广东省深圳市2018年中考数学专题专练圆的证明与计算专题.docx

圆的证明与计算专题 ‎1.如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.‎ ‎(1)求证：△ABC是等边三角形；‎ ‎(2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．‎ ‎2.如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B.‎ ‎(1)求证：直线CD是⊙O的切线；‎ ‎(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3 cm，求的长度．(结果保留π)‎ ‎3.如图，点D是等边三角形ABC的外接圆上一点，M是BD上一点，且满足DM＝DC，点E是AC与BD的交点．‎ ‎(1)求证：CM∥AD；‎ ‎(2)如果AD＝1，CM＝2.求线段BD的长及△BCE的面积．‎ ‎4.如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线交于点E，且∠A＝∠EBC.‎ ‎(1)求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎(2)已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG·BA＝48，FG＝，DF＝2BF；求AH的值．‎ 6‎ ‎5.如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D.‎ ‎(1)求证：△PAE∽△PEC；‎ ‎(2)求证：PE为⊙O的切线；‎ ‎(3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP.‎ ‎6.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD,AC分别交于点E,F，且∠ACB＝∠DCE.‎ ‎(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎(2)若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．‎ ‎7.如图①，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.‎ ‎(1)试判断△ABC的形状 ‎，并说明理由；‎ ‎(2)如图②，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2－，求⊙O的半径和BF的长．‎ 6‎ ‎8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.‎ ‎(1)求∠CDE的度数；‎ ‎(2)求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎(3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．‎ ‎9.如图，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O为AB的中点．‎ ‎(1)求证：∠B＝∠ACD；‎ ‎(2)已知点E在AB上，且BC2＝AB·BE.‎ ‎(i)若tan∠ACD＝，BC＝10，求CE的长；‎ ‎(ii)试判定CD与以A为圆心，AE为半径的⊙A的位置关系，并说明理由．‎ 6‎ 参考答案 ‎1. (1)证明：由题意可得：∠BPC＝∠BAC，∠APC＝∠ABC，∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．(2)解：∵∠PAC＝90°，∴PC是圆的直径，∴∠PBC＝90°，∴∠PBD＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝2，∵∠CPB＝60°，∴PB＝＝2，∵∠APC＝60°，∴∠DPB＝180°－60°－60°＝60°，∴PD＝2PB＝4.‎ ‎2. (1)证明：∵CA切⊙O于点A，∴∠CAO＝90°.∵OC平分∠AOD，∴∠AOC＝∠DOC，在△AOC和△DOC中，‎ ‎，∴△AOC≌△DOC(SAS)，∴∠CDO＝∠CAO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)解：由(1)知：OD⊥BC，又∵D是BC的中点，∴OD是BC的垂直平分线，∴OC＝OB，∴∠BOD＝∠DOC＝∠COA＝×180°＝60°，∴∠DOE＝60°，∴的长度为π×3＝π.‎ ‎3. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DM＝DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠MCD＝60°，∴∠MCD＋∠ADC＝180°，∴CM∥AD. (2)解：∵BC＝AC，∠ADC＝∠BMC＝120°，∠CBM＝∠CAD，∴△ADC≌△BMC，∴AD＝MB＝1，∴BD＝BM＋MD＝AD＋CM＝1＋2＝3，∵CM∥AD，∴∠CAD＝∠ACM，∠ADE＝∠EMC，∴△ADE∽△CME，∴＝＝＝，∴S△ADE＝S△EMC，∵S△CMD＝××2＝，∴S△EMC＝S△CMD＝，S△EDC＝S△CDM＝，∴S△ADE＝S△EMC＝，∴S△ADC＝S△ADE＋S△DCE＝＋＝，∴S△BCE＝S△BMC＋S△MCE＝S△ADC＋S△CME＝＋＝.‎ ‎4. 解：(1)连接DC，∵DB是⊙O的直径，∴∠DCB＝90°，∴∠D＋∠DBC＝90°，∵∠D＝∠A，∠EBC＝∠A.∴∠D＝∠EBC，∴∠EBC＋∠DBC＝90°，即∠DBE＝90°，∴BE是⊙O的切线．(2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴＝，即BC2＝BG·AB＝48，∴BC＝4，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴∠CFB＝∠DCB＝90°，又∵∠CBF＝∠DBC，∴Rt△BFC∽Rt△BCD，∴＝，∴BC2＝BF·BD＝48，又∵DF＝2BF，BD＝DF＋BF＝3BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝＝4，∴CG＝CF＋FG＝5，在Rt△BFG中，BG＝＝3，∵BA＝＝8，∴AG＝5，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4，∵∠ABC＝∠CBG，∠BCG＝∠A，∴△ABC∽△CBG，∴＝，∴AC＝＝4×＝，∴AH＝AC－CH＝－4＝.‎ ‎5. (1)解：∵PE2＝PA·PC，∴＝，∵∠P＝∠P，∴△PAE∽△PEC. (2)证明：∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAE＋∠ECA＝90°，∴∠PEO＝∠PEA＋∠OEA＝∠PCE＋∠OAE＝90°，∵OE为⊙O半径，∴PE是⊙O的切线．(3)证明：过点O作OH⊥CP于点H，∵AB 6‎ 是⊙O的直径，∠B＝30°，∴BC＝＝＝AC，∵O是AB的中点，∴OH＝BC＝AC，∵PE2＝PA·PC，AP＝AC，∴PE2＝AC·(AC＋AC)＝AC·AC＝AC2，‎ ‎∴PE＝AC，∴OH＝PE，∵∠OHA＝∠PED＝90°，∠HDO＝∠EDP，∴△HDO≌△EDP，∴DO＝DP.‎ ‎6. 解：(1)直线CE与⊙O相切．证明如下：连接OE，∴∠OAE＝∠AEO，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB＝∠DAC, 又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠AEO＝∠DCE，∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切．(2)∵tan∠ACB＝＝，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝，∴AC＝＝，又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝，∴DE＝DC·tan∠DCE＝AB·tan∠DCE＝×＝1，在Rt△CDE中，CE＝＝，设⊙O的半径为r，在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(－r)2＝r2＋3，解得r＝.∴⊙O的半径为.‎ ‎7. 解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：如解图①，连接OE，在⊙O中，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，‎ 图①‎ ‎∵DE是⊙O的切线，∴∠OED＝90°，∵ED⊥AC，∴∠ADE＝90°＝∠OED，∴OE∥AC且BE＝CE＝BC，∴∠OEB＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AC＝AB，∴△ABC为等腰三角形．(2)如图②，过点B作BH⊥DF，∵AC⊥DF，∴BH∥AC，∠EBH＝∠C，由(1)知∠CDE＝∠BHE＝90°，BE＝CE，∴△CDE≌△BHE(AAS)，∴CD＝BH＝2－，∵∠HBF＝180°－∠OBE－∠EBH＝180°－75°－75°＝30°，‎ 图②‎ ‎∴∠F＝90°－30°＝60°，在Rt△BFH中，∴BF＝＝，设OE＝x，在Rt△OEF中，sin60°＝＝，解得x＝2，故⊙O的半径为2，BF的长为.‎ ‎8. (1)解：∵对角线AC为⊙O直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°.(2)证明：连接OD，∵AC为⊙O的直径，CE⊥AC，∴∠ADC＝∠CDE＝90°，∠ACF＝90°，又∵在Rt△CDE中，点F为斜边CE的中点，∴DF＝FC，∠CDF＝∠DCF，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ODF＝∠ODC＋∠CDF＝∠OCD＋∠DCF＝∠ACE＝90°，∵OD为⊙O半径 6‎ ‎，∴DF是⊙O的切线．(3)解：由圆周角定理可得，∠ABD＝∠ACD，由题意知，∠ADC＝∠CDE＝90°，∠CAD＝∠ECD，∴△ADC∽△CDE，∴＝，∴CD2＝AD·DE，∵AC＝2DE，设DE＝a，AD＝b，∴AC＝2a，CD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理可得：‎ AD2＋CD2＝AC2，即b2＋()2＝(2a)2，上式两边同时除以a2，整理后得到：()2＋－20＝0，解得＝4或＝－5(舍去)．∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝＝2.‎ ‎9. (1)证明：∵点O为直角三角形斜边AB上的中点，∴OC＝OB，∴∠B＝∠BCO，∵∠ACB＝∠DCO＝90°，即∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ACD＝90°，∴∠BCO＝∠ACD∴∠B＝∠ACD.(2)解：(i)∵BC2＝AB·BE，即＝，又∵∠B＝∠B，∴△BCA∽△BEC，∴∠BEC＝∠BCA＝90°，∵tan∠ACD＝，又由(1)知∠B＝∠ACD，∴tan∠B＝，即＝，设CE＝3x，EB＝4x，∵在Rt△BCE中，CE2＋EB2＝BC2，∴(3x)2＋(4x)2＝102，∴x＝2，∴CE＝3x＝6.(ii)CD与⊙A相切，理由如下：过A作AF⊥DC，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠B＋∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ACE，又∵∠B＝∠ACD，∴∠ACE＝∠ACD.又∵AF⊥DC，AE⊥EC，∴AE＝AF，又∵AE为⊙O半径，F为CD上一点，∴CD与⊙A相切．‎ 6‎