第18章平行四边形
18. 2 平行四边形的判定
第4课时平行四边形的性质与判定的综合
1．如图，在ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连结BE、DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
2．[2018·达川区期末]如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，AE＝CF，连结AF、BF、DE、CE分别交于点H、G.求证：
(1)四边形AECF是平行四边形；
(2)EF与GH互相平分．
3．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连结BF.
求证：(1)FB＝CO；
(2)四边形AOBF是平行四边形．
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4．如东县一模]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，点E是边CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F，连结CF.
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若CB＝CD，求四边形BDFC的面积．
5．[2018·香坊区期末]在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边DC、AB上，DE＝BF，连结AE、CF.
(1)如图1，求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)如图2，连结DF、BE分别交AE、CF于点G、H，连结GH，若E为CD的中点，在不添加辅助线的情况下，请直接写出以G、H为顶点的平行四边形．
图1 图2
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参考答案
1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△CBF是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∵∠DCF＝∠BCD－∠BCF，
∠BAE＝∠DAB－∠DAE，
∴∠DCF＝∠BAE，
在△DCF和△BAE中，
∴△DCF≌△BAE，
∴DF＝BE.
又∵DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
2．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)由(1)得：四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE.
∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
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∴BF∥DE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
3．证明：(1)∵AC∥BF，
∴∠ACF＝∠CFB.
∵E是BO的中点，
∴OE＝BE.
在△OCE和△BFE中，
∴△OCE≌△BFE，
∴FB＝CO.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∴AO＝FB.
又∵AO∥BF，
∴四边形AOBF是平行四边形．
4．解：(1)证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AF∥BC，
∴∠DCB＝∠CDF，∠FBC＝∠BFD.
又∵E是CD的中点，∴DE＝EC，
∴△BCE≌△FDE，
∴DF＝BC.
又∵DF∥BC，
∴四边形BDFC为平行四边形．
(2)当BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形．
在Rt△CDG中，DG＝BC－AD＝2，
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CG＝＝，
∴S平行四边形BDFC＝BC·CG＝3.
5．解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB.
∵DE＝BF，
∴DC－DE＝AB－BF，即EC＝AF.
又∵EC∥AF，
∴四边形AECF为平行四边形．
(2)∵E是CD的中点，
∴ED＝EC＝DC.
∵ED＝BF，
∴ED＝BF＝DC＝AB＝AF.
∵DE∥AF，
∴∠EDG＝∠GFA，∠DEG＝∠GAF，
∴△DGE≌△FGA，
∴AG＝EG＝AE，DG＝FG＝DF.
同理得：FH＝HC＝CF，
∴AG＝FH.
∵AG∥FH，
∴四边形AFHG是平行四边形，
同理可得：DGHE、EGHC、FBHG、GFHE.
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