2019八年级数学下册第十八章平行四边形小专题（八）四边形中的动点问题练习（新版）新人教版.docx

小专题(八)　四边形中的动点问题 ‎——教材P68T13的变式与应用 教材母题　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发以3 cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？‎ ‎【解答】　①设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形．‎ ‎∵PD＝(24－t)cm，CQ＝3t cm，‎ ‎∴24－t＝3t，∴t＝6.‎ ‎∴当t＝6时，PQ∥CD，且PQ＝CD.‎ ‎②设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC 边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.‎ 当CF＝EQ 时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或平行四边形．‎ ‎∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90 °，‎ ‎∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.‎ ‎∵AD＝24 cm，BC＝26 cm，‎ ‎∴CF＝BC－BF＝2 cm.‎ 当四边形PQCD 为梯形(腰相等)时，‎ PD＋2(BC－AD)＝CQ，‎ ‎∴(24－t)＋4＝3t.∴t＝7.‎ 4‎ ‎∴当t＝7 s 时，PQ＝CD.‎ 当四边形PQCD 为平行四边形时，由①知，当t＝6 s时，PQ＝CD.‎ 综上所述，当t＝6 s时，PQ∥CD；当t＝6 s或7 s时，PQ＝CD.‎ ‎1．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A(0，12)，B(a，c)，C(b，0)，并且a，b满足b＝＋＋16.动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t秒．‎ ‎(1)求B，C两点的坐标；‎ ‎(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P，Q两点的坐标；‎ ‎(3)当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．‎ 解：(1)∵b＝＋＋16，‎ ‎∴ 解得a＝21.‎ ‎∴a＝21，b＝16.‎ ‎∵AB∥OC，A(0，12)，‎ ‎∴c＝12.‎ ‎∴B(21，12)，C(16，0)．‎ ‎(2)由题意，得AP＝2t，QO＝t，‎ 4‎ 则PB＝21－2t，QC＝16－t.‎ ‎∵当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，‎ ‎∴21－2t＝16－t，解得t＝5.‎ ‎∴P(10，12)，Q(5，0)．‎ ‎(3)当PQ＝CQ时，过点Q作QN⊥AB，垂足为N.‎ 由题意，得PN＝AP－OQ＝t，则122＋t2＝(16－t)2，解得t＝3.5.∴P(7，12)，Q(3.5，0)．‎ 当PQ＝PC时，过点P作PM⊥x轴，垂足为M.‎ 由题意，得QM＝t，CM＝16－2t，则t＝16－2t，‎ 解得t＝.∴P(，12)，Q(，0)．‎ 综上所述：P1(7，12)，Q1(3.5，0)；P2(，12)，Q2(，0)．‎ ‎2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P是线段AD上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于点Q.‎ ‎(1)求证：四边形PBQD为平行四边形；‎ ‎(2)若AB＝3 cm，AD＝4 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t s，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，OD＝OB.‎ 4‎ ‎∴∠PDO＝∠QBO.‎ 在△POD和△QOB中，‎ ‎∴△POD≌△QOB(ASA)．∴OP＝OQ.‎ 又∵OB＝OD，‎ ‎∴四边形PBQD为平行四边形．‎ ‎(2)四边形PBQD能够成为菱形．‎ 点P从点A出发运动t s时，AP＝t cm，PD＝(4－t)cm.‎ 当四边形PBQD是菱形时，PB＝PD＝(4－t)cm.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90 °.‎ 在Rt△ABP中，AB＝3 cm，AP2＋AB2＝PB2，‎ 即t2＋32＝(4－t)2，解得t＝.‎ ‎∴点P运动时间为 s时，四边形PBQD为菱形．‎ 4‎