第6课时 一元二次方程考点梳理 自主测试
考点一 一元二次方程的概念
1.定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做
一元二次方程.
2.一般形式
一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).考点梳理 自主测试考点梳理 自主测试
4.因式分解法
一般步骤:
(1)将方程的右边各项移到左边,使右边为0;
(2)将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式;
(3)令每个因式为0,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.考点梳理 自主测试
考点三 一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac,
记为Δ.
(1)b2-4ac>0⇔关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个
不相等的实数根.
(2)b2-4ac=0⇔关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个
相等的实数根.
(3)b2-4aca2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情
况是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.无实数根 D.有一根为0
答案:B
5.如图,在一块长为22 m,宽为17 m的矩形地面上,要修建同样宽的
两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部
分种上草,使草坪面积为300 m2.设道路宽为x m,根据题意可列出的
方程为 .
答案:(22-x)(17-x)=300(或x2-39x+74=0)考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点1 一元二次方程的解法
【例1】解方程x(x+6)=16.
解法一:x2+6x=16,即x2+6x-16=0.
∴(x+8)(x-2)=0.
∴x+8=0或x-2=0,解得:x1=-8,x2=2.
解法二:x2+6x=16,即x2+6x-16=0.
∵a=1,b=6,c=-16,∴b2-4ac=36+64=100.
解法三:x2+6x=16,
∴(x+3)2=25,∴x+3=±5.解得:x1=-8,x2=2. 考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点2 一元二次方程根的判别式
【例2】已知关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两
个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
解析:根据题意,得(2m+1)2-4(m-2)2>0,且m-2≠0,解得:m> ,且m≠2,
故选C.
答案:C考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点3 一元二次方程根与系数的关系
【例3】已知关于x的一元二次方程x2-6x+k+1=0的两个实数根
分别是x1,x2,且 ,则k的值是( )
A.8 B.-7
C.6 D.5
解析: =(x1+x2)2-2x1x2,把x1+x2=6,x1·x2=k+1代入,解得
:k=5.此时原方程为x2-6x+6=0,判别式为36-24=12>0,所以原方程有
实数根,所以k=5符合题意.
答案:D考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点4 一元二次方程的实际应用
【例4】如图,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边
形和一个正六边形,其中正五边形的边长为(x2+17)cm,正六边形的
边长为(x2+2x)cm(其中x>0).求这两段铁丝的总长.
解:由已知得,正五边形周长为5(x2+17)cm,正六边形周长为
6(x2+2x)cm.
因为正五边形和正六边形的周长相等,
所以5(x2+17)=6(x2+2x).
整理,得x2+12x-85=0,
配方,得(x+6)2=121,
解得:x1=5,x2=-17(舍去).
故正五边形的周长为5×(52+17)=210(cm).
又两段铁丝等长,所以这两段铁丝的总长为420 cm.
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