5
[解析] 连接OA，作OC⊥AB于点C，则AC＝AB＝4.由勾股定理，得OA＝＝5，则OP的取值范围是3≤OP≤5.
11．[答案] 150°或30°
[解析] 如图所示，连接OC，过点O作OE⊥AD于点E.∵OA＝OC＝AC，∴∠OAC＝60°.∵AD＝2 ，OE⊥AD，∴AE＝，OE＝＝，∴∠OAD＝45°，∴∠CAD＝∠OAC＋∠OAD＝105°或∠CAD＝∠OAC－∠OAD＝15°，∴∠COD＝360°－2×105°＝150°或∠COD＝2×15°＝30°.故答案为150°或30°.
12．解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE，
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
(2)连接OA，OC，由(1)可知OE⊥AB且OE⊥CD，
∴CE＝＝＝2 ，
AE＝＝＝8，
∴AC＝AE－CE＝8－2 .
13．(1)确定点D的位置略 (2，－2)
(2)⊙D的半径为2
14．解：(1)BC∥MD.
理由：∵∠M＝∠D，∠M＝∠C，
∴∠D＝∠C，∴BC∥MD.
(2)∵AE＝16，BE＝4，
∴OB＝＝10，∴OE＝10－4＝6.
连接OC，如图①.
∵CD⊥AB，∴CE＝CD.
在Rt△OCE中，∵OE2＋CE2＝OC2，
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即62＋CE2＝102，
∴CE＝8，∴CD＝2CE＝16.
(3)如图②，∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，
∴∠D＝∠BOD.
又∵AB⊥CD，∴∠D＝×90°＝30°.
15．解：(1)如图①，设E是桥拱所在圆的圆心，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交⊙E于点D，则F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40米，
EF＝ED－FD＝AE－DF.
由勾股定理知AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2.
设⊙E的半径是r，则r2＝402＋(r－20)2，
解得r＝50.
即桥拱的半径为50米．
①
②
(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．
理由：如图②，设MN与DE交于点G，
GM＝30米．在Rt△GEM中，
GE＝＝＝40(米)．
∵EF＝50－20＝30(米)，
∴GF＝GE－EF＝40－30＝10(米)．
∵10米＞9米，
∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．
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[素养提升]
解：(1)∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝3.
∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝＝4，
即线段OD的长为4.
(2)存在，DE的长度保持不变．理由：连接AB，如图．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝＝5.
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE＝AB＝，其长度保持不变．
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