广东省深圳市2018年中考数学专题专练二次函数综合专题.docx

二次函数综合专题 ‎1.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.‎ ‎(1)求二次函数的表达式；‎ ‎(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；‎ ‎(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．‎ 温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|x1－x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|y1－y2|求出．‎ ‎2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．‎ ‎(1)填空，点B的坐标是________；‎ ‎(2)过点B的直线y＝kx＋b(其中k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC.求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；‎ ‎(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．‎ ‎3.已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．‎ ‎(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；‎ ‎(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；‎ ‎(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ 12‎ ‎4.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点．‎ ‎(1)求二次函数的表达式；‎ ‎(2)长度为2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；‎ ‎(3)直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF＝S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎5.如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝－x＋1与y轴交于点D.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)证明：△DBO∽△EBC；‎ ‎(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ 12‎ ‎6.如图，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B(3，0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，已知对称轴x＝1.‎ ‎(1)求抛物线L的解析式；‎ ‎(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界)，求h的取值范围；‎ ‎(3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x＝－3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ 图(1)图(2)‎ ‎　　　　　　‎ ‎7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)、B(0，－)、C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D.‎ ‎(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；‎ 12‎ ‎(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB＋PD的最小值为________；‎ ‎(3)M(s，t)为抛物线对称轴上的一个动点．‎ ‎①若平面内存在点N，使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有________个；‎ ‎②连接MA,MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．‎ ‎8.如图，抛物线与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，5)．有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F.‎ ‎(1)求抛物线解析式．‎ ‎(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝，求点Q的坐标．‎ ‎(3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．‎ ‎9.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 12‎ ‎10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；‎ ‎(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．‎ 12‎ 参考答案 ‎1. 解：(1)∵直线y＝5x＋5与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－1，0)，C(0，5)．∵抛物线y＝ax2＋4x＋c过点A(－1，0)，C(0，5)，则解得c＝5，a＝－1，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5.‎ 图①图②‎ ‎(2)如图①，∵抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，∴解－x2＋4x＋5＝0的两根为x1＝－1，x2＝5.∵点B在x轴正半轴，∴B(5，0)．设过B(5，0), C(0，5)的直线BC解析式为y＝kx＋b，则 解得k＝－1，b＝5，∴直线BC表达式为y＝－x＋5.∵DN⊥x轴，∴DN∥y轴．∵点N在BC上，点D在抛物线上，设N(x，y1)，D(x，y2)，∴N(x，－x＋5)，D(x，－x2＋4x＋5)．∴DN＝－x2＋4x＋5－(－x＋5)＝－x2＋5x＝－(x－)2＋.当x＝时，DN有最大值；(3)如图②，作点H关于y轴的对称点H′，点M关于x轴的对称点M′，连接H′M′，分别交x轴，y轴于点F,E，则四边形HEFM的最小周长为HM＋HE＋EF＋FM＝HM＋H′M′.∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴H(2，9)，∴H′(－2，9)，当x＝4时，y＝5，∴M(4，5)，∴M′(4，－5)．设直线H′M′‎ 12‎ 的解析式为y＝k′x＋b′，则解得,∴直线H′M′的解析式为y＝－x＋.当y＝0时，x＝，∴F(，0)；当x＝0时，y＝，∴E(0，)．‎ ‎2. 解：(1)由y＝x2＋得：A(0，)∵B,O关于A对称，∴B(0，)(2)如图①，∵直线BC过点B(0，)，‎ 图①图②‎ ‎∴直线BC解析式为y＝kx＋.∴C(－，0)，又∵P是直线l上一点，∴可设P(－，a)．过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接PB，则在Rt△PNB中，由勾股定理得：PB2＝PN2＋NB2，∵PB＝PC＝a，∴a2＝(－)2＋(a－)2，解得a＝＋，∴P点坐标为(－，＋)，当x＝－时，y＝＋，∴点P在抛物线上．‎ ‎(3)如图②，由C′在y轴上，可知∠CBP＝∠C′BP，∵PB＝PC，∴∠CBP＝∠PCB，∵PC∥C′B，∴∠PCB＝∠ABC，∴∠C′BP＝∠CBP＝∠ABC＝60°，∴△PBC为等边三角形，∵OB＝，∴BC＝1，OC＝，∴PC＝1，∴P(，1)．‎ ‎3. 解：(1)令x＝0，得y＝ax2＋bx－3＝－3，∴C(0，－3)，把(－1，0)和(3，0)代入y＝ax2＋bx－3中，得 解得,∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.(2)A(－，2)，B(，－2)．(3)不存在实数k使得△ABC的面积为.‎ ‎4. 解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数y＝x2＋bx图象上，将x＝3，y＝3代入得9＋3b＝3，解得b＝－2，‎ ‎∴二次函数表达式为y＝x2－2x.(2)如图①所示，过点P作PB⊥QQ1于点B，‎ 图①‎ ‎∵PQ＝2，且在直线y＝x上，∴PB＝QB＝2 ，设P(a，a)，则Q(a＋2，a＋2)，则P1(a，a2－2a)，Q1(a＋2，(a＋2)2－2(a＋2))，即Q1(a＋2，a2＋2a)，所以四边形PQQ1P1的面积为：S＝2×＝－2a 12‎ ‎2＋2a＋2＝－2(a－)2＋，当Q运动到点A时，OP＝OQ－PQ＝，a＝1.∴a的取值范围为0＜a＜1.∴当a＝时，四边形PQQ1P1的面积最大，最大值为. (3)存在，点E的坐标为E1(，)，E2(，)，如图②所示，连接OM，∵点M为抛物线顶点，∴M(1，－1)，又∵OA所在直线为y＝x，∴OM⊥OA，即∠AOM＝90°，在△AOF和△AOM中，以OA为底，当面积相等时，则两三角形OA边上的高相等，又∵OM⊥OA，且OM＝，∴可作两条与OA互相平行且距离为的直线，‎ 如图②所示，在直线HD、MC上的点F均满足S△AOF＝S△AOM，∴只需满足E点的对称点F在这两条直线上即可，如图②，过点A作AC⊥MC于点C，易求四边形OACM为矩形，AM为该矩形的一条对角线，取AM中点O′，过O′作AM垂线，交OA于点E1，交MC于点F1，OA＝3，∴AM＝＝2，‎ ‎∴AO′＝，则△AO′E1∽△AOM，∴＝＝，∴＝，‎ 图②‎ 解得OE1＝，∵点E1在y＝x上，∴E1(，)，同理可得HF2＝GE2＝，又∵OG＝2OA＝6，∴OE2＝6－＝，∴ E2(，)．综上所述，符合条件的E点的坐标为：E1(，)、 E2(，)．(‎ ‎5. (1)解：当x＝0时，y＝ax2＋bx－3＝－3，∴C(0，－3)，即OC＝3，∵OB＝OC＝3OA，∴OB＝3，OA＝1，∴A(－1，0)，B(3，0)，将点A(－1，0)，点B(3，0)代入y＝ax2＋bx－3得解得a=1，b=-2,∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.(2)证明：由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4可得E(1，－4)，当x＝0时，由直线y＝－x＋1得y＝1，∴D(0，1)，即OD＝1，∴BD＝＝，∴CE＝，BE＝2，BC＝3，∴在△ODB和△CEB中，有＝＝＝，∴△DBO∽△EBC. (3)解：存在点P，使得△PBC是等腰三角形，点P的坐标分别为：P1(1，－1)，P2(1，－3＋)，P3(1，－3－)，P4(1，)，P5(1，－)．‎ ‎6. 解：(1)把C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得c＝3，把B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得9a＋3b＋3＝0，又∵－＝1，∴a＝－1，b＝2，∴抛物线L的解析式是y＝－x2＋2x＋3.(2)‎ 12‎ 图①‎ 由y＝－(x－1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)，如解图①，过点D作y轴的平行线分别交CB，OB于点E,F，‎ 则＝，∴EF＝2，∴4－2≤h≤4，即2≤h≤4.(3)能，设P(x，－x2＋2x＋3)，如解图②，过点P分别作x轴、直线l的垂线，‎ 图②‎ 垂足分别是点M，N，∵∠PMB＝∠PNQ＝90°，∵∠QPB＝90°，∠BPM＝∠QPN，PB＝PQ，∴△PMB≌△PNQ(AAS)，∴PM＝PN.①当点P在x轴上方时，－x2＋2x＋3＝x＋3，即x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1，∴P1(0，3)，P2(1，4)；②当点P在x轴下方时，－x2＋2x＋3＝－(x＋3)，即x2－3x－6＝0，解得x＝＝，∴P3(，－)，P4(，－)，∴满足条件的点P有四个点，分别是P1(0，3)，P2(1，4)，P3(，－)，P4(，－)．‎ ‎7. 解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，将B(0，－)代入，得a＝，∴二次函数的表达式为y＝(x＋1)(x－2)＝(x－)2－，∴顶点的坐标为(，－)．(2)；【解法提示】连接AB，过点P作PH⊥AB，垂足为H，如图①，‎ 图①‎ ‎∵OA＝1，OB＝，∴AB＝＝2，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB＋PD＝PH＋PD的值，∴要使PB＋PD的值最小，只要使PH＋PD的值最小，此时H,P,D在同一条直线上，且DH⊥AB，在Rt△ADH中，∠ADH＝90°－∠OAB＝30°，AD＝1＋＝，∴DH＝ADcos30°＝，∴PB＋PD的最小值为，‎ ‎(3)①5；【解法提示】以点B为圆心，AB的长为半径画圆，与对称轴有两个交点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，与对称轴有两个交点，作AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，共有5个点使M,N,A,‎ 12‎ B构成的四边形为菱形．②连接AB，作AB的垂线，垂足为点A，交y轴于点E，如图②，‎ 图②‎ 以BE的长为直径画圆，与对称轴交于点M1，点M2，与x轴交于点A，F，∵BE为直径，AF⊥BE，∴AB＝FB，∴∠BFA＝∠BAF＝60°，∴的度数为120°，∴∠AM1B＝∠AM2B＝×120°＝60°.在Rt△AOE中，∠EAO＝30°，OE＝AO·tan30°＝，∴BE＝OE＋OB＝＋＝，∴圆心N(0，－)，∴半径NE＝，∴NM1＝NM2＝，设M(，t)，NM2＝()2＋(t＋)2＝()2，t1＝－，t2＝－－，‎ M1(，－)，M2(，－－)．故当－－≤t≤－时，∠AMB的度数不小于60°.‎ ‎8. 解：(1)根据题意得，A(－5，0)，B(3，0)在x轴上，设抛物线的解析式为y＝a(x＋5)(x－3)．∵抛物线过点(0，5)，∴a＝－.∴抛物线的解析式为y＝－(x＋5)(x－3)＝－x2－x＋5.(2)如图，过点F作FD⊥AC于点D，∵OA＝5，OC＝5，∴∠CAO＝45°.设AF的长为m，则DF＝m，ME＝AE＝m＋1.∴sin∠AMF＝，∴MF＝＝＝m.在Rt△MEF中，FM2＝ME2＋EF2，∴(m)2＝(m＋1)2＋12，‎ 解得m1＝1，m2＝－(不符合题意，舍去)．∴AF＝1，∴点Q的横坐标为－4.又∵点Q在抛物线y＝－x2－x＋5上，∴Q(－4，)．(3)设直线AC的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，由题意得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x＋5.由题知，点Q，N，F及点P，M，E的横坐标分别相同．设F(t，0)，E(t＋1，0)，点M，N均在直线y＝x＋5上，∴N(t，t＋5)，M(t＋1，t＋6)，∵点P，Q在抛物线y＝－x2－x＋5上，∴Q(t，－t2－t＋5)，P(t＋1，－t2－t＋4)，在矩形平移过程中，以P、Q、N、M为顶点的平行四边形有两种情况：①点Q、P在直线AC的同侧时，QN＝PM.∴(－t2－t＋5)－(t＋5)＝(－t2－t＋4)－(t＋6)，解得t＝－3.∴M(－2，3)．②点Q，P在直线AC的异侧时，QN＝MP.∴(－t2－t＋5)－(t＋5)＝(t＋6)－(－t2－t＋4)，解得t1＝－3＋，t2＝－3－，∴M(－2＋，3＋)或(－2－，3－)．∴符合条件的点M是(－2，3)，(－2＋，3＋)或(－2－，3－)．‎ 12‎ ‎9. 解：(1)把点A(0，1)，B(－9，10)代入y＝x2＋bx＋c，得解得,c=1，‎ ‎∴抛物线的解析式是y＝x2＋2x＋1.(2)当m＝－时，四边形AECP面积的最大值是，此时点P的坐标是(－，－)．‎ ‎(3)存在．由y＝x2＋2x＋1＝(x＋3)2－2，得顶点P的坐标是(－3，－2)，此时PF＝yF－yP＝3，CF＝xF－xC＝3，则在Rt△CFP中，PF＝CF，∴∠PCF＝45°，同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的点Q，如解图，△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC.∵A(0，1)，B(－9，10)，C(－6，1)，PF＝CF＝3，∴AB＝9，AC＝6，CP＝3，①当△CPQ1∽△ABC时，设Q1(t1，1)，由＝得＝，解得t1＝－4.即Q1(－4，1); ②当△CQ2P∽△ABC时，设Q2(t2，1)，由＝,得＝，解得t2＝3，即Q2(3，1)．综上所述，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1(－4，1)或Q2(3，1)．‎ ‎10. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，将A,D两点的坐标代入，得解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－8.∵y＝x2－3x－8＝(x－3)2－，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(－2，0)，∴点B的坐标为(8，0)，设直线l的函数表达式为y＝kx，∵点D(6，－8)在直线l上，代入得6k＝－8，解得k＝－，∴直线l的函数表达式为y＝－x.∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为－×3＝－4，即点E的坐标为(3，－4)．(2)抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE.点F的坐标为(3－，－4)，(3＋，－4)．(3)需分两种情况进行讨论：①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，‎ 12‎ 图①‎ ‎∵点E的坐标为(3，－4)，∴OE＝＝5，如图①，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则＝，∴OM＝OE＝5，∴点M的坐标为(0，－5)，设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，将点E(3，－4)代入得3k1－5＝－4，解得k1＝，∴直线ME的函数表达式为y＝x－5，令y＝0，得x－5＝0，解得x＝15，∴点H的坐标为(15，0)．又＝，∴＝，∴m＝－；‎ 图②‎ ‎②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，延长CE，交x轴于点N，如图②，当x＝0时，y＝x2－3x－8＝－8，∴点C的坐标为(0，－8)，∴CE＝＝5，又∵OE＝＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB，∴＝，设直线CE的解析式为y＝k2x－8，代入点(3，－4)，得3k2－8＝－4，∴k2＝，∴直线CE的解析式为y＝x－8.令y＝0，则x－8＝0，解得x＝6，∴点N的坐标为(6，0)，又＝，∴＝，解得m＝－.综上所述，当m的值为－或－时，△OPQ是等腰三角形．‎ 12‎