第18章平行四边形
18. 1 平行四边形的性质
第4课时平行四边形的性质定理的综合
1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为______.
2．如图，在平行四边形ABCD中，如果AB＝5，AD＝9，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，那么DF＝____．
3．如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连结AF、CE，求证：AF∥CE.
4．[2018·金牛区期末]如图，在ABCD中，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，作CF⊥BE于点F.
(1)求证：BF＝EF；
(2)若AB＝6，DE＝3，求ABCD的周长．
6
5．[2018·厦门期末]如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边的中点，DF∥AE，DF与BC的延长线交于点F，AE、DC的延长线交于点G，连结FG.若AD＝3，AG＝2，FG＝2，求直线AG与DF之间的距离．
6．[2018·黄冈]如图，在ABCD中，分别以边BC、CD为腰作△BCF、△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连结AF、AE.
(1)求证：△ABF≌△EDA；
(2)延长AB与CF相交于点G，若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.
6
7．[平定县期末]下面是一个有关特殊平行四边形和等边三角形的小实验，请根据实验解答问题：已知在ABCD中，∠ABC＝120°，点D又是等边三角形DEF的一个顶点，DE与AB相交于点M，DF与BC相交于点N(不包括线段的端点)．
(1)如图1，若AB＝BC，求证：BD＝BM＋BN；
(2)如图2，若BC＝2AB，过点D作DH⊥BC于点H，求证：∠BDC＝90°.
图1 图2
参考答案
1．105°
2．4
3．
6
4．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠E＝∠ABE.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠E＝∠CBE，
∴CB＝CE.
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6.
∵DE＝3，
∴BC＝CE＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为30.
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EF.
∵DF∥AE，∴∠EGC＝∠CDF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF＝BC＝3.
∵E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝CF＝EC，
∵∠EGC＝∠CDF，∠ECD＝∠FCD，EC＝CF，
∴△ECG≌△FCD.
∵EF2＝9，EG2＋FG2＝12＋(2)2＝9，
6
∴EF2＝FG2＋EG2，
∴∠EGF＝90°，
∴FG⊥AG，
∴直线AG与DF之间的距离为2.
6．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC.
∵BC＝BF，CD＝DE，
∴BF＝AD，AB＝DE.
∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，
∴∠ADE＝∠ABF，
∴△ABF≌△EDA(SAS)．
(2)如答图，延长FB交AD于点H.
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∵△ABF≌△EDA，
∴∠EAD＝∠AFB.
∵∠EAD＋∠FAH＝90°，
∴∠FAH＋∠AFB＝90°，
∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD.
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC.
7．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝60°.
∵AB＝BC，
6
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠A＝∠DBC＝60°，∠ADB＝60°，AD＝BD.
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADM＋∠MDB＝∠BDN＋∠MDB＝60°，
∴∠ADM＝∠BDN.
在△ADM与△BDN中，
∴△ADM≌△BDN，
∴AM＝BN，
∴BD＝AB＝AM＋MB＝BN＋MB，
即BD＝BM＋BN；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝60°.
∵DH⊥BC，∠C＝60°，
∴∠DHC＝90°，∠HDC＝30°.
设CH＝x，则DC＝2x，DH＝x，
∴BC＝2AB＝2DC＝4x，
∴BH＝BC－HC＝3x.
∵DH⊥BC，
∴BD＝＝2x，
∴BD2＋DC2＝BC2，
∴∠BDC＝90°.
6
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